最新中考数学考点专题测试题集优秀名师资料.doc
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1、2011中考数学考点专题测试题集解直角三角形 知识考点: 本节知识主要考查解直角三角形的四种类型,以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。 精典例题: 200【例1】如图,在Rt?ABC中,?C,90,sinA,,D为AC上一点,?BDC,45,5DC,6,求AB的长。 BC200分析:由?C,90,?BDC,45,可知DC,BC,6,再由sinA,即可求出AB5AB的长。 B00 解:在Rt?ABC中,?C,90,?BDC,450?BDC,?DBC,45 ?DC,BC,6 BC20 在Rt?ABC中,?C,90,sinA, ADCAB5例1图 6,5 ?AB,15 200变式:如图,在?
2、ABC中,?B,90,C是BD上一点,DC,10,?ADB,45,?0ACB,60,求AB的长。 x分析:设AB,,通过解Rt?ABC和解Rt?ABD即可。 x解:设AB, 00 ?B,90,?ACB,60 30x ?BC, x,cot60A3又?BD,BC,DC 3x,x,10 ? 3CBD例1变式图 x,15,53 ? 15,53答案:AB的长为 x评注:设关键线段(联系两直角三角形的线段)为,建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。 0【例2】如图,在?ABC中,?A,30,E为AC上一点,且AE?EC,3?1,EF?AB于F,连结FC,则cot?CFB,( ) 1141A、3333
3、 B、 C、 D、 2346分析:因为?CFB不是直角三角形的一个内角,故想法构造一个直角三角形,使?CFB是它的一个锐角,由EF?AB联想到作EF的平行线CD,得到Rt?CDB即可求解。 解:过C作CD?EF交AB于点D BAFAE ? ,3DFDECFEC1 ? DF,AF,AFAE3EFAE3AC4AEC 由,可得 CD,EF,EF例2图 CDAC4AE30x 设EF,,由EF?AF可知?AEF是Rt?,且?A,30 ?,AF,3x AE,2x41 ?,CD?EF,EF?AB CD,xDF,x33?CD?AB,?CFD是直角三角形 13xDF33 在Rt?CFD中, cot,CFB,4C
4、D4x3答案:D 2【例3】已知等腰梯形ABCD中,AD,BC,18cm,sin?ABC,,AC与BD相350交于点O,?BOC,120,试求AB的长。 分析:此题所求的边不在直角三角形中,可通过作辅助线(梯形中的重要辅助线)构造直角三角形,使问题得以解决。 解:如图,作DE?AC交BC的延长线于E,则四边形ACED是平行四边形。 ?AD,CE,DE,AC,易证?ABC?DCB ?AC,DB,BD,DE AD ?DBE为等腰三角形 BE,BC,AD,18cm O分别过A、D作AG?BC于G,DF?BC于F 00BGFC ?BDE,?BOC,120,?BDF,60 E例3图 133 ?BF,BE
5、,9cm,AG,DF,cm 2AG 在Rt?ABG中,sin?ABG, ABAG3315, ?AB,(cm) 2sin,ABG23515AB的长是 cm。 答:2评注:在直角三角形中,若已知两边,可先用勾股定理求出第三边,再求锐角三角函数值,如果已知一边一角,可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式,即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中,应通过作辅助线等方法构造直角三角形,从而把这些元素转化到直角三角形中解决。 探索与创新: 1【问题】如图,如果?ABC中?C是锐角,BC,a,AC,。证明: S,absinCb,ABC2证明:过A作AD?BC于D,则?ADC是直角三角形
6、ADA ? sinC,AC? AD,AC,sinC,bsinC1 又? S,BC,AD,ABCCBD2问题图 1 ? S,absinC,ABC2评注:本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理111还可推出:(三角形面积公式) S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC222跟踪训练: 一、填空题: 001、如图,在?ABC中,?C,90,?ABC,60,D是AC的中点,那么tan?DBC的值是 。 02、在?ABC中,?B,30,tanC,2,AB,2,则BC的长是 。 A033、在?ABC中,?C,90,AB,2,BC,,则tan, 。 204、已知正
7、方形ABCD的两条对角线相交于O,P是OA上一点,且?CPD,60,则PO?AO, 。 BABDCCDA第5题图 第1题图 005、如图,在?ABC中,?B,60,?BAC,75,BC边上的高AD,3,则BC, 。 2,36、等腰三角形的周长为,腰长为1,则底角等于 。 二、选择题: 01、在?ABC中,?C,90,AC,BC,1,则tanA的值是( ) 212A、 B、 C、1 D、 222AC2、在Rt?ABC中,CD是斜边AB上的高线,已知?ACD的正弦值是,则的值是3AB( ) 5232 A、 B、 C、 D、 25533、如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子
