最新【教师推荐+三年经典】-全国高考真题数学(理)考点汇总专讲:第18讲+推理与证明优秀名师资料.doc
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1、【2014教师推荐 三年经典】2011-2013年全国高考真题数学(理)考点汇总专讲:第18讲 推理与证明青山工作室 【考点21】推理与证明 2013年考题 3322b32ab,32abab,1.(2013江苏高考)设?,0,求证:?. 【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分10分。 3322222232(32)3()2()(32)().abababaabbbaabab,,,,,,证明: 22bab,32ab,因为?,0,所以?0,,0, 22(32)()abab,从而?0, 332232ab,32abab,即?. ,aS(,)nSnN,nnn2.(201
2、3山东高考)等比数列的前n项和为, 已知对任意的 ,点,xybrb,,,(0bbr,1,均在函数且均为常数)的图像上. (1)求r的值; ,banN,,,2(log1)()nn2(11)当b=2时,记 b,1bb,11n12?1,,n,nN,证明:对任意的 ,不等式成立 bbb12nx,(,)nSybrb,,,(0bbr,1,nN,n【解析】因为对任意的,点,均在函数且均为常数naSbr,,Sbr,,n,1n,211的图像上.所以得,当时,当nnnnnn,111aaSSbrbrbbbb,,,,,()(1)n时,又因为为等比数列,所nnn,1n,1abb,(1)br,1以,公比为, nnn,11
3、n,1abb,(1)2ban,,,,,2(log1)2(log21)2(2)当b=2时,, nnn22b,1b,1bb,1121n,35721n,nn12?,则,所以 . bbbn2462bn212nnb,1bb,1135721n,n12?1,,n下面用数学归纳法证明不等式成立. bbbn246212n33,2n,12当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 22青山工作室 青山工作室 b,1bb,1135721k,k12?1,,knk,假设当时不等式成立,即成立.则bbbk246212kbb,11bb,113572123kk,kk,112?,nk,,1当时,左边= bbbbkk24622
4、2,121kk,2223(23)4(1)4(1)11kkkk,,,,,,,kkk1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkk,nk,,1所以当时,不等式也成立. . 由?、?可得不等式恒成立. 2012年考题 3*aacaccNc,,,0,1,其中ann,n1、(2012安徽高考)设数列满足为实数 11*c,0,1a,0,1nN,n(?)证明:对任意成立的充分必要条件是; 1n,1*0,cacnN1(3),(?)设,证明:; n3222*12aaannN,,,,1,0,cn12(?)设,证明: ,c133c,0,1aac,0,1a,0,1011剟,c122【解析】(?)必要性:?,又
5、?,?,即. *a,0,1c,0,1nN,n充分性:设,对任意用数学归纳法证明. a,001,n,11当时,. 3ak,0,1(1)acaccc,,,,,111nk,kkk,假设当时,则,且13a,0,1acacc,,,110厖k,1kk,. 1*a,0,1nN,n由数学归纳法知,对任意成立. 10,ca,0n,11(?) 设,当时,结论成立; 3332acac,,,11(1)(1)(1),,acacaaan2nn,nnnnn,当时,?,?. 11111120,ca,0,110,a13,aan,1nn,n?,由(?)知,?且, 113211nn,13(1)(3)(1)(3)(1)(3),aca
6、cacac剟剟?, nnn,121n,1acnN13,*,,?. n青山工作室 青山工作室 2120,ca,021n,1(?)设,当时,结论成立; 313,cn,1ac130,,n2当时,由(?)知, n21212(1)1nnnn,acccc,,,1(3)12(3)(3)12(3)?. n2222221n,aaaaanccc,,,,,12(3)(3)(3)? 122nnn21(3),c2,,,,,nn11. 1313,cca,a,1a,2ar,aa,,2n123nn,32、(2012上海高考)已知数列:,(是正整数),b,b,1b,0b,1b,0bb,n1234nn,4与数列:,(是正整数)(
7、 Tbabababa,,nnn112233记( aaaa,,6412312(1)若,求的值; Tn,412n(2)求证:当是正整数时,; TTTr,0121m,122m,1212m,(3)已知,且存在正整数,使得在,中有4项为100(求的值,并指出哪4项为100( aaaa,.12312【解析】(1) ,,12342564786rrrr, ,,484.r .2分 48464,4.,,?,rr? .4分 ,nZTn,时,4.12n(2)用数学归纳法证明:当 Taaaaaa,,,,,4,121357911当n=1时,等式成立.6分 Tk,4,12k假设n=k时等式成立,即 nk,,1那么当时, T
8、Taaaaaa,,,,,,,211kkkkkkk,121k,8分 ,,,,,,,,481884858488kkkrkkkrk, ,,4441,kk,等式也成立. 青山工作室 青山工作室 ,nZTn,时,4.12n根据?和?可以断定:当.10分 Tmm,41.,12m (3) 当时,nmmTm,,,,121,12241;n当时,nmmTmr,,,,,123,12441;n当时,nmmTmr,,,,,125,12645;n当时,nmmTmr,,,127,1284;n 当时,nmmTm,,,,129,121044;当时nmmTm,,,1211,1212,44.nn.13分 ,,,41,4,44mrm
9、rm? 4m+1是奇数,均为负数, ? 这些项均不可能取到100. .15分 TTTT,293294297298此时,为100. 18分 22,a,a,1,a(n,N)aa,0a,0nnnnn13、(2012浙江高考)已知数列,(记,1,1111T,,?,nS,a,a,?,a1,a(1,a)(1,a)(1,a)(1,a)?(1,a)n12n11212n( ,n,N求证:当时, a,ann,1(?); S,n,2n(?); T,3n(?)。 【解析】(?)证明:用数学归纳法证明( 2aaa,n,1xx,,10212?当时,因为是方程的正根,所以( *aa,nkk,()Nkk,1?假设当时, 22
10、22,,()(1)aaaaaa,,,,,(1)(1)aaaa,kkkk,kkkk,2121因为, kk12211aa,aa,nk,,1kk,12kk,12所以(即当时,也成立( *aa,n,Nnn,1根据?和?,可知对任何都成立( 22aaa,,1kn,121,n?2kkk,(?)证明:由,(),得1122aaaana,,()(1)nn( 231青山工作室 青山工作室 222a,0aa,a,1Sna,1aaa,,,1211nnnn,1nnn,n因为,所以(由及得, 所11Sn,2n以( a1k,1?,?,(2313)knn22aaaa,,,12?kkkk,(?)证明:由,得 1112aakk,
11、1a1n?(3)a,2n,所以, 342(1)(1)(1)2aaaanaa11nn?,(3)n,2222nnn,于是, 2322(1)(1)(1)2()22aaaaan11T,,,113n,2nTTT,T,3n?3123n故当时,又因为, 所以( 22|a|baba,nnnnn,14、(2012辽宁高考)数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,*bab,n,Nnnn,11成等比数列() |a|bnn(?)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测,的通项公式,并证明你的结论; 1115,,ababab,1122nn(?)证明:( 1222baaabb,,,,nnnnnn,【解析】(?)
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