最新x届高考数学二轮专项精析精炼x年考点++立体几何中的向量方法优秀名师资料.doc
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1、x届高考数学二轮专项精析精炼x年考点 立体几何中的向量方法温馨提示: 此题库为Word版请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴调节合适的观 看比例关闭Word文档返回原板块。 考点35 立体几何中的向量方法 解答题 1.,x?福建卷理科?,20,如图,四棱锥P-ABCD中,PA?底面ABCD.四边形ABCD中,AB?AD,AB+AD=4,CD=,. ,CDA,45:2,I,求证:平面PAB?平面PAD; ,II,设AB=AP. ,i,若直线PB不平面PCD所成的角为,求线段AB的长; 30:,ii,在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由. 【思路点拨】(1)证平面
2、PAB中的直线AB,从而可推得面PAB,也可以,面PAD,面PAD建立坐标系证明两面的法向量垂直; ,2,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,然后用空间向量法进行求解探究. Axyz-【精讲精析】 解法1:,I,因为平面ABCD,AB平面ABCD,所以PA,又PA,AB,所以平面PAD.又平面PAB,所以平面PAB平面AB,AB,ABADPAADA,:PAD. (2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,. Axyz,在平面ABCD内,作交于点E,则. CEAB/CEAD,ADABAPt,在中,.设,则. RtCDE DECD,:,cos451BtPt(,0,0),(0,0,)4,t由AB
3、+AD,4得AD,所以, EtCtDt(0,3,0),1,3,0),(0,4,0),(, CDPDtt,(1,1,0),(0,4,).,,i,设平面PCD的法向量为 n=(x,y,z),,,xy0,由得 nn,CDPD,(4)0.,tytz,xt,取,得平面PCD的一个法向量. n,(,4)ttt,2|24|1tt,n,PB,cos60|,:,即 22222|n|,PBtttt,,(4)244解得或,舍去,因为,,所以AB, t,4t,.ADt,4055,ii,假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等, 设G,0,m,0,(其中),则 04,mt, GCtmGDtm
4、GPmt,(1,3,0),(0,4,0),(0,),222由得即.? tm,31(3)(4),,,tmtm|GCGD,222由得? (4).,,mtmt|GDGP,2由?消去,化简得? tmm,3+40.由于方程?没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 解法2:,I,同解法1. P,?,i,同解法1 . GAD,ii,假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D BC的距离都相等. 由GC,GD,得从而即CG, ,AD,,:CGD90,,,,,:GCDGDC45,AB,AD,4,所以.设,则, GDCD,:,cos4513,AG,AD-
5、GD,. 3922222在中, RtABG,GBABAG,,,,,,,(3)2()1,22这不GB,GD矛盾. 所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等. 2. ,x?江苏高考?,25, 如图,在正四棱柱中,点是的中点,点在NBCABCDABCD,AAAB,2,1M11111上,设二面角的大小为。 ,CCADNM,110,1,当时,求的长; ,90AM6,2,当时,求的长。 CM,cos6【思路点拨】本题考查的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力,解决本题的关键是正确地建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标,然后利用空间向量的运算求解
6、。 【精讲精析】 以D为原点,DA为x轴正半轴,DC为y轴正半轴,DD为z轴正半轴,建立空间直角1坐标系, 1则A(1,0,0),A(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0),设M(0,1,z), 12,1面MDN的法向量, nxyz,(,)DADNDMz,(1,0,2),(,1,0),(0,1,)111112xz,,20,00,DAnDNn ,?0,0,设面ADN的法向量为,则 nxyz,(,)1,11000xy,,000,2,取即 xyz,2,1,1,则n,(2,1,1)0001,xy,,011,2,(1)由题意:取取DNnDMnnnyzz ,?,,0,0,00,11111,20xy
7、z,111,1 xyzz,2,1,5,;则1115151222?,,,,,AM(10)(01)(0) 551,xy,,011,2nn ,16yzz,,0,2,由题意:即DNnDMn ,0,0,11116nn2,134420xxyxzyz,,,1111111,11取 xyzz,2,1,2,;则?,CM.111223.,x?新课标全国高考理科?,18,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,?DAB=60?,AB=2AD,PD?底面ABCD. (?)证明:PA?BD; (?)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利,PABD,BD