8、的顶端B到地面,的距离为7米。现将梯子的底端A向外移动到,使梯子的底端到墙根O的距离等AA,于3米,同时梯子的顶端B下降到,那么( ) BBBA、等于1米 B、大于1米 C、小于1米 D、不能确定 ABCB,BBCADDAO,A第10题图 第4题图 第3题图 解答第1题图 4、如图,延长Rt?ABC斜边AB到D点,使BD,AB,连结CD,若cot?BCD,3,则tanA,( ) 312 A、 B、1 C、 D、 233三、解答题: 001、如图,已知四边形ABCD中,AB,BC,2,?ABC,120,?BAD,75,?D,060,求CD的长。 30sinB,2、如图,在Rt?ABC中,?ACB
9、,90,D是BC上一点,DE?AB于E,5CD,DE,AC,CD,9。求:?BC的长;?CE的长。 S,AFD,93、如图,已知BC?AD于C,DF?AB于F,?BAE,。 S,EFB(1)求的值; sin,,cos,S,S(2)若,AF,6时,求cot?BAD的值。 ,AEB,ADEDCCDE,AEBAFB解答第3题图 解答第2题图 跟踪训练参考答案 一、填空题: 1330,333,31、;2、;3、;4、1?;5、;6、30 322二、选择题:CDCA 三、解答题: 1、; 221252、BC,8,CE,; 521043、, 53相似形的综合运用(一) 知识考点: 会综合运用相似三角形的有
10、关概念、定理解答有关问题。另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用,是近几年中考的热点题型。 精典例题: 1【例1】如图,已知,在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E,使AE,AD,4从AB的中点F作HF?EC于H。 (1)求证:FH,FA; (2)求EH?HC的值。 0证明:(1)连结EF,FC,在正方形ABCD中,AD,AB,BC,?A,?B,90 AEFB1?AE,AD,F为AB的中点,?, 4AFBC?EAF?FBC,?AEF,?BFC,?EFA,?CFB DCEF10?EFC,90, ,FC20 H 又?EFC,?B,90?EFC?FBC E?HE
11、F,?BFC,?ECF,?BCF ?AEF,?HEF,?AFE,?HFE AFB例1图 ?EAF?HEF ?FH,FA EF12(2)由(1)得,由(1)易证?EHF?EFC,从而可得,,EF,EH,ECFC2222ADEF同理FC,CH,CE,于是EH?HC,?FC,1?4 AB5F变式:如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,点,BC613GF在CD上,且EC,BC,FC,CD,FG?AE于G,。求证:BEC65娈式图 AG,4GE。 (提示:证?ECF?FDA得EF?AF,1?2,再证?EFG?EAF?FAG即可) 0mn【例2】已知,在?ABC中,?ACB,90,过C作CD?AB于D,A
12、D,,BD,,12222?,2?1,又关于x的方程的两实数根的差的平x,2(n,1)x,m,12,0ACBC4方小于192,求整数m、n的值。 22mn分析:如图,易证?ABC?ADC,?,AD?BD,?,2?1,即ACBC1n,再由方程两根差的平方小于192可得,又由判别式?0知?2 n,m,2n21nnn?,?2,又为整数,?,1,2 2mnmn?,2,,1或,4,,2 GAEyAEyDDCFFxxDBACCBB图13 图13 例2图 问题一图 问题一图 探索与创新: 【问题一】已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF? EC交AB于F,连结FC(AB,AE)。 (1)?AEF与
13、?EFC是否相似,若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由。 AB(2)设,,是否存在这样的值,使得?AEF与?BFC相似,若存在,证明你kkBC的结论并求出的值;若不存在,说明理由。 k解:(1)相似,如图 证明:延长FE与CD的延长线交于点G。在Rt?AEF与Rt?DEG中 ?E是AD的中点 ?AE,ED,?AEF,?DEG,?A,?EDG ?AFE?DGE ?E为FG的中点。又CE?FG,?FC,GC ?CFE,?G。?AFE,?EFC,又?AEF与?EFC均为直角三角形 ?AEF?EFC。 AB3,(2)?存在。如果?BCF,?AEF,即,时,?AEF?BCF。 kBC2AB3DC0
14、0,证明:当时,。?ECG,30。?ECG,?ECF,?AEF,30,,3DEBC2000?BCF,90,60,30。又?AEF和?BCF均为直角三角形。?AEF?BCF。 ?因为EF不平行于BC,?BCF?AFE。?不存在第二种相似情况。 跟踪训练: 一、填空题: 01、在Rt?ABC中,?BAC,90,AD?BC于D,AB,2,DB,1,则DC, ,AD, 。 12、在?ABC中,AB,12,AC,15,D为AB上一点,BD,AB,在AC上取一点E,得3?ADE,当AE的长为 时,图中的两个三角形相似。 S,4S3、在Rt?ABC中,AD为斜边上的高,则AB?BC, 。 ,ABC,ABD二
15、、选择题: a在?ABC中,?A?B?C,1?2?3,CD?AB于D,AB,,则DB,( ) aaa3a A、 B、 C、 D、 4324三、解答题: 01、如图,在?ABC中,?ACB,90,CD?AB于D,为了求出AC,在图中你能找出哪些适当的条件, CCEDBAADBF第1题图 第2题图 2、如图,CD是Rt?ABC的斜边AB上的高,E是BC上任意一点,EF?AB于F。求2证:。 AC,AD,AF,CD,EF3、如图,在Rt?ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH?BM且与AC的延长线交于点E。求证: (1)?AED?CBM; (2) AE,CM,AC,CDECCDFEHMB
