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1、初中数学竞赛函数专题(详解)北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 全国初中数学竞赛考题分类汇编(三)函数 1(设,将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。 2(若函数,则当自变量取1、2、3、100这100个自然数时,函数值的和是( )。 (A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 3(某人骑车沿直线旅行,先前进了千米,休息了一段时间,又原路返回千米(),再前进千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是( )。 1 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 4(一个一次函数图象与直线平行,与轴、轴的交点分别为A、B,并且
2、过点(,1,,25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。 5(11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么,_。 6(一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小,最小值是多少,(有些
3、人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼) 7(在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线上y,ax,b222横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求的值使得AD+BE+CF达到最大a,b值。(20分) 2y,ax,bx,cx(1) 证明:若取任意整数时,二次函数总取整数值,那么都是整数; 2a,a,b,c(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。 8(某商场对顾客实行优惠,规定:?如一次购物不超过200元,则不予折扣;?如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;?如一次购物超过500元的,其中500元按第?条给予优惠,超过500元的部分
4、则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( ) (A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8 9(已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( ) (A)M0 (B)M,0 (C)M q B、p,q C、pq D、p、q大小关系不能确定 0 1 x 2y,x15(Rt?ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴(若斜边上的高为h,则( ) (A)h1 (B)h=1 (C)1h2 1,16(函数y,图象的大致形状是( ) xyyyyOx
5、OOOxxxA B C D 17(如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD,3,y3SSSS,AO,8,OC,5,若点P在梯形内且,ADPADPOCPAOPCD那么点P的坐标是 。 85OxC 3 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 22l的顶点为A,抛物线的18(已知抛物线lyaxamxammam:2210,0,,,,21ll和顶点B在y轴上,且抛物线关于P(1,3)成中心对称。 12l?当a,1时,求的解析式和m的值; 2l?设与x轴正半轴的交点是C,当?ABC为等腰三角形时,求a的值。 2a,bb,cc,a19. 已知,并且,那么直线一定通过第( ),pabc,0y,
6、px,pcab象限 (,)一、二(,)二、三(,)三、四(,)一、四 2y,x20. 已知直线y,2x,3与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,那么?OAB的面积等于_。 52212,21. 设抛物线y,x,a,x,a,的图象与x轴只有一个交点,(1)求a的值;(2)418,6a,323a求的值。 22.A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。 (1)设从A市
7、、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值。 (2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。 4 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 2y,ax,bx,c 已知二次函数(其中a是正整数)的图象经 过点A(,1,4)23.与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 . 2y,ax,bx,c24. 一条抛物线的顶点为(4,),且与x轴的两个交点的横,11坐标为一正一负,则a、b、c中为正数的( ). aca(A)只有 (B)只有 (
8、C)只有 (D)只有和 bb25. 通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 当时,图0,x,10象是抛物线的一部分,当和时,图象是线段. 10,x,2020,x,40(1)当时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式; 0,x,10(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36. 22b,4ac25. 已知,且,求
9、的最小值. a,0b,0c,0b,4ac,b,2ac1226. 在自变量x的取值范围59?x?60内,二次函数的函数值中整数的个数yxx,,2是( ) A.59 B.120 C.118 D.60 32227. 在直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B的两点。yxmxmm,,,(0)4112若A,B两点到原点的距离分别为OA,OB,且满足,则m=_. ,OBOA32y,x28. Rt?ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴(若斜边5 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 上的高为h,则( ) (A)h1 (B)h=1 (C)1h2 129. 设0,k,1,关于x的一次函数,
10、当1?x?2时的最大值是( ) y,kx,(1,x)k111(A)k (B) (C) (D) 2k,k,kkk30. 平面直角坐标系中,如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点,那么函数x,12的图象上整点的个数是 ( ) y,2x,1(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 231. 函数的最小值是 ( y,2x,4x,16 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 答案:1(解:由方程组的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2?1,故图C不对;图D中交点纵坐标是大于,小于的数,不等于,故图D不对;故选B。 2(解:当时,。?当自变量取2、3、98时
