最新【数学】湖北黄冈浠水县届高考数学二轮专题复习——空间距离优秀名师资料.doc
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1、【数学】湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习空间距离专题 (二) 空间距离 主干知识整合: 这块内容历来是高考考查的重点。同时贯穿着位置关系的判断。 1.两点的距离。异面直线间的距离。 2.线面间的距离。面面间的距离 经典真题感悟: 1.(湖南卷9)长方体ABCD,ABCD的8个顶点在同一球面上,且1111AB=2,AD=,AA=1,则顶点A、B间的球面距离是( C ) 312,2,A.22, B.2, C. D. 2445PABC,2(江苏理14题)正三棱锥高为2,侧棱与底面所成角为,则点PBC到侧面的距离是 ( AO3(湖南理8题)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,ABCD
2、ABCD,1111EF,O分别是棱AA,的中点,则直线被球截得的线段长为( D ) DDEF11221, A( B( C( D( 2122热点考点探究: 考点一:定义法直奔问题核心 空间距离的概念:图形F内的任一点与图形F内的任一点间的距离中的最小12值叫做图形F与图形F的距离.它可以看成是两个点集的元素之间距离的最小12 值. 【题1】 如图(13),正方形ABCD、ABEF的边长都C 是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移D M 动,点N在BF上移动,若CM=x ,BN=y, (0,x,y,2).B E (1)求MN的长(用x,y表示); N P (2)求MN长的最小值,
3、该最小值是否是异面直线A F AC,BF之间的距离 【解析】 在面ABCD中作MPAB于P,连PN,则MP面ABEF,所以MPPN,,2xPB=1-AP=在PBN中,由余弦定理得: ,212222022(x),y,,2xycos45,x,y,xyPN=, 222122222Rt,PMN在中,MN= (1)MP,PN,x,x,y,xy2222; (0,x,y,2).,x,y,xy,2x,13221x2222(2)MN=, ()()y,,x,,,x,y,xy,2x,124332232x,y,故当,时,MN有最小值. 333且该最小值是异面直线AC,BF之间的距离. 考点二:向量法化证明为计算 空间
4、向量要把平面向量的知识迁移过来,加以类比,实际上它们本质上是一样的,只是位置范围扩大了.用向量法解立体几何问题,关键是建立空间直角坐标系,坐标原点O的任意性,要便于解决问题,既有利于作图的直观性,又要尽可能使点的坐标为正值,三坐标轴一定是相互垂直. 夹角公式:设a=(a,a,a),b=(b,b,b),则 123123ab,ab,ab112233cosa?b ,222222a,a,ab,b,b123123距离公式:在空间直角坐标系中,已知A(x,y,z),B(x,y,z),则 111222222 d,(x,x),(y,y),(z,z)AB212121例2. 在四棱锥PABCD中,底面ABCD 3
5、为矩形,侧棱PA?底面ABCD,AB=,BC=1, PA=2,E为PD的中点. (?)求直线AC与PB所成角的余弦值; (?)在侧面PAB内找一点N,使NE?面PAC, 并求出N点到AB和AP的距离. 【解析】解法1:(?)建立如图所示的空间直角坐标系, 图(14) 则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、 33B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、 1P(0,0,2)、E(0,1), 2AC,(3,1,0),PB,(3,0,2).从而 设的夹角为,则 AC与PBAC,PB337cos, 1427|AC|,|PB|37?AC与PB所成角的余弦值为. 14(?)由于N点在侧
6、面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则 1,由NE?面PAC可得, NE,(,x,1,z)2,1,3z,1,0,(,x,1,z),(0,0,2),0,x,NE,AP,0,2 ? ,6即化简得,11,3x,,0.,NE,AC,0.,z,1,(,x,1,z),(3,1,0),0.,2,2,33(,0,1)即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,. 66考点三:平移法集中条件构造图形 平移法是将空间问题转化为熟知的平面问题的重要手段之一. 立体几何中的三种角(线线角、线面角、二面角)和四种距离(线线距、点面距、线面距、面面距)从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转
7、化. 例3已知四棱锥 PABCD,PB?AD 侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120?. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 【解析】(I)解:如图(17),作PO?平面ABCD, 垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交 图(16) 于点E,连结PE. ?AD?PB,?AD?OB, ?PA=PD,?OA=OD, 于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE?AD. 由此知?PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角, ?PEB=120?,?PEO=60? 3由已知可求得PE
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