16、GADABF第3题图 第4题图 04、已知,如图,在Rt?ABC中,?ACB,90,AD平分?CAB交BC于点D,过点C作CE?AD,垂足为E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG?BC交AB于点G,AE,AD,16AB,45,求EG的长。 跟踪训练参考答案 一、填空题: 323 1、3,;2、10或;3、1?2; 5二、选择题:A 三、解答题: 1、AD、DC;AB、BC;AD、AB;AD、BD;AB、BD;CD、BD;BD、BC;BC、CD;AD、BC;AB、CD等。 2ACAD,AB,AD(AF,FB),AD,AF,AD,FB2、由?ADC?ACB得,又由2?ACD?EBF得,所以 A
17、C,AD,AF,CD,EFAD,FB,CD,EF3、略 4、4 相似三角形(二) 知识考点: 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题: AD5【例1】如图,在?ABC中,AB,14cm,DE?BC,CD?AB,CD,12cm,,BD9求?ADE的面积和周长。 S分析:由AB,14cm,CD,12cm得,84,再由DE?BC可得?ABC?ADE,,ABC2SAD,ADES有可求得,利用勾股定理求出BC、AC,再用相似三角形的性质可,ADESAB,ABC得?ADE的周长。 752答案:?ADE的面积为cm,周长为15 cm。 7AAADEPMDEPBMFQCNCBBC变式1图
18、 例1图 例2图 S,4S【例2】如图,正方形DEMF内接于?ABC,若S,1,求 ,ABC,ADE正方形DEFM分析:首先利用正方形的面积求出其边长,过A点作AQ?BC于Q,交DE于P,利S用S可得AP及AQ的长,再由?ADE?ABC求出BC,从而求得。 ,ABC,ADE解:?正方形的面积为4,?DE,MF,2。过A点作AQ?BC于Q,交DE于P ?S,1,?AP,1 ,ADE12APDE, ?DE?BC,?ADE?ABC,?,即 AQBC3BCS ?BC,6,故,9 ,ABC变式1:如图,已知菱形AMNP内接于?ABC,M、N、P分别在AB、BC、AC上,如果AB,21 cm,CA,15
19、cm,求菱形AMNP的周长。 答案:35 cm 变式2:如图,在?ABC中,有矩形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上,AH?BC交DE于M,DG?DE,1?2,BC,12 cm,AH,8 cm,求矩形的各边长。 ADACMNPSPS2DM1EMNS3BGHFCARTBCB变式2图 问题一图 例3图 2448答案: cm, cm 77【例3】如图,已知P为?ABC内一点,过P点分别作直线平行于?ABC的各边,形SSS成小三角形的面积、,分别为4、9、49,求?ABC的面积。 321rSSS解:设MP,,RT,,PN,,由于、都相似于?ABC,设?ABC的pq3217r2q3p,c
20、面积为,AB,,则有,三式相加得: ScccSSS2,3,7p,q,rc,1 ccSS,12?,故 S,144探索与创新: a【问题一】如上图,在四边形ABCD中,AD?BC,AD,,BC,,过BD上一点bmnP作MN?BC交AB、DC于M、N,若AM?MB,?。 (1)计算PM、PN的长; (2)当a?,m?n时,PM与PN有怎样的关系, b1(3)在什么条件下才能得到MN,。 (a,b)2略解:(1)?MN?BC,AD?BC,?BPM?BDA,?DPN?DBC PNDNAMPMBM ?,, ,DABABCDCABmnn 又?AM?MB,?,?BM?AB,? (m,n)m ?AM?AB,?
21、(m,n)nm ?, PM,aPN,bm,nm,nnm(2)?, PM,aPN,bm,nm,namn ?当,即?,?时,才有PM,PN; na,mbb1na,mbna,mb(a,b),(3)?MN,PM,PN,,由可得: m,n2m,n(a,b)(m,n),0 从而或 a,b,0m,n,01m,n故当,且四边形ABCD为平行四边形时,MN,或且MN(a,b)a,b21为梯形(或平行四边形)的中位线时,MN,。 (a,b)2a【问题二】如图,已知梯形ABCD中,AD?BC,AD、BC的长度分别为(a,b)、,b梯形ABCD的高未给出,在这样的图形中,是否总可以作一条平行于两底的截线EF(点E、F
22、分别在AB、CD上),使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形,如果可以分割,EF的长度如何求,试求出EF的长度。 xS解:延长BA、CD相交于点O,设EF,,?OAD的面积为,梯形ABCD的面积0为, 2SO?AD?EF,?OEF?OAD 22aS,SSxEFAD,OEF0?,即 ,2SADSa,OAD0EF2Sxb整理得? 1,,2BCSa0问题二图 2S,2Sb0同理?OBC?OAD, ,2Sa02222xbS2Sb整理得?,由?消去得:1, 1,,222SaaSa00222222a,ba,ba,b2x,即,?,?,即EF, x,0x,222跟踪训练: 一、填空题: 1、如图,在梯形
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