最新[理学]《高等数学》第四册数学物理方法答案优秀名师资料.doc
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1、理学高等数学第四册数学物理方法答案第一章 复数与复变函数(1) 1.计算 (1).(2)(12)222;,iiiiii122(12)(34)(2)510212,,,,,iiiiiiii2.;,,,,,345(34)(34)591655,,,,iiii5551(3).;,i(1)(2)(3)(13)(3)102,iiiiii4222(4).(1)(1)(2)4;,iii11ab2222(5).()()abiabiabi,,,,,2222abab,11,222224,,,,(cossin)()(cossin);abiabi,22 z1,i1z,1zi,3;zzz221223.设试用三角形式表示及。
2、 ,1,,,,zizicossin;(cossin);1244266解: 1155,,,,zziicos()sin()(cossin);122464621212 z,1,,,,2cos()sin()2(cossin);iiz464612122 zzz,1;zzz,zzz,,0zzz,12312312312311.设三点适合条件及试证明是一z=1个内接于单位圆的正三角形的顶点。 ?,zzzzzzzzz;z,,zz0;123231;312123证明: ?,zzzzzz;?zzz,122331123所组成的三角形为正三角形。 zzz,1?zzz,123123z为以为圆心,1为半径的圆上的三点。 z,
3、z,z123即是内接于单位圆的正三角形。 1 z1z3z2 . ,证明:三角形内角和等于。17. 证明:有复数的性质得: zzzzzz,321321,arg;arg;arg;,zzzzzz,311223 zz,zz,zz,133221,1;zzzzzz,311223Z2 y ?,,,,arg(1)2;kZ3 ,(0,);(0,);(0,); ?,,(0,3); Z1 ?,k0;?,,; o x 第一章 复数与复变函数(2) 44zaa,,00,7.试解方程。 4z,10a,,44aza,解:由题意,所以有; 4,,2kzi,zi,4cossin,,,ie,(0,1,2,3)ek,aa,;所以;
4、 ,3,5,7,iiii4444zae,zae,zae,zae,1234;. 12(下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么,它是不是区域, (1).()zzzzzz,1212 解:此图形表示一条直线,它不是区域。 (2).4;zz, 2222xyxy,,,(4)816;2;xx,x2,解:即此图形为的区域。 z,1(3).1;,z,1 2 2222zzxyxy,,,,,,11(1)(1);,22;0;xxxx0解:此图形为的区域。 ,(4).0arg(1)2Re()3;,zz且4 ,0,2,34解:此图形表示区间辐角在的部分。 (5).1Im0;zz,且 z,1解:表示半径为1的圆的外上半部分及
5、边界,它是区域。 (6).Im;yzy,12 yy12解:它表示虚部大于小于等于的一个带形区域。 (7).231;zz,且 解:此图形表示两圆的外部。 ii131(8).;zz,且2222 113112222x,,()yxy,,()22222解:,它表示两相切圆半径为的外部区域。 (9).Im12;zz,且 Im1z,解:此图形表示半径为2的圆的内部,且的部分,它是区域。 ,(10).20arg;zz,且4) ,,0,4,解:此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分,它是区域。 第二章 解析函数(1) fzfz,4.若函数在区域D上解析,并满足下列的条件,证明必为常数. ,fzzD,0,
6、 ,uvuv,fz,,xyyx证明:因为在区域上解析,所以。 ,uv,fzi,,,0,fzuxyivxy,,,,,xy令,即。 3 ,uv,uv,0,0,xy,yx由复数相等的定义得:,。 uxyC,vxyC,fzCiC,,1212所以,(常数) ,(常数),即为常数。 z5 .证明函数在平面上解析,并求出其导数。 xxexyyyieyyxy(cossin)(cossin).,,(1) xxfzuxyivxy,,,,exyyyieyyxy(cossin)(cossin).,,证明:设= xxuxyexyyy,(cossin),vxyeyyxy,(cossin),,则, ,vxxx,uxxcos
