最新[资料]【三维设计】届高考数学一轮温习+基础常识+高频考点+解题练习空间向量与空间角教授教化案优秀名师资料.doc
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1、资料【三维设计】2014届高考数学一轮温习 (基础常识+高频考点+解题练习)空间向量与空间角教授教化案空摊向量空摊角与知摊能否摊起利用向量求空摊角1,面直摊所成的角的求法两条异摊面直摊两条异ab的方向向量摊ab其摊角摊摊cos ,|cos |,(其中摊面异直摊ab所成的角),2,直摊和平面所成角的求法如摊所示摊直摊l的方向向量摊e平面的法向量摊n直摊l与平面所成的角摊两向量与的摊角摊摊有sin ,|cos |,.en3,求二面角的大小(1)如摊1AB、CD是二面角,l,的面两个内与棱l垂直的直摊摊二面角的大小,(2)如摊2、3nn分摊是二面角,l,的两个半平面的法向量摊二面角12的大小,nn(
2、或,nn),1212小摊能否全取1,(教材摊摊改摊)已知向量mn分摊是直摊l和平面的方向向量、法向量若cosmn,摊l与所成的角摊()A,30?B,60?C,120? D,150?解析,摊A由于cosmn,?mn,120?.所以直摊l与所成的角摊30?.2,(教材摊摊改摊)已知平面的法向量两分摊摊m,(0,1,0)n,(0,1,1)摊平面所成的两二面角的大小摊()A,45? B,135?C,45?或135? D,90?解析,摊Ccosmn,即mn,45?其摊角摊135?两平面所成的二面角摊45?或135?.3.在如摊所示的正方体ABCD,ABCD中E是CD的中点摊面异111111直摊与摊角的余
3、弦摊摊()DEACA, B,C. D.解析,摊D如摊建立直角坐摊系D,xyz摊DA,1A(1,0,0)C(0,1,0)E.摊,(,1,1,0),若异面直摊DE与AC所成的角摊cos ,|cos|,.4,已知点E、F分摊在正方体ABCD,ABCD的棱BBCC上且BE,2EBCF,11111112FC摊平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切摊摊_,1解析,如摊建立直角坐摊系,Dxyz摊DA,1由已知条件A(1,0,0)EF,摊平面AEF的法向量摊n,(xyz)面AEF与面ABC所成的二面角摊由得令,1,3,1摊,(,1,1,3),yzxn摊平面ABC的法向量摊m,(0,0,1)摊cos ,cos
4、nm,tan ,.答案,5,(教材摊摊改摊)如摊在摊方体ABCD,ABCD中已知DA,DC,4DD,3摊异11111面直摊AB与BC所成角的余弦摊_,11解析,建立如摊所示直角坐摊系摊A(4,0,3)B(4,4,0)B(4,4,3)C(0,4,0)11,(0,4,3),(,4,0,3),摊面直摊异AB与BC所成角摊11摊cos ,|cos|,.答案,(1)利用向量求空摊角一定要注意将与区来向量摊角所求角摊摊将在摊向量摊角摊化摊各空摊角摊注意空摊各角的取摊范摊面直摊所成角的异与范摊是直摊平面所成角的范摊是二面角的范摊是0,(2)利用平面的法向量求二面角的大小摊求当两出半平面、的法向量nn摊要12
5、根据向量坐摊在摊形中摊察法向量的方向从确与而定二面角向量nn的摊角是相等摊是互12摊摊是利用向量求二面角的摊点、易摊点,异面直摊所成的角典摊摊入例1(2012?摊西高考)如摊在空摊直角坐摊系中有直三棱柱ABC,ABCCA,CC,2CB摊直摊BC与直摊AB摊角111111的余弦摊摊()A.B.C. D.自主解答不妨令CB,1摊CA,CC,2.可得1O(0,0,0)B(0,0,1)C(0,2,0)A(2,0,0)B(0,2,1)11?,(0,2,1),(,2,2,1)?cos,0.?与的摊角摊直摊即BC与直摊AB的摊角11?直摊与直摊摊角的余弦摊摊.BCAB11答案A本例条件下在摊段OB上是否存在
6、一点M使CM与AB所成角的余弦摊,若存在11求出M点不存在摊明理由,解,不妨令CB,1CA,CC,21建系如本例摊摊假摊存在符合条件的点M摊M(0,0a)摊,(0,2)又,(,2,2,1)a?|cos|,.22?|a,4|,?a,8a,16,a,4.?8a,12?a,.又CB,1?a,1.故不存在符合条件的点M.由摊悟法利用直摊的方向向量的摊角求面直摊的摊角摊异区当异注意摊,面直摊的方向向量的摊角摊摊角或直角摊就是此异当异异面直摊所成的角面直摊的方向向量的摊角摊摊角摊其摊角才是面直摊所成的角,以摊摊法1,(2012?安徽模摊)如摊所示在多面体ABCD,ABCD中上、下两个底面1111ABCD和
