最新[最新中考数学](最新最全)全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第二十八章 图形的相似与位似优秀名师资料.doc
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1、最新中考数学(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第二十八章图形的相似与位似(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第二十八章 图形的相似与位似 相似 28.1 图形的ab52ab,?015(2012北京,15,5)已知,求代数式的值( ,ab2,2223ab,4【解析】 525210641ababkkk,【答案】设a=2k,b=3k,原式=(2)ab, (2)(2)22682abababkkk,,,【点评】本题考查了见比设份的解题方法,以及分式中的因式分解,约分等。 28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质 (2011山东省潍坊市,题号8,分
2、值3)8、已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将?ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( ) 5,15,1A( B( C( D(2 322考点:多边形的相似、一元二次方程的解法 解答:根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似 1,52AD,AD,1,0AD,所以DF:EF=AB:BC 即 (AD-1):1=1:AD 整理得:,解得 25,1由于AD为正,得到AD=,本题正确答案是B. 2点评:本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似,综合性强。 28.3 相似三角形的判定 (2012山东省聊城,1
3、1,3分)如图,?ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,下列结论不正确的是( ) ADABA.BC=2DE B. ?ADE?ABC C. , D. S,3S,ABC,ADEAEAC解析:根据三角形中位线定义与性质可知,BC=2DE;因DE/BC,所以?ADE?ABC,AD:AB=AE:AC,即AD:AE=AB:AC,.所以选项D错误. S,4S,ABC,ADE答案:D 点评:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线,可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等. (2012四川省资阳市,10,3分)如图,在?ABC中,?C,90?,将?ABC沿直线MN翻折后
4、,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN?AB,MC,6,NC,,则四边形23MABN的面积是 63123183243A( B( C( D( CNMADB(第10题图) 【解析】由MC,6,NC,=,再由翻折前后?CMN?DMN?C,90?得S2363?CMN,得对应高相等;由MN?AB得?CMN?CAB且相似比为1:2,故两者的面积比为1:4,从而得S:S=1:3,故选C. ?四边形CMNMABN【答案】C 【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富;考查了学生综合运用知识来解决问题
5、的能力.难度较大. (2012湖北随州,14,4分)如图,点D,E分别在AB、AC上,且?ABC=?AED。若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长为_。10 AEDE解析:?ABC=?AED,?BAC=?EAD?AED?ABC,?,DE=10 ,ABCB答案:10 点评:本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比,通过已知边长度求解某边长度,是常用的一种计算线段长度的方法。 28.4 相似三角形的性质 (2012重庆,12,4分)已知?ABC?DEF,?ABC的周长为3,?DEF的周长为1,则?ABC与?DEF的面积之比为_ 解析:相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的
6、面积比等于相似比的平方,故可求出答案。 答案:9:1 点评:本题考查相似三角形的基本性质。 (2012浙江省衢州,15,4分)如图,?ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若?DEF的面积为a,则?ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示) 【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出?DEF?CEB,?DEF?ABF,进而利用相似三角形的性质分别得出?CEB、?ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可. 【答案】12a 【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似
7、三角形的判定定理和性质定理( (2012山东省荷泽市,16(1),6)(1)如图,?DAB=?CAE,请你再补充一个条件_,使得?ABC?ADE,并说明理由. 【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比. 【答案】 -2分 ,,,,,DBAEDC或理由:两角对应相等,两三角形相似-6分 【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加. (湖南株洲市6,20题),(本题满分6分,如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重
