最新[中考]上海中考数学压轴题及解析分类汇编优秀名师资料.doc
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1、中考2013年上海中考数学压轴题及解析分类汇编2013年中考数学压轴题及解析分类汇编 2013年中考数学压轴题及解析分类汇编 2013中考数学压轴:相似三角形问题 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 2013中考数学压轴:等腰三角形问题 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三) 2013中考数学压轴:直角三角形问题 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函
2、数直角三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(三) 2013中考数学压轴:平行四边形问题 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一) 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(二) 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三) 2013中考数学压轴:梯形问题 2013中考数学压轴题函数梯形问题(一) 2013中考数学压轴题函数梯形问题(二) 2013中考数学压轴题函数梯形问题(三) 2013中考数学压轴:面积问题 2013中考数学压轴题函数面积问题(一) 2013中考数学压轴题函数面积问题(二) 2013中考数学压轴题函数面积问题(三) 2013中考数学压轴题:函数相
3、似三角形问题(一) 1例1直线分别交x轴、y轴于A、B两点,?AOB绕点O按逆时针方向旋转90?后得到?COD,yx,,132抛物线y,ax,bx,c经过A、C、D三点( (1) 写出点A、B、C、D的坐标; (2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标; (3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与?COD相似,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由( 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11闸北25”, 拖动点Q在直线BG上运动, 可以体验到, ?ABQ的两条直角边的比为1?3共有四种情况,点B上、下各有两种( 思路点拨 1(图形在旋
4、转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角( 2(用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标( 3(第(3)题判断?,90?是解题的前提( ABQ4(?ABQ与?COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个( 满分解答 1)(3,0),(0,1),(0,3),(,1,0)( (ABCD930,abc,,2,(2)因为抛物线,,经过(3,0)、(0,3)、(,1,0) 三点,所以 解yaxbxcACDc,3,abc,,,0.,a,1,得 b,2,c,3.,22所以抛物线的解析式为y,x,2x,3,(x,1),4,顶点
5、G的坐标为(1,4)( (3)如图2,直线BG的解析式为y,3x,1,直线CD的解析式为y,3x,3,因此CD/BG( 因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB?CD(因此AB?BG,即?ABQ,90?( 22因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x,1),那么( BQxxx,,,(3)10Rt?COD的两条直角边的比为1?3,如果Rt?ABQ与Rt?COD相似,存在两种情况: ,10xBQ?当时,(解得(所以,( x,3Q(3,10)Q(3,8),3,312BA101,101xBQ111?当时,(解得(所以,( Q(,0),x,Q(,2)43333BA3103图2 图3
6、 考点伸展 第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB?BG;二是22( BQxxx,,,(3)10我们换个思路解答第(3)题: 如图3,作?轴,?轴,垂足分别为、( GHyQNyHN通过证明?,根据全等三角形的对应角相等,可以证明?,90?( AOBBHGABG13在Rt?BGH中,( sin1,,cos1,,1010BQ?当时,( BQ,310,3BA在Rt?BQN中,( QNBQ,,,sin13BNBQ,,,cos19当Q在B上方时,;当Q在B下方时,( Q(3,10)Q(3,8),1211BQ11?当时,(同理得到,( BQ,10Q(,0),Q(,2)4333
7、BA33kyk,(0)例2 Rt?ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数在第一象限内的图像与BCx边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),?BDE的面积为2( (1)求m与n的数量关系; 1(2)当tan?A,时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式; 2(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下,如果?AEO与?EFP 相似,求点P的坐标( 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,直线AB保持斜率不变,n始终等于m的2倍,双击按钮“面积BDE,2”,可以看到,点E正好在BD的垂直平分线上,FD/x轴
8、(拖动点P在射线FD上运动,可以体验到,?AEO与?EFP 相似存在两种情况( 思路点拨 1(探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口( (第(2)题留给第(3)题的隐含条件是/轴( 2FDx3(如果?AEO与?EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况( 满分解答 4,mk,k(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数的图像上,所以 整理,y,2.nk,x,得n,2m( 1(2)如图2,过点E作EH?BC,垂足为H(在Rt?BEH中,tan?BEH,tan?A,,EH,2,所以BH2,1(因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m,1