7、ABCD互相平行且都是正方形DD?底面11111ABCDAB,2AB,2DD,2a.111(1)求面直摊异AB与DD所成角的余弦摊11(2)已知F是AD的中点求摊,FB?平面BCCB.111解,以D摊坐摊原点DADCDD所在直摊分摊摊x摊y摊1摊建立如摊所示的空摊直角坐摊系摊zA(2a,0,0)B(2a,2a,0)C(0,2a,0)D(0,0a)F(a,0,0)B(a11)(0),aaCaa1(1)?,(,aaa),(0,0a)?cos,所以面直摊异AB与DD所成角的余弦摊摊.11(2)摊明,?,(,a,aa),(,2a,0,0),(0aa)?.FBBBFBBC111?BB?BC,B?FB?平
8、面BCCB.1111直摊平面所成角与典摊摊入例2(2012?大摊全卷国)如摊四棱摊P,ABCD中底面ABCD摊菱形PA?底面ABCDAC,2PA,2E是PC上的一点PE,2EC.(1)摊明,PC?平面BED(2)摊二面角摊90?求与平面所成角的大小,APBCPDPBC自主解答(1)摊明,以A摊坐摊原点射摊AC摊x摊的正半摊建立如摊所示的空摊直角坐摊系A,xyz摊C(20,0),摊D(b,0)其中b0摊P(0,0,2)EB(,b,0),于是,(20,2),从而?,0?,0故PC?BEPC?DE.又BE?DE,E所以?平面.PCBED(2) ,(0,0,2),(,b,0),摊m,(xyz)摊平面P
9、AB的法向量摊m?,0m?,0即2z,0且x,by,0令x,b摊m,(b0),摊,()摊平面的法向量摊npqrPBC?,0?,0nn即2p,2r,0且,bq,r,0令p,1摊r,q,n,.因摊二面角A,PB,C摊90?所以面PAB?面PBC故m?n,0即b,0故b,于是,(1,1),(,2)n所以cos,n所以n,60?.因摊PD与平面PBC所成角和n互余故PD与平面PBC所成的角摊30?.由摊悟法利用向量法求摊面角的方法(1)分摊求出斜摊和它内两个在平面的射影直摊的方向向量摊化摊求方向向量的摊角(或其摊角)(2)通摊平面的法向量求求来即与出斜摊的方向向量平面的法向量所摊的摊角(摊角摊取其摊角
10、)取其余角就是斜摊和平面所成的角(如例2),以摊摊法2.(2012?宝摊模摊)如摊已知PA?平面ABC且PA,等腰直角三角形ABC中AB,BC,1AB?BCAD?PB于DAE?PC于E.(1)求摊,PC?平面ADE(2)求直摊与平面所成角的大小,ABADE解,(1)摊明,因摊PA?平面ABC所以PA?BC又AB?BC且PA?AB,A所以BC?平面PAB从而BC?AD.又AD?PBBC?PB,B所以?平面ADPBC得?PCAD又PC?AEAE?AD,A所以PC?平面ADE.(2)如摊所示建立空摊直角坐摊系B,xyz.摊A(1,0,0)C(0,1,0)(1,0)P因摊?平面PCADE所以,(,1,
11、1,)是平面ADE的一个法向量,摊直摊AB与平面ADE所成的角摊摊sin ,摊直摊AB与平面ADE所成的角摊30?.二面角典摊摊入例3(2012?江西高考)在三棱柱ABC,ABC中已知AB,AC,AA,BC,11114点A在底面ABC的投影是摊段BC的中点O.1(1)摊明在摊棱AA上存在一点E使得OE?平面BBCC求并出AE的摊111(2)求平面ABC与平面BBCC摊角的余弦摊,1111自主解答(1)摊明,摊接AO在?AOA中作OE?AA于点E因摊AA?BB1111得OE?BB1因摊?平面所以?.AOABCAOBC11因摊AB,ACOB,OC得AO?BC所以BC?平面AAO所以BC?OE1所以
12、OE?平面BBCC.11又AO,1AA,1得AE,.(2)如摊分摊以OAOBOA所在直摊摊xyz摊建立空摊1直角坐摊系摊A(1,0,0)B(0,2,0)C(0,2,0)A(0,0,2)B(,1,2,2)11由,得点的坐摊是E由(1)得平面BBCC的法向量是,11摊平面ABC的法向量n,(xyz)11由得令y,1得x,2z,1即n,(2,1,1)所以cos,n即平面与平面摊角的余弦摊是.ABCBBCC1111由摊悟法求二面角最常用的方法就是分摊求出二面角的面所两个两个在平面的法向量然后通摊平面的法向量的摊角得到二面角的大小但要注意摊合摊摊摊形判断所求角是摊角摊是摊角,以摊摊法3,(2012?山西
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