8、,PADBDAD,222用勾股定理,第,2,问可建立空间直角坐标系,求得二面BDADAB,,Dxyz,角的余弦值 APBC,BDAD,3【精讲精析】,?,因为, 由余弦定理得 ,,:,DABABAD60,2222从而BD+AD= AB,故BD AD;又PD 底面ABCD,可得BD PD ,所以BD 平面PAD. 故 PABD ,,?,如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴射线DB为xy轴的正半轴,射线DP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-, xyzz P D C A B y x A1,0,0P0,0,1B03,0,C,1,3,0则,. ,uuuvuuvuuuvABPB
9、BC,(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0) ,nAB,0,设平面PAB的法向量为=,x, y,z,,则, n,nPB,0,,,xy30即 30yz,因此可取= n(3,1,3),mPB,0,设平面PBC的法向量为,则 m,mBC,0,427,3可取=,0,-1,,, mcos.,m,n72727,故二面角A-PB-C的余弦值为 7. 4.,x?山东高考理科?,19,在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,? ACB=90:,EA ?平面ABCD,EF?AB, FG?BC,EG?AC.AB=,EF. ,?)若,是线段AD上的中点,求证:GM?平面ABFE; ,?,若,:,:=
10、,,,求二面角,-,-:的大小. EGFDAMBC 【思路点拨】,1,本小题考查线面平行的判定,只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.,2,本题考查利用空间向量求二面角的大小,先建立合适的空间直角坐标系,再分别求出平面BFC不平面ABF的法向量,两个法向量的夹角,或补角,即为所求二面角的大小. 【精讲精析】几何法: 证明:,?,,延长交的延长线于点,而,EFAB/FGBC/ABEF,2BFAEP, EGAC/则平面平面,即平面BFGC:平面AEGCPBF,P,BFGCPAE,AEGCGC,直线, 1于是三线共点,若是线段的中点,而ADBC/, FGBC/MADBFCGAE,2FGAM/则,
11、连接AF,四边形为平行四边形,则,又?平面AMGFGMAF/GM,AF平面ABFE. ABFE,所以平面; GM/ABFEABCDCHAB,CH,,?,由平面,作,则平面,作,连EA,ABFEHTBF,CTCTBF,,CTHABFC,接,则,于是为二面角的平面角. ACBCAE,2ACBC,2若,设,则,为AE,1HABABCH,22,23AEAE222的中点, sin,,FBAtan,,FBA3ABEFAB,22236CHRtCHT,tan3,,CTHHTBHABF,,,,,sin2,在中, HT33,ABFC,60:,,CTH60则,即二面角的大小为. ABCD,,:ACB90坐标法:,?
12、,证明:由四边形为平行四边形, ,平面EA,ABCDxyz轴轴轴,可得以点为坐标原点,所在直线分别为的直角AACADAE,坐标系,设,则,ACaADbAEc=,A(0,0,0)1CaDbMbBab(,0,0),(0,0),(0,0),(,0), 2,E,0,0,c,.由可得,EGAC/EGAC,(R且0),1由得,FGBC/,,,GMGEEAAMabc(,)FGBCAD,(R且0)2,11 GMGFFAAMADBAEAAD,,,,,22,111,则,而平面, GM,GMBAEA,,(,(1),)abcABFE222所以平面; GM/ABFE,?,若,设,则, ACBC,2ACBCAE,2AE,
13、1,则,CEBF(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)D(0,2,0),,BCAD,(0,2,0), BF,(1,1,1),设分别为平面不平面CBFG的法向nxyznxyz=(,),(,),ABFEAB,(2,2,0)11112222量. 220xy,11x,1yz,1,0n=(1,1,0)则,令,则,; ,1111,,,xyz0111,20y,2x,1yz,0,1n,(1,0,1),令,则,. ,2222,,,xyz0222,nn,1,12cos,nn,60于是,则nn, ,1212nn,212,ABFC,60即二面角的大小为. 5.,x?北京高考理科?T16,如图,
14、在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,底面ABCD是PA,,,BAD60菱形,AB=2,. BDPAC,平面,?,求证:; ,?,若PA=AB,求PB不AC所成角的余弦值; ,?,当平面PBC不平面PDC垂直时,求PA的长. P D A C B 【思路点拨】本题可利用PA, AC, BD两两互相垂直,建系求解. 【精讲精析】,?,因为四边形ABCD是菱形,所以.又因为平面ABCD,ACBD,PA,所以.又所以平面PAC. PABD,BD,PAACA,0ACBDO:,,?,设.因为,所以,,BADPAAB60,2,如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系, BOAOCO,1,3Oxyz,z P