9、)( 11BDEHm,,,(1)22已知?BDE的面积为2,所以(解得m,1(因此D(4,1),E(2,2),22B(4,3)( k4因为点D(4,1)在反比例函数的图像上,所以k,4(因此反比例函数的解析式为( y,y,xx34,,kb,1b,1设直线AB的解析式为y,kx,b,代入B(4,3)、E(2,2),得 解得,( k,22.,,kb2,1yx,,1因此直线AB的函数解析式为( 2图2 图3 图4 1yx,,1(3)如图3,因为直线与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD/ x2轴,?EFP,?EAO(因此?AEO与?EFP 相似存在两种情况: EAEF255,?如
10、图3,当时,,(解得FP,1(此时点P的坐标为(1,1)( AOFP2FP25FPEAFP,?如图4,当时,(解得FP,5(此时点P的坐标为(5,1)( 2AOEF5考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt?ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况: 12第(1)题的结论m与n的数量关系不变(第(2)题反比例函数的解析式为,直线AB为y,x1yx,7(第(3)题FD不再与x轴平行,?AEO与?EFP 也不可能相似( 2图5 2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3 ,已知梯形,抛物线分别过点(0,0)、(2,0)、(6,3)(
11、 如图1OABCOAB(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标; (2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O、A、C、B,得到如图2的梯形OABC(设梯形OABC的面积为S,A、 B的坐标分别为 (x,y)、1(x,y)(用含S的代数式表示x,x,并求出当S=36时点A的坐标; 22211(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动(P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动(设P、Q两点的运动时间为
12、t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由( 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图像,可以体验到,x,x随21S的增大而减小(双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果?GAF,?GQE,那么?GAF与?GQE相似( 思路点拨 1(第(2)题用含的代数式表示,,我们反其道而行之,用,表示(再注意平移过程中梯SxxxxS2112形的高保持不变,即,3(通过代数变形就可以了( yy212(第(3)题最大的障碍
13、在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证( 3(第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变(变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方( 满分解答 1112x,1(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为(1,)( Myxx,8482(11)xx,,,,,12Sxx,,,3()6(2) 梯形OABC的面积,由此得到11111221111s22xx,,,2yyxxxx,,,3(由于,所以(整理,得yy,41172,xx,()()3
14、xxxx,,,(因此得到( 212121,S84,xx,,14,x,6,211当S=36时, 解得 此时点A的坐标为(6,3)( 1,xx,2.x,8.212,(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的?GAF与?GQE,有一个公共角?G( 在?GEQ中,?GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值( 在?GAF中,?GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且?GEQ?GAF( 因此只存在?GQE,?GAF的可能,?GQE?GAF(这时?GAF,?GQE,?PQD( 3DQt3t20tan,,GAFtan,,PQD由于,所以(
15、解得( t,4QPt5,745,t图3 图4 考点伸展 第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况,如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的(事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3( 例4 2ymxmxn,,2如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线上( (1)求m、n; (2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,若四边形A ABB为菱形,求平移后抛物线的表达式; (3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B、C、D为顶点的三角形与?ABC相似( 图1 动感体验 请打开几何画