11、,函数值都为0。而当取1、99、100时,故所求的和为: 。 3(答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。 4(答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是,1,4N,,25,5N,(N是整数)(在线段AB上这样的点应满足,1,4N,0,且,25,5N?0,?N?5,即N,1,2,3,4,5。 5(答:。直线通过点D(15,5),故BD,1。当时,直线通过,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。 6(解:易知,这32个人恰好是第2至第33层
12、各住1人。 对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上,设住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,7 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 。交换两人上楼方式,其余的人不变,则不满意总分不增,现分别考虑如下: 设电梯停在第层。 ?当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为。 ?当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为。 ?当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交
13、换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 ?当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 ?当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 今设电梯停在第层,在第一层有人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为: 8 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 当,27,,6时,,316。 所以,当电梯停在第27层时,这32个人不满意的总分达到最小,最小值为316分。 1110(A);设A(),则,故。又因为?ABO与?CBO同
14、底xy,1Sxy,x,y,ABO22SS,,,21等高,因此, ,ABCABO(,0),(,0)xBxxx,11(,1;设A。由?ABC是直角三角形可知必异号。则1212cc22cxx,xx,0,由射影定理知,即;故OCAOBO,1212aaacac,1,12tt,25(11),t13( 2tt,,2514(解:由题意得:a0,c=0 ?p,|a,b|,|2a,b|,q,|a,b|,|2a,b| b 又,?,?,,,,1,2,20,0baababa从而 2a?p,|a,b|,|2a,b|,b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q,|a,b|,|2a,b|= a,b,b-2a=2b-a ?pq
15、,选C 2215(解:设点A的坐标为(a,a),点C的坐标为(c,c)(|c|0. ,11xx设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为,即为方程 122ax,bx,c,0 的两个根. cxx,0由题设,知,0,所以. c,012ab根据对称轴x=4,即有,0,知b0. 2a故知结论(A)是正确的. 2y,ax,bx,c25. 解:(1)当时,设抛物线的函数关系式为,由于它0,x,10的图象经过点(0,20),(5,39),(10,48),所以 c,20,25a,5b,c,39, ,100a,10b,c,48.,124(第11(A)题图) a,解得,. b,c,205510 北京十二中竞赛辅导 辅导教
16、师:田祥彪 所以 1242,. (5分) y,x,x,200,x,10557(2)当时,. y,x,7620,x,4051242所以,当时,令y=36,得, 36,x,x,200,x,1055解得x=4,(舍去); x,207当时,令 y=36,得,解得 36,x,7620,x,4052004x,28. (10分) 7744因为28,4,24,24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标77数不低于36时,讲授完这道竞赛题. (15分) 22y,ax,bx,c26.,b,4ac,0 解:令,由,判别式,a,0b,0c,0所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的
17、交点cA(x,0)B(x,0)x,xx,0,x,因为,不妨设,则,对称轴xx,012121212ab,于是 x,02a(第26题图) 22,b,b,4acb,b,4acx,c, (5分) 12a2a2224acbbb4acb4ac,c,所以, (104a2a2a分) 2b,4ac,4故, 当,b=0,c=1时,等号成立. a,12b,4ac所以,的最小值为4. (15分) 11 北京十二中竞赛辅导 辅导教师:田祥彪 26.27. 2228. 解:设点A的坐标为(a,a),点C的坐标为(c,c)(|c|a|),则点B的222222AC,(c,a),(c,a)坐标为(,a,a),由勾股定理,得,
18、22222222BC,(c,a),(c,a)AC,BC,AB, 1、认真研读教材,搞好课堂教学研究工作,向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生,让学生主动参与到各种数学活动中来,提高学习效率,激发学习兴趣,增强学习信心。提倡学法的多样性,关注学生的个人体验。22222(a,c),a,c所以 ( 第二章 二次函数222222a,c由于,所以a,c=1,故斜边AB上高h= a,c=1 初中阶段,我们只学习直角三角形中,A是锐角的正切;故选B( 29. 答案:A 12 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法,逐步提高解答应用题的能力。弦和直径: 弦:连接圆上任意
19、两点的线段叫做弦。 直径:经过圆心的弦叫做直径。北京十二中竞赛辅导 应用题辅导教师:田祥彪 1(k,1)(k,1)11k,y,(k,)x,? 0,k,1,? ,0,该一次函数的值随x解:kkkk11的增大而减小,当1?x?2时,最大值为 k,,,kkk30. 答案:C 解:将函数表达式变形,得, 2xy,y,x,124xy,2y,2x,24 1.圆的定义:(? x,y都是整数,? 也是整数( (2y,1)(2x,1),25(2y,1),(2x,1)2y,1,25,2y,1,25,2y,1,1,2y,1,1,? 或 或 或 ,2x,1,12x,1,252x,1,252x,1,1,点在圆上 d=r;2y,1,5,2y,1,5,或 或 ,2x,1,5.2x,1,5,解得整点为(13,1),(-12,0),(1,13),(0,-12),(3,3),(-2,-2)( y 31. 答案: ,12,xx2(,1),3,0,2解:y = 2(x,1),3,2,2(x,1),3,x,0.,其图象如图,由图象可知,当x = 0时,y最小为 -1( O x 一、指导思想:(第31题) 115.75.13加与减(二)2 P61-63 数学好玩2 P64-6713
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