通用版2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十六导数与函数的综合问题理201805.doc
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1、课时达标检测(十六) 导数与函数的综合问题一般难度题全员必做1(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax1,求a的取值范围解:(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0,得x1或x1.当x(,1)时,f(x)0;当x(1,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.所以f(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)上单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时,设函数h(x)(1x)ex,则h(x)xex0(x0)因此h(x)在0,)上单调递减,又h(0)1,故h(x)1,所以f(x)(x1)h(x)x1ax1
2、.当0a1时,设函数g(x)exx1,则g(x)ex10(x0),所以g(x)在0,)上单调递增,而g(0)0,故exx1.当0x1时,f(x)(1x)(1x)2,(1x)(1x)2ax1x(1axx2),取x0,则x0(0,1),(1x0)(1x0)2ax010,故f(x0)ax01.当a0时,取x0,则x0(0,1),f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上,a的取值范围是1,)2(2018沈阳监测)已知函数f(x)aln x(a0),e为自然对数的底数(1)若过点A(2,f(2)的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x0时,求证f(x)a;(3)若在区间(1,e)上eex0),则
3、g(x)a.令g(x)0,即a0,解得x1,令g(x)0,解得0x1;g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0,f(x)a.(3)由题意可知eex,化简得.令h(x),则h(x),由(2)知,当x(1,e)时,ln x10,h(x)0,即h(x)在(1,e)上单调递增,h(x)0)当k2时,f(x)211,当且仅当x1时,等号成立所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x的方程f(x)k有解,令g(x)f(x)kkln xk,则问题等价于函数g(x)存在零点g(x).当k0时,g(x)0,g(e1)kk110时,令g(x)0,得x.
4、g(x),g(x)随x的变化情况如下表:xg(x)0g(x)极小值所以gkkkln kln k为函数g(x)的最小值,当g0,即0k0,所以函数g(x)存在零点综上,当k0,设g(x)ln x.(1)求a的值;(2)对任意x1x20,a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(a,1a)1a(1a,)f(x)0f(x)极小值因此,f(x)在1a处取得最小值故由题意f(1a)1a0,所以a1.(2)由1知g(x1)x1x20恒成立,即h(x)g(x)xln xx在(0,)上为减函数h(x)10在(0,)上恒成立,所以mxx2在(0,)上恒成立,而(xx2)max,则m,即实数m的取值
5、范围为.(3)由题意知方程可化为ln xx,即mx2xln x(x1)设m(x)x2xln x,则m(x)2xln x1(x1)设h(x)2xln x1(x1),则h(x)20,因此h(x)在1,)上单调递增,h(x)minh(1)1.所以m(x)x2xln x在1,)上单调递增因此当x1时,m(x)m(1)1.所以当m1时方程有一个根,当m1时方程无根2(2017广西陆川二模)已知函数f(x)ln xmxm.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0在(0,)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,对任意的0ab,求证:0恒成立,则函数f(x)在(0,)上单调递增,无单
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