最新初高中数学衔接系列讲座(七)——直角三角形中的射影定理优秀名师资料.doc
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1、初高中数学衔接系列讲座(七)直角三角形中的射影定理初高中数学衔接系列讲座(七)直角三角形中的射影定理 建 语 熬 外 22 直角三形中的射影定理 如图,在AABC中, /ACB=90.,CD上AB于 D A 求证:?CD=AD? 毽 移炙津余凤冈 ?CA=AD.AB; ?CB=BDBA. 证明:?在AADC和?CDB中, . . /_ADCCDB=90. ACD=90.一A:C曰D AADCACDB.?.历AD=两DC CD:AD.DB. ?在AADC和AACB中, . . DC/.LACB=90.,为共角, . AADC-AACB-._.AD=丽AC 辙黪 .AC=AD?AB. ?在ACDB
2、和AACB中 V . CDB:/_ACB=90.,摩为公共角 . - ACDB,.,AACB.=器 . ? CB=BD?BA. 在赢角三角形由斜边上的离弓I发的相似三 角形产生的这三个结论,就叫做直角三角形中的 射影定理.在中学阶段可简称为射影定理. 因此,射影定理可看做是相似三角形的一个 简单而又常用的一个应用.通常它在高中阶段有 关直角三角形的问题中有广泛的应用,甚至在高 考题中有时还能见到. 例2010陕西高考 题)如图已知Rt?A船的 两条直角边AC,BC的长分8C 果忘记了土地税愚味着背叛.叶子蛩然腿tif璺飘出,但最终还是要化为泥土归还大地,因为它知道准给了它短暂昀生 命廷忘不了哪
3、里扎着它的根 别为3c啪,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点 0=一 连接CD, 在?ABC中,.LBCA=90., . 由股定理得 AB盂曰C2+AC2=4+3=25. o oAB=5. o . o ,哑G为o0的直径.LADC=90. 在AABC中,.LBCA=90.,CDLAB, . o 由射影定理可得A=AD?AB 即3:AD5.AD:_=_9 . . . BD=ABAD=5一?=萼, . 筹=萼:?=16 例2如图,在AABC 中,LACB=90.,CD上AB 于 上BC于E,BE= 6=4.求AD的长. 解:在ACDB中,.LCDB=90.,DE上BC, . . 由射影定理得 C
4、D=CE?CB=4(4+6)=40. =BE?BC=6(4+6)=60,BD= =2 在?ABC中,.LACB=90.,CD&AB, 由射影定理得CD=AD?DB. 即40=AD?2T5. . . . = ? 即AD的长为 j 例3如图,在?ABC 中,G=90.,D为AC中 热BEtAB干E.: 求证:C2=BE一 AE2 C 证明;作CF&AB于F, 在ACAF中,.D为AC中点,DE/CF, . ? . DE为?CAF中的中位线0.AE=EF. 在AABC中,.LACB=90.,CF上AB,由 射影定理得 BC=FB.曰=(BEEF)(BEAS) = (BEAE)BE+A
5、E)=BE以露. 例4如图,在 AABC中,AB=AC=30,/ LBAD:90.,DC:14,求Bc 曰C的长. 解:作A上BC于层, 设ED=,.AB=AC, .BE=EC:ED+DC=x+14 在AABD中,.BAD=90.,AE上BD, 由射影定理得AB=BE?ED. 即30=(+14)(2+14) 整理得900=2x+42x+196, +21x一352=0,(+32)(一11)=0, 解得=ll,.=一32(舍). . . 露C=2BE=2(+】4)=5O 即BC的长为5O. 例5如图,在AABC 中,:90.,AB=AC= 2,BE为AC边上中线,作B 曰EF=90.与露G交于 F
6、. 求ACEF的面积 解:作EG3C于G, . BE为中线, GFC . ? . EC=吉AC=12=1. . AB=AC,A=90.,./C=450. . ? . = 譬. 在AABE中,.LA=9., 由勾股定理得BE2=AB+AE2:2十l, .BE: 在ABEG中,.LEGB=90., 由勾股定理得BG2=日一G2=()一 (孚)=5一?=詈. 世阎躜乎从来就不存在什么搀龋要说欺骗,便是你自己欺骗了自己.眼睛是没有思想的,只有心常为利欲所动.如果心 也能僚眼睛一样透明,又有什么可以蒙骗了它呢?小心是千真万确的,但不是要小心别人,而小心的应该是你自己. ? 在ABEF中,./_BEF=9
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