8、合,直线MN交AC于O. (1)、求证:?COM?CBA; (2)、求线段OM的长度. 【解析】要证明?COM?CBA就是要找出?COM=?B即可,求线段的长就是利用第(1)问中的相似建立比例式,构造出OM的方程求解. 【解】(1)证明: A与C关于直线MN对称 ,ACMN ??COM=90? ?在矩形ABCD中,?B=90? ?COM=?B-1分 ?又?ACB=?ACB-2分 ?COM?CBA -3分 ?(2)在Rt?CBA中,AB=6,BC=8 AC=10- -4分 ?OC=5 ??COM?CBA-5分 OCOM ?=BCAB15OM=-6分 ?4【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角
9、对应相等,两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等,两三角形相似及三边对应成比例,两三角形相似,求线段的长的方法,主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理. (2012湖南娄底,25,10分)如图13,在?ABC中,AB,AC,?B,30:,BC,8,D在边BC上,E在线段DC上,DE,4,?DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N. (1)求证:?BMD?CNE; (2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切, (3)设BD,x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x 之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值,并求y的最大值
10、. F A N M C E B D 【解析】(1)由AB=AC,?B=30?,根据等边对等角,可求得?C=?B=30?,又由?DEF是等边三角形,根据等边三角形的性质,易求得?MDB=?NEC=120?,?BMD=?B=?C=?CNE=30?,即可判定:?BMD?CNE; (2)首先过点M作MH?BC,设BD=x,由以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,可得MH=MF=4-x,由(1)可得MD=BD,然后在Rt?DMH中,利用正弦函数,即可求得答案; (3)首先求得?ABC的面积,继而求得?BDM的面积,然后由相似三角形的性质,可求得?BCN的面积,再利用二次函数的最值问题,即可求得答案(
11、【答案】(1)证明:?AB=AC,?B=?C=30?.?DEF是等边三角形,?FDE=?FED=60?,?MDB=?NEC=120?,?BMD=?B=?C=?CNE=30?,?BMD?CNE;(2)过点M作MH?BC,?以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,?MH=MF,设BD=x,?DEF是等边三角形,?FDE=60?,?B=30?,?BMD=?FDE-?B=60?-30?=30?=?B,?DM=BD=x,4-x3MH?MH=MF=DF-MD=4-x,在Rt?DMH中,sin?MDH=sin60?=,解得:x=,1683,2xMD?当BD=时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切;(3)
12、过点M作MH?BC于H,1683,11过点A作AK?BC于K,?AB=AC,?BK=BC=8=4。?B=30?,?AK=BKtan?B=4221116343343=,?S?ABC=BCAK=8=,由(2)得:MD=BD=x,?MH=MDsin22333313332?MDH= x,?S=xx=.?DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,?BDMx22422BDx2EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x,?BMD?CNE,?S:S=,?S?BDM?CEN?()2(4),xCE316332322(4),x,=,?y=S-S-S= CEN?ABC?CEN?BDM,x(4),x44343833232
13、2=(0?x?4),当x=2时,y有最大值,最大值为,,(2)x,,xx23232383( 3【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识(此题综合性较强,注意数形结合思想与方程思想的应用( 已知?ABC?DEF,?ABC的周长为3,?DEF的周长为1,则?ABC (2012重庆,12,4分)与?DEF的面积之比为_ 解析:相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方,故可求出答案。 答案:9:1 点评:本题考查相似三角形的基本性质。 (2012浙江省衢州,15,4分)如图,?ABCD中,E是CD的延长线上一
14、点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若?DEF的面积为a,则?ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示) 【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出?DEF?CEB,?DEF?ABF,进而利用相似三角形的性质分别得出?CEB、?ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可. 【答案】12a 【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理( (2012山东省荷泽市,16(1),6)(1)如图,?DAB=?CAE,请你再补充一个条件_,使得?ABC?ADE,并说明理由. 【解析