7、sincos,,eyyyexye(cossin)cos,,exyyyey,y,x; ,ux,vx(sinsincos),,exyyyy(cossinsin),,eyyxyy,y,x; ,uvuv,;,xyyx满足。 xy,,CR,zz即函数在平面上可微且满足条件,故函数在平面上解析。 ,uvxx,()(cossincos)(cossinsin)fziexyyyyieyyxyy,,,,,xx 22fzuiv,,fii()1,,uxyxy,,8(由已知条件求解析函数, ,。 uxyuyx,,,,2,2uu,2,2xyxxyy解:, 。 uu,,0xxyyCR,u所以即是平面上调和函数。由于函数解析
8、,根据条件得2yvxyx,,2(),uvxy,,2,()xxy2,于是,,其中是x的待定函数,再由C,uyx2vyx,,2(),yxR条件的另一个方程得=, 222xyx,()xc,,vxyc,,,,2,()xx,222所以,即。于是 11vc,,,1c,fii()1,,xy,0,1u,122又因为,所以当,时,得 22yx122fzxyxyixy,,,,(2),222所以。 第二章 解析函数(2) ,xy,xy,(,),,,,uivzxiy,uv,vuz12.设是的解析函数,证明, 。 ,uv,uv,xy,,,xy,yx,证明:是z上的解析函数,所以,在上处处可微,即, ,uvyvux,xy
9、,xyvyxu,uv所以,所以, ,uvyvux,xy,yyvxxu,vv同理,所以, 即得所证。 4 zxiy,,sinsincoszxchyixshy,,14.若,试证:(1)。 sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy,,,,证: iiyiiyiiyiiy,()eeee,,sincosxx,22i= yyiiyy,()eeee,,sincosxix,22= ,,sincosxchyixshy i,lnz,218.解方程。 i,lnlnarg0zziz,,,,2解:, ,zz,1,argzxiy,,2即,设 ,argxiy,,22,xy,,1xy,0,1zi,2,得,即
10、。 iiii2,Lni(1),(1),3,,iie20.试求及。 ,ikik(2)2,,iiLni22ieeek,0,1,2,解: ,ikln2(2),,,iiLnik(1)2,,44(1)(cosln2sinln2),,,ieeiee, k,0,1,2, ,Lniiikiikik(1)ln(1)2ln22ln2(2),,,,,,,,44 k,0,1,2, iiLnik3(ln32),,3cosln3sinln3,,eei 222,iieeeei,,(cos1sin1) sinz,lim1z,0z22,求证 sinsin()zxiy,limlim,zxy,zxiy,,zxiy,证: (x,y,
11、均为实数),所以 iyiy,siniyee,lim1,iy,iyiyzx,0当则极限趋近于z轴,有 sinx,lim1y,0x,x当时,则极限趋于z轴,有, sinz,lim1z,z故。 第三章 柯西定理 柯西积分(1) 1,i2(xyixdz,,),01.计算积分积分路径是直线段。 z=(1+i)dz, dz=(1+i)dt解:令,则: 5 311ti,121+i1,(1)(1)itdti22,(x-y+ix)dz,,itidz(1)00,3300。 2.计算积分路径是(1)直线段,(2)右半单位圆,(3)左半单位圆。 ()令,1(11)zittdzidtzt, 解:, i111所以 zdz
12、tidtitdtitdti,,,(),i110 ,(2).cossin()(sincos)1令:,zidzdz,,,,, ,22,则 ,i22zididii,,,,,sincos022,i22 3,令 ,,,,,从到), (3).cossin(sincos)1zidzidz,22, ,i22zdidii,,,,,sincos022,33,i22 C5.不用计算,证明下列分之值为零,其中为单位圆。 zedzdzdz22,ccc56zz,cos22zzz,(1),(2),(3), 1dz0,f(z)=,c,coszcos解:(1)因为函数在单位圆所围的区域内解析,所以。 1dzfz(),022,c
