最新[原创]高考文(理)科数学热点函数解答题命题趋势预测优秀名师资料.doc
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1、一、 函数部分文科解答题2011年高考文科数学函数解答题命题趋势预测2011-4-20近几年来,广东高考文科数学函数解答题,第一问一般难度稍低,门槛低,入口宽,第二、三问设置层层关卡,多层次、多角度地对考生进行四种能力的考查,用以区分考生灵活地运用知识和方法去分析和解决问题的能力.解答题都具有一定的综合性,不是在某个单一知识点挖掘,而是注意多个知识点与方法的联系与有机结合,在知识、方法网络的交汇点上设计试题. 经常是将函数、数列、不等式、导数等有机地综合,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道.示例一(1) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;考查函数与导函数图象之间的关系.(2) 考查
2、数形结合,分类讨论数学思想。题一:设函数关于y轴对称,函数(bR,c为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。(1)求f(x)表达式(2)试求b的值;(3)若时,函数的图象恒在函数图象的下方,求正整数的值。1.解.(1)设x1、x2是函数的两个极值点,则x1、x2是方程=0的两个根,x1+x2=,又 A、O、B三点共线, =,=0,又x1x2,b= x1+x2=,b=0. -5分(2)时, -6分由得,可知在上单调递增,在上单调递减, . -9分由得的值为1或2.(为正整数) -11分时,记在上切线斜率为2的切点的横坐标为,则由得,依题意得,得与
3、矛盾.(或构造函数在上恒正)综上,所求的值为1或2. -14分示例二(1) 利用函数的观点和方法分析问题、解决问题,(2) 考查平面向量,解析法,导数等相关知识.题二:设定义在区间x1, x2上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向量=,=(x,y),当实数满足x= x1+(1) x2时,记向量=+(1)定义“函数y=f(x)在区间x1,x2上可在标准k下线性近似”是指 “k恒成立”,其中k是一个确定的正数(1)求证:A、B、N三点共线(2)设函数 f(x)=x2在区间0,1上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;(3)求证:函数在区间上可在标准k=下线性近似(参
4、考数据:e=2.718,ln(e1)=0.541)2.【解】(1)由=+(1)得到=,所以B,N,A三点共线, 2分(2)由x= x1+(1) x2与向量=+(1),得N与M的横坐标相同4分对于 0,1上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),则有,故;所以k的取值范围是 6分(3)对于上的函数,A(),B(), 则直线AB的方程,8分令,其中,于是, 10分来源:学+科+网列表如下:xem(em,em+1em)em+1em(em+1em,em+1)em+1+00增减0则,且在处取得最大值,又0.123,从而命题成立 14分示例三题三:设函数在上是增函数.(1)求正实数的取值范围;(2)设
5、,求证:3.解:(1)对恒成立,对恒成立又 为所求. -4分(2)取,一方面,由(1)知在上是增函数,来源:Z#xx#k.Com 即-8分另一方面,设函数 在上是增函数,又 当时, 即 综上所述,-14分示例四题四:已知b,c0,函数的图像与函数的图像相切()设,求;()设(其中x)在上是增函数,求c的最小值;()是否存在常数c,使得函数在内有极值点?若存在,求出c的取值范围;若不存在,请说明理由解:【方法一】由,依题设可知,b,c0,即【方法二】依题设可知,即,为切点横坐标,于是,化简得同法一得()依题设,在上是增函数,0在上恒成立,又x,c0,上式等价于0在上恒成立,即,而由()可知,又函
6、数在上的最大值为2,2,解得c4,即c的最小值为4()由,可得令,依题设欲使函数在内有极值点,来源:Zxxk.Com则须满足0,亦即0,解得或,又c0,0c或c故存在常数,使得函数在内有极值点(注:若0,则应扣1分)示例五题五:已知函数()证明函数f(x)在上为单调增函数;()证明方程f(x)=0没有负数根.5.解:() 3分又a1, lna0当x1时, f(x)0 5分 f(x)在上为单调递增函数。6分()假设存在x00(x01)满足f(x0)0 7分则, 8分解得,这与假设x00矛盾。 12分上假设不成立,即方程f(x)=0没有负数根。 14分示例六题六:对于定义域为的函数,若有常数M,使
7、得对任意的,存在唯一的满足等式,则称M为函数f (x)的“均值”(1)判断0是否为函数的“均值”,请说明理由;(2)若函数为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;(3)已知函数是单调函数,且其值域为区间I试探究函数的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明)6.解:(1)对任意的,有, 当且仅当时,有, 故存在唯一,满足, 所以0是函数的“均值” (另法:对任意的,有,令,则,且, 若,且,则有,可得,故存在唯一,满足, 所以0是函数的“均值”)(2)当时,存在“均值”,且“均值”为; 当时,由存在均值,可知对任意的,都有唯一的与之对应,从而有单调,故