15、】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比. 【答案】 -2分 ,,,,,DBAEDC或理由:两角对应相等,两三角形相似-6分 【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加. (2012山东泰安,17,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点,BB重合,若AB=2,BC=3,则?FC与?DG的面积之比为( ) A.9:4 B.3:2 C.4:3 D.16:9 ,BB【解析】设CF=x,则BF=3-x,由折叠得F=BF=3-x,在R
16、t?FC中,由由勾股定理得4222222,BBBBCF+C=F,x+1=(3-x),解得x=,由已知可证Rt?FC?Rt?DG,AR所以S?34162与S的面积为(:1)=. ?FCDG,BB39【答案】D. 【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质,相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ,2012年四川省德阳市,第11题、3分,,如图,点D是?ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点,不与点B重合,.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,/又APBE,点P、E在直线AB的同侧,,如果AP1BD,AB,那么?PBC的面积与?ABC面积之4GBCF比为 DE1
17、3A. B. 4513C. D. 54【解析】连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作,AMBCPNBC,EFAD/垂足M、N.?四边形BDEF是平行四边形,,又APBE,?E、F、P共线,即,PFAB1131四边形APEB是平行四边形,?EP=AB,又? EF=DB=AB=PF,?PF=AB,?BD,AB4344PNPF3SPN3?PBC?ABH?PFH,?,?. ,SAM4AMAB4?ABC【答案】D. 【点评】此题应用了平行四边形,相似三角形和三角形面积的相关知识,能够合理作出辅助线是解决本题的关键, (2012山东省荷泽市,18,10)如图,在边长为1的小正方形组成的
18、网格中,?ABC和?DEF的顶点都在格点上,P,P,P,P,P是?DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题: 12345(1)试证明三角形?ABC为直角三角形; (2)判断?ABC和?DEF是否相似,并说明理由; (3)画一个三角形,它的三个顶点为中的3个格点并且与?ABC相似;(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明) 【解析】在网格中借助勾股定理求?ABC三边的长,然后利用勾股定理的逆定理来判断?ABC的形状. 【答案】解: (1)根据勾股定理,得,BC=5 ; AB,25AC,5222ABACBC,, 显然有, 根据勾股定理的逆定理得?ABC 为直角三角形 (1) ?ABC和?DE
19、F相似( 根据勾股定理,得,BC=5 AB,25AC,5,( DE,42DF,22EF,210D B PABACBC5P5 1 , ,PF DEDFEF2 22PC 3 P4 A E ?ABC?DEF( (3)如图:?PP P( 245【点评】在网格中计算线段的长,勾股定理是首先的计算方法,在网格中证明三角形相似,常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例. (2012安徽,22,12分)如图1,在?ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,?BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c. (1)求线段BG的长; 解: (2)求证:DG平分?EDF;
20、证: (3)连接CG,如图2,若?BDG与?DFG相似,求证:BG?CG. 证: 解析:已知三角形三边中点连线,利用三角形中位线性质计算证明.(1)已知?ABC的边11长,由三角形中位线性质知,根据?BDG与四边形ACDG周长相等,DF,b,DE,c22b,cBG,可得.(2)由(1)的结论,利用等腰三角形性质和平行线性质可证. (3)利用2两个三角形相似,对应角相等,从而等角对等边,BD=DG=CD,即可证明. 解(1)?D、C、F分别是?ABC三边中点 11?DE?AB,DF?AC, 22又?BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ?BG=AC+AG ?
21、BG=AB,AG AB,ACb,c?BG= 22b,cb,ccb(2)证明:BG=,FG=BG,BF=, ,2222?FG=DF,?FDG=?FGD 又?DE?AB ?EDG=?FGD ?FDG=?EDG ?DG平分?EDF (3)在?DFG中,?FDG=?FGD, ?DFG是等腰三角形, ?BDG与?DFG相似,?BDG是等腰三角形, ?B=?BGD,?BD=DG, 则CD= BD=DG,?B、CG、三点共圆, ,?BG?CG ?BGC=90?点评:这是一道几何综合题,在计算证明时,根据题中已知条件,结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做. (2012山东泰安,28,10分)如图
22、,E是矩形ABCE的边BC上一点,EF?AE,EF分别交AC、CD于点M、F,BG?AC,垂足为G,BG交AE于点H。 (1)求证:?ABE?ECF; (2)找出与?ABH相似的三角形,并证明; (3)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长。 【解析】(1)由四边形ABCD是矩形,可得?ABE=?ECF=90?,又由EF?AE,利用同角的余角相等,可得?BAE=?CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似,即可证得:?ABE?ECF;(2)由BG?AC,易证得?ABH=?ECM,又由(1)中?BAH=?CEM,即可证得?ABH?ECM;(3)首先作MR?BC,垂足为R,由AB
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