15、D y O A C B x 则,所以PA(0,3,2),(0,3,0),BC(1,0,0),(0,3,0),.设PB不AC所成角为,则PBAC,(1,3,2),(0,23,0),PBAC,66,cos|,. 4|PBAC2223,,(?)由,?,知,设.则,设平面BC,(1,3,0)Ptt(0,3,)(0),BPt,(1,3,),,,xy30,PBC的法向量,则,所以,令mxyz,(,)BCmBPm,0,0,,,xytz30,66,则,所以.同理,平面PDC的法向量xz,3,m,(3,3,)y,3tt,636.因为平面PBC平面PDC,所以,即,解得mn,0n,(3,3,),,,60,2ttt
16、,66.所以PA=. 6,,x?陕西高考理科?T16, ,如图,在?ABC中,?ABC=,?BAC,AD是BC上的高,沿AD把?ABD折起, 60,90,使?BDC, ,90,?,证明:平面ADB?平面BDC; ,,?,设E为BC的中点,求不夹角的余弦值, AEDB【思路点拨】,1,确定图形在折起前后的不变性质,如角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明;,?,在,?,的基础上确定出三线两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量的坐标和向量的数量积运算求解, 【精讲精析】,?,?折起前AD是BC边上的高, ?当?ABD折起后, AD?DC,AD?DB, 又DB?
17、DC=D,?AD?平面BDC, ,?AD平面ABD,?平面ABD?平面BDC, ,,?,由?BDC及,1,知DA,DB,DC两两垂直,不妨设|DB|=1,以D为坐标原点,90,以,所在直线为轴建立如图 DCDBDAxyz,所示的空间直角坐标系,易得: 23D(0,0,0),B(1,0,0),由?ABD?CBA得CD=3,AC=, 133?C (0,3,0),A(0,0,),E(,0), 22,13所以AE,(,3), DB,(1,0,0)221,AEDB 222cos,AEDB,? 2222AEDB,1,4,22所以AE不DB夹角的余弦值是, 227.,x?浙江高考理科?,20, 如图,在三棱
18、锥P-ABC中,AB,AC,D为BC的中点,PO?平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC,8,PO,4,AO,3,OD,2 ,?,证明:AP?BC; ,?,在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法,这两小题均可用向量法解决,当然这类问题用传统的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系,二面角等基础知识,以及空间想象能力不运算求解能力。 【精讲精析】方法一:,?,证明:如图, 以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.则O,0,0,0,,A,0
19、,-3,0,,B,4,2,0,,C,-4,2,0,,P,0,0,4,APBC,(0,3,4),(8,0,0),由此可得所以?,即AP?BC. APBC,0BCAP,,?,解:设 PMPAPM,1,(0,3,4),则,BMBPPMBPPA,,,,,,,(4,2,4)(0,3,4),(4,23,44),ACBC,(4,5,0),(8,0,0).,设平面BMC的法向量nxyz,(,), 1111,nxyz,(,),平面APC的法向量 2222,BMn,0,1由 ,BCn,0,1,,,4(23)(44)0,xyz,111得 ,80,x,1x,0,1,23,,即可取n,(0,1,), ,23,44,zy
20、,11,44,5,xy,22,340,yz,,APn,0,2224n,(5,4,3),由即得可取 ,2,,,450,xy3ACn,0,22,2,zy,22,4,23,,nn,0430,由,得 1244,2解得,故AM=3 ,5综上所述,存在点M符合题意,AM=3. 方法二: ,?,证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD?BC, 又PO?平面ABC,得PO?BC。 因为PO?AD=0,所以BC?平面PAD 故BC?PA. ,?,解:如图, 在平面PAB内作BM?PA于M,连CM. 由,?,中知AP?BC,得AP?平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC?平面APC。 ,22241 在R
21、t?ADB中,AB=AD+BD=41,得AB= 222在Rt?POD中, PD=PO+OD, 222在Rt?PDB中, PB=PD+BD, 2222所以PB=PO+OD+BD=36,得PB=6. 222在Rt?POA中, PA=AO+OP=25,得PA=5 222PAPBAB,,1又 cos,,,BPA23PAPB,从而所以 AMPAPM,3PMPBBPA,,,cos2,综上所述,存在点M符合题意,AM=3. 关闭Word文档返回原板块。 温馨提示: 此题库为Word版请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴调节合适的观 看比例关闭Word文档返回原板块。 考点37 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
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