13、z+2z+2z+2z+2(2)因为函数在单位圆内解析,所以。 zzeeD因为函数f(z)=的解析区域包含拉单位围线2z+5z+6(z+2)(z+3)(3) zedz,0所以由哥西积分定理有2,cz+5z+6 dzdzdzdz,z,1,z,1,zz,1z,1zzz6.计算,。 dzdz()12(1)2,ifi,zz,11zz,1解:。 2,dzii,(2)0,iedde,zz,110z。 cossin,,id2,,dz(3)0,z,10zicossin,,。 2,dz(4)2,d,z,10z。 2,dz12cos,,d,0,c02z,54cos,,7.由积分之值,证明,其中取单位圆。 dz0,i
14、,z,1czre,2z,z,2证明:因为被积函数的奇点在积分围道外,故,现令,6 i,i,z,1dziediid,,,cossin,zei,,cossin,则在上, 2,iicossin,,dzd,0c2cossin,i2z,,2,-cossin2cossin,,,ii,=d,02cossin2cossin,,ii,, 2,,2sin2cos1,i,,d,054cos,,, 2,2sin,d0,0,54cos比较可得:, ,2,2cos1,,d,0,054cos,,。 第三章 柯西定理 柯西积分(2) 8.计算: 221zz,,dzCz:2,,,cz,1)。 (1222122112zzzzzz
15、,,,,,,dzdzzdz,,(2),ccczzz,111解: 11,,,,zdzzdzdzdz(21)(2),cccc,,,002(1)2,ifizz,11 。 2371,,fzd,,22,c,f1+i,,zx,,y3,C10.设表圆周,求。 2g,,371,zC,解:设,它在复平面内解析,故当时,则由哥西积分公式2g,,371,,2,z,,22371fddzigzizz,,,,,Zz,cc有,所以 ,2,,fizzizi23712671226,1+i,,,,,,zi,,1,zi,,1。 ze,cos,:1,dzCz,,edcos(sin),c,0z11.求积分从而证明:。 zzeez,(2
16、)2,fz,dziei,,0z,Cz:1,cz,0zz解:由于,函数在处不解析,。 ii,zedzied,令,则 zicossin,,22,eeicos,,,cos(sin)sin(sin)2diedieidi,i,c00ze,故 22,coscos,edeidcos(sin)sin(sin)2,,,00,所以 ,cos,2cos(sin)2ed,0,即 ,cos,edcos(sin),0。 7 fd,,1fz=,2,cfzz,,2iz,13.设,利用本章例5验证哥西积分公式以及哥西f,,n!n,,fzd,,1n,c2i,f,z,,求导公式。提示:把写成22,,,,zzzz2,。 222fzz
17、zz,,,,2,证明:设,则式的右边为可写为: 22fdzzzz,,,,2,11,dz,cc2i,ziz2, 211z=,,,zzdd2,,cc2i2iz, 由哥西积分定理有: 211z221,dziz,2,,,zzd,20,,c,,c22izi,i,2,所以右边, 即 左边=右边。 ,ff,,11,fzdd,,,2,cc22izi,z,,,,n,1再由式子可知当时,成立。 kfd!(),k,fz(),1k,c,2()iz,nk,假设当时,等式成立。则 k,1!,fd(),k,1fz(),k,2,c2()iz,nk,,1当时,成立。 f,,n!n,,fzd,,1n,c2i,z,,所以。 zco
18、s,zedzdz5,c22,cCzaa:1.,z1,z,(1)14.求积分(1),(2),其中 z,1解:(1)被积函数有奇点,该奇点在积分围道内,由哥西积分求导公式有: cos,z4522,idi2dz45,cos1coszi,,c,4z,1,z1,4!4!12dz zzeezzz22,eee()()zizi,,(2):22,,,,dzdzdzii,222222,ccc12(1)()()()(),,,,zzizizizi,zizi,ii,,,(1)(1)2sin(1)ieiei,224 第四章 解析函数的幂级数表示(1) z2.将下列函数展为含的幂级数,并指明展式成立的范围: 1,2z(,a
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