8、有或,解得或或, 综上,a的取值范围是或(另法:分四种情形进行讨论)(3)当I 或时,函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为; 当I为时,函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”; 当I 或或或或或时,函数不存在“均值” (另法:当且仅当I为开区间或闭区间时,函数存在唯一的“均值”这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数; 当且仅当I为时,函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”; 当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时,函数不存在“均值”)示例七题七:对于定义在区间D上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意,都有,且对任意D,当时,恒成立,则称函数为
9、区间D上的“平底型”函数()判断函数和是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;()若函数是区间上的“平底型”函数,求和的值7.解:()对于函数,当时,当或时,恒成立,故是“平底型”函数对于函数,当时,;当时,,所以不存在闭区间,使当时,恒成立故不是“平底型”函数 ()因为函数是区间上的“平底型”函数,则存在区间和常数,使得恒成立所以恒成立,即解得或 当时,当时,当时,恒成立此时,是区间上的“平底型”函数 当时,当时,当时,此时,不是区间上的“平底型”函数 综上分析,m1,n1为所求 示例八命题走向:以函数为背景,以导数为工具,与不等式、解析几何知识交汇点设计试题,培养解决综合问题的能力。题八:
10、已知函数,(1)当时,判断在定义域上的单调性;(2)若在上的最小值为,求的值;(3)若在上恒成立,求的取值范围8.解析:(1)由题意:的定义域为,且,故在上是单调递增函数(2)由(1)可知: 若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,(舍去) 若,则,即在上恒成立,此时在上为减函数,(舍去) 若,令得。当时,在上为减函数;当时,在上为增函数。, 综上可知:(3) 又令,在上是减函数,即,在上也是减函数,令得,当在恒成立时,示例九9已知函数,其中(1)设函数,若在区间(0,3)上不单调,求的取值范围(2)设函数是否存在实数,对任意给定的非零实数存在唯一的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不
11、存在,请说明理由.9.解:(1),.因为在(0,3)上不单调,所以在(0,3)上有实数解,且无重根.由,得. 令,则(1,7),记,则在(1,3上单调递减,在3,7)上单调递增.所以,6,10),于是k(5,2.而当时,在(0,3)上有两个相等的实根,故舍去.所以(5,2).(2)由题意得,当时,;当时,.因为当时不合题意,所以0.下面讨论0的情形.50g (x)yxf (x)记,则(,+),(5,+),(i)当0时,在(0,+)上单调递增,所以要使成立,只能0,且.因此5;(ii)当0,且,因此5.综合(i)(ii),得=5.当=5时,有.则对任意0,使得成立.因为在(0,+)上单调递增,所
12、以是惟一的.同理,对任意0,存在惟一的非零实数(),使得,成立.所以满足题意.示例十题十:已知函数(1)若,证明:(2)若证明:(3)对于任意的问以的值为边长的三条线段是否可构成三角形?并说明理由10.解析:(1), 同理, 故得 (2) 由(1)知,由以上个式子相加得(3)设以的值为边长的线段可以构成三角形,事实上因为,所以显然当时,即在上是增函数,在处取得最小值,在处取得最大值不妨设,则,而因此以的值为边长的三条线段可以构成三角形示例十一1.知识考查函数,不等式,导数;2.能力考查分类讨论,综合应用知识解决问题能力。题十一:已知(1)求函数上的最小值;(2)对一切恒成立,求实数的取值范围;
13、(3)证明:对一切,都有成立.11.解:(1),1分当单调递减,当单调递增 2分,没有最小值; 3分,即时, ; 4分,即时,上单调递增,;5分所以 6分(2),则,7分设,则, 单调递减, 单调递增,所以,对一切恒成立,所以;10分(3)问题等价于证明,11分由(1)可知的最小值是,当且仅当时取到,设,则,易知,当且仅当时取到, 13分从而对一切,都有 成立 14分示例十二题十二:已知在区间上是增函数(I)求实数的取值范围;(II)记实数的取值范围为集合A,且设关于的方程的两个非零实根为。求的最大值;试问:是否存在实数m,使得不等式对及恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由12
14、.解:(1) 在上是增函数即,在恒成立 设 ,则由得 解得 所以,的取值范围为(2)由(1)可知由即得 是方程的两个非零实根 ,又由 于是要使对及恒成立即即对恒成立 设 ,则由得 解得或故存在实数满足题设条件示例十三题十三.已知函数处取得极值,在x=2处的切线平行于向量 ()求a,b的值;来源:学科网 ()求的单调区间; ()是否存在正整数m,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等实根?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 13解:() 4分()由()得由上单调递增. 由上单调递减 8分()方程令则当是单调减函数;当是单调增函数;方程内分别有唯一实根. 12分存在正整数m=1,使得
15、方程在区间(1,2)上有且只有两个不相等的实数根. 14分示例十四题十四已知二次函数对于任意的实数,都有成立,且为偶函数(1)求的取值范围; (2)求函数在上的值域14.解:由为偶函数可得的图像关于直线对称,则,;对于任意的实数,都有成立,则= 因为,所以故 (2),因为,所以当时,即时,函数的值域为;当时,函数的值域为;当时,函数的值域为示例十五题十五设(e为自然对数的底数) (I)求p与q的关系; (II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围; (III)证明: ;(nN,n2).15解:(I)由题意 (II)由(I)知:,令h(x)=px22x+p.要使g(x)在(0,+)为单调函数
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