16、板文件名“10宝山24”,拖动点A向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形A ABB为菱形(再拖动点D在x轴上运动,可以体验到,?BCD与?ABC相似有两种情况( 思路点拨 1(点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色(第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B 的坐标、AC和BC的长( 2(抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变( 3(探求?ABC与?BCD相似,根据菱形的性质,?BAC,?CBD,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论( 满分解答 444,mmn,,,2,ymxmxn,,2(1) 因为点A (-2,4) 和点B
17、(1,0)都在抛物线上,所以 ,mmn,,20.,4解得,( n,4m,3(2)如图2,由点A (-2,4) 和点B (1,0),可得AB,5(因为四边形A ABB为菱形,所以A A4164822y,x,x,4,,x1,BB, AB,5(因为,所以原抛物线的对称轴x,1向,3333右平移5个单位后,对应的直线为x,4( 4162,,y,x,4,因此平移后的抛物线的解析式为( 33图2 (3) 由点A (-2,4) 和点B (6,0),可得A B,45( BNBC2BC,BC5,如图2,由AM/CN,可得,即(解得(所以,BMBA845AC,35(根据菱形的性质,在?ABC与?BCD中,?BAC
18、,?CBD( 55ABBC,BD3,?如图3,当时,解得(此时OD,3,点D的坐标为(3,BDACBD350)( ABBD13135BD5,?如图4,当时,,,解得(此时OD,,点D的坐标为(,BD,33ACBC33550)( 图3 图4 考点伸展 在本题情境下,我们还可以探求?BCD与?AB B相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,容易想象,存在两种情况( 我们也可以讨论?BCD与?CB B相似,这两个三角形有一组公共角?B,根据对应边成比例,分两种情况计算( 2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,,2)三点( (1
19、)求此抛物线的解析式; (2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM?x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与?OAC相似,若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得?DCA的面积最大,求出点D的坐标( , 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点在抛物线上运动,可以体验到,?的形状在变化,PPAM分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示?PAM与?OAC相似的三个情景( 双击按钮“第(3)题”, 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察?DCA的形状和面积随D变
20、化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,?DCA的面积最大( 思路点拨 1(已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便( 2(数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长( 3(按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程( 4(把?DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA( 满分解答 (1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,y,a(x,1)(x,4)1代入点C的 坐标(0,,2),解得(所以抛物线的解析式为a,21152y,(x,1)(x,4),x,x,2( 2221(x,(x,1)(x,4)(2)设点P的
21、坐标为( 21PM,(x,1)(x,4)AM,4,x?如图2,当点P在x轴上方时,1,x,4,( 21,(x,1)(x,4)AMAO2,2x,5如果,那么(解得不合题意( ,2PMCO4,x1,(x,1)(x,4)AMAO112,x,2如果,那么,(解得( PMCO24,x2此时点P的坐标为(2,1)( 1PM,(x,1)(x,4)AM,x,4?如图3,当点P在点A的右侧时,x,4,( 21(x,1)(x,4)2x,5解方程,2,得(此时点P的坐标为( (5,2)x,41(x,1)(x,4)12x,2解方程,得不合题意( ,x,421PM,(x,1)(x,4)AM,4,x?如图4,当点P在点B
22、的左侧时,x,1,( 21(x,1)(x,4)2x,3解方程,2,得(此时点P的坐标为( (,3,14)4,x1(x,1)(x,4)12x,0解方程,,得(此时点P与点O重合,不合题意( 4,x2综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或( (,3,14)(5,2)图2 图3 图4 1y,x,2(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E(直线AC的解析式为( 2152(m,m,m,2)设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为(1,m,4)221511122(m,m,2)DE,(,m,m,2),(m,2),m,2m(所以( 2222211222S,(,m,2m),4,(m,2),
23、4因此( ,m,4m,DAC22m,2当时,?DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1)( 图5 图6 考点伸展 第(3)题也可以这样解: 如图6,过D点构造矩形OAMN,那么?DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去?CDN和?ADM的面积( 设点D的横坐标为(m,n),那么 (1,m,4)111S,(2n,2),4,m(n,2),n(4,m),m,2n,4( 2221522n,m,m,2由于,所以( S,m,4m22例6 3如图1,?ABC中,AB,5,AC,3,cosA,(D为射线BA上的点(点D不与点B重合),作DE/BC10交射线CA于点E.( (1) 若CE,x,BD,y,求y
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