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1、人教版数学九上教学案直接开平方法22.2.1 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程( 教学目标 理解一元二次方程“降次”?转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题( 2 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,2然后知识迁移到解a(ex+f)+c=0型的一元二次方程( 重难点关键 2 1(重点:运用开平方法解形如(x+m)=n(n?0)的方程;领会降次?转化的数学思想( 2 2(难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x=n,知识迁移到根据平方根的意义解2形如(x+m)=n(n?0
2、)的方程( 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题1(填空 22222 (1)x-8x+_=(x-_);(2)9x+12x+_=(3x+_);(3)x+px+_=2(x+_)( 问题2(如图,在?ABC中,?B=90?,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,2P、Q都从B点同时出发,几秒后?PBQ的面积等于8cm, CQAPB 老师点评: pp216 4;(2)4 2;(3)( 问题1:根据完全平方公式可得:(1) ( 222 问题2:设x秒后?PBQ的面积等于8cm
3、则PB=x,BQ=2x 1 依题意,得:x?2x=8 22 x=8 2 根据平方根的意义,得x=?2 22 即x=2,x=-2 121 可以验证,2和-2都是方程x?2x=8的两根,但是移动时间不能是负值( 2222 所以2秒后?PBQ的面积等于8cm( 2二、探索新知 2 上面我们已经讲了x=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=?2,如果x换元为222t+1,即(2t+1)=8,能否也用直接开平方的方法求解呢, (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=?2 2即2t+1=2,2t+1=-2 2211 方程的两根为t=-,t=- 2212222 例1:
4、解方程:x+4x+4=1 22 分析:很清楚,x+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)=1( 2 解:由已知,得:(x+2)=1 直接开平方,得:x+2=?1 即x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根x=-1,x=-3 122 例2(市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率( 10x=10 分析:设每年人均住房面积增长率为x(一年后人均住房面积就应该是10+2 (1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)解:设每年人均住房面积增长率为x, 2 则:10(1+x)=14.4 2 (1+
5、x)=1.44 直接开平方,得1+x=?1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x=0.2=20%,x=-2.2 12因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x=-2.2应舍去( 2所以,每年人均住房面积增长率应为20%( (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么, 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程(我们把这种思想称为“降次转化思想”( 三、巩固练习 教材P 练习( 36四、应用拓展 例3(某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少, 分析:设该公司二、三月份营
6、业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),2三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)( 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x( 2 那么1+(1+x)+(1+x)=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: 1322 (1+x+)=2.56,即(x+)=2(56 22333 x+=?1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 222方程的根为x=10%,x=-3.1 12因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%( 五、归纳小结 本节课应掌握: 2 由应用直接开平方法解形如x=p(p?0),那么x=?转化为应用直接开平方法解形p2如(mx
7、+n)=p(p?0),那么mx+n=?,达到降次转化之目的( p六、布置作业 1(教材P 复习巩固1、2( 452(选用作业设计: 一、选择题 22 1(若x-4x+p=(x+q),那么p、q的值分别是( )( A(p=4,q=2 B(p=4,q=-2 C(p=-4,q=2 D(p=-4,q=-2 2 2(方程3x+9=0的根为( )( A(3 B(-3 C(?3 D(无实数根 22 3(用配方法解方程x-x+1=0正确的解法是( )( 3181222 A(x-)=,x=? 3933182 B(x-)=-,原方程无解 39252525,2 C(x-)=,x=+,x= 12393332512 D
8、(x-)=1,x=,x=- 12333二、填空题 (1) 与圆相关的概念:2 1(若8x-16=0,则x的值是_( 2 2(如果方程2(x-3)=72,那么,这个一元二次方程的两根是_( 234a, 3(如果a、b为实数,满足+b-12b+36=0,那么ab的值是_( 三、综合提高题 2 1(解关于x的方程(x+m)=n( 2(某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m( 2 (1)鸡场的面积能达到180m吗,能达到200m吗, 2 (2)鸡场的面积能达到210m吗, 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。3(在一次手工制作中,某同学准备了一根长
9、4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗, 答案: (5)切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.一、1(B 2(D 3(B 11.弧长及扇形的面积二、1(? 2(9或-3 3(-8 2定义:在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tanA,nnn三、1(当n?0时,x+m=?,x=-m,x=-m(当n0时,无解 122(1)都能达到(设宽为x,则长为40-2x, 依题意,得:x(40-2x)=180 4.二次函数的应用: 几何方面21010整理,得:x-20x+90=0,x=10+,x=10-; 12当a越大,抛物线开口越小;当a越小,抛物线的开口越大。同理x(40-2x)=200,x=x=10,长为40-20=20( 122 (2)不能达到(同理x(40-2x)=210,x-20x+105=0, (2)圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。2b-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到( (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.3(因要制矩形方框,面积尽可能大, 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形(
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