最新南通市届高三第一次调研测试数学试卷及评分标准讲评建议优秀名师资料.doc
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1、DOC-南通市2009届高三第一次调研测试数学试卷及评分标准讲评建议南通市2009届高三第一次调研测试数学试卷及评分标准讲评建议 江苏省苏中3市(南通、扬州、泰州) 2009届高三第一次调研测试数学2009届高三第一次调研测试数学 参考答案及评分标准 必做题部分 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分( 1( 命题“,x R,sinx?1”的否定是 2( 若集合A= xx?3 ,B= xx m 满足A?B=R,A?B= ,则实数m 3( 若(a2,1),(a2,3a,2)i是纯虚数,则实数a的值是 4( 按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63, 则判断框中的整数M的值是 ?
2、( x 5( 若函数f(x) x(a为常数)在定义域上为 1,k 2 奇函数,则k= ? ( 6( 若直线mx,ny 4和圆O:x2,y2 4没有公共点, 则过点(m,n)的直线与椭圆, 5 2 y24 1的交点个 数为 ? ( 7( 曲线C:f(x) sinx,ex,2在x=0处的切线方程为 (第4题) 8( 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图,则该组男生 的平均得分与女生的平均得分之差是 ? ( 9( 已知集合A (x,y)|x|?2,|y|?2,x,y Z ,集合 在集合A中任取一个元素B (x,y)(x,2),(y,2)?4,x,y Z, 2 2 女生 男生 3 0 9 3
3、3 6 2 0 0 8 6 6 6 5 3 7 1 5 6 6 2 8 7 5 7 (第8题) p,则p?B x,y,2?0, y 10(设实数x,y满足 x,2y,5?0, 则u ,x的取值范围是( xy y,2?0, (a,b);条件N:对一切11(已知a,b为不共线的向量,设条件M:b x R ,不等式a,xb?a,b恒成立(则M是N的 B 12(已知数列an中,a1=1,a2=0,对任意正整数n,m(nm)满足 (第13题) an2,am2 an,man,m,则a119 13(已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如右图所示, 其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形,则这个四
4、面体的主视 图的面积为 ? cm( 14(约瑟夫规则:将1,2,3,n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从1开 始,按逆时针方向,隔一个删除一个数,直至剩余一个数而终止,依次删除的数为1,3,5,7,(当n 65时,剩余的一个数为( 【填空题答案】 1(,x R,sinx 1; 2(3; 3(1; 4(5; 5( 1; 6(2; 7(y=2x+3; 8(1.5; 96; 10( , ; 252 32 11(充要; 12(,1; 13 ( 14(2( 二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 15(本小题满分14分) ?ABC的外接圆半径为1,角A
5、,B,C的对边分别为a,,,;(向量m =(a,4cosB), n=(cosA,b)满足m/n. (1)求sinA,sinB的取值范围; (2)若实数x满足abx=a+b,试确定x的取值范围. 【解】(1)因为m/n, 所以 cosAb,即ab 4cosAcosB. 2分 因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理,得ab 4sinAsinB. 于是cosAcosB,sinAsinB 0,即cos(A,B) 0. 因为0 A,B ,所以A,B . 故三角形ABC为直角三角形. 5分 2 sinA,sinB sinA,cosA A,)4, 因为 A, 3, 444 sin(A,) 1, 故1
6、 sinA,sinB 7分 4 2(sinA,sinB)sinA,cosA (2)x a,b . 9分 ab4sinAsinB2sinAcosA 设t sinA,cosA(1 t,则2sinAcosA t2,1, 11 分 ,2(1,t) ,0,故x 2在(1 x 2,因为x 22(t,1)t,1t,12上单调递减函数. 所以 t?t ,12.所以实数x 的取值范围是, ). 14分 16(本小题满分14分) 在四棱锥P,ABCD中,四边形ABCD是梯形,AD?BC,?ABC 面ABCD,平面PAD?平面ABCD. (1)求证:PA?平面ABCD; (2)若平面PAB 平面PCD l,问:直线
7、l能否与平面ABCD请说明理由. (1)【证明】因为?ABC=90?,AD?BC,所以AD?AB. 而平面PAB?平面ABCD,且平面PAB 平面ABCD=AB, 所以AD?平面PAB, 所以AD?PA. 3分 同理可得AB?PA. 5分 由于AB、AD 平面ABCD,且AB AD=C, 所以PA?平面ABCD. 7分 (2)【解】(方法一)不平行. 9分 证明:假定直线l?平面ABCD, 由于l 平面PCD,且平面PCD 平面ABCD=CD, 所以l?CD. 11分 同理可得l?AB, 所以AB?CD. 13分 这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾, 故假设错误,所以直线l与平面AB
8、CD不平行. 14分 (方法二)因为梯形ABCD中AD?BC, 所以直线AB与直线CD相交,设AB CD=T. 11分 由T CD,CD 平面PCD得T 平面PCD. 同理T 平面PAB. 13分 即T为平面PCD与平面PAB的公共点,于是PT为平面PCD与平面PAB的交线. 所以直线l与平面ABCD不平行. 14分 17(本小题满分15分) 设a为实数,已知函数f(x) 1x3,ax2,(a2,1)x. 3 (1)当a=1时,求函数f(x)的极值( (2)若方程f(x)=0有三个不等实数根,求a的取值范围( 【解】(1)依题有f(x) 1x3,x2,故f,x, x2,2x x,x,2,. 2
9、分 3 由 5分 得f,x,在x 0时取得极大值f,0, 0,f,x,在x 2时取得极小值f,2, ,4. 3 7分 (2) 因为f,x, x2,2ax,(a2,1) x,(a,1) x,(a,1) , 9分 所以方程f,x, 0的两根为a,1和a+1, 显然,函数f(x)在x= a,1取得极大值,在x=a+1是取得极小值. 11分 因为方程f(x)=0有三个不等实根, 1(a,2)(a,1)2 0, f(a,1) 0, 所以 即 3 解得, 2 a 2且a 1. 21f(a,1) 0, (a,2)(a,1) 0, 3 故a的取值范围是(,2,1) (,1,1) (1,2). 15分 18(本
10、小题满分15分) 2 y 如图,椭圆x2,2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,M、N是椭圆右准线上的 ab 2 两个动点, 且F1M F2N 0 . (1)设C是以MN为直径的圆,试判断原点O与圆C (2)设椭圆的离心率为1,MN的最小值为. 2 2 y 【解】(1)设椭圆x2,2 1的焦距为2c(c0), ab 2 则其右准线方程为x,a,且F1(,c, 0), F2(c, 0). c设M,y1,N,y2, 则F1M 2 ,c 2 ,c 2 , 22 a,c,y1,F2N a,c,y2, cc , 22 aOM ,y1,ON a,y2cc ,. 4分 , a2,c,yy 0,即a2
11、 12 cc 因为F1M F2N 0 2 ,所以a,c c2 , 2 ,y1y2 c2. 2 于是OM ON a c , ,y1y2 c2 0,故?MON为锐角. 所以原点O在圆C外. 7分 (2)因为椭圆的离心率为1,所以a=2c, 8分 2 2 于是M ,4c,y1,,N,4c,y2,,且y1y2 c,a c 2 , 2 ,15c2. 9分 MN,(y1,y2),y1+y2,2y1y2 y1,y2,2y1y2?4y1y2 60c2. 12分 当且仅当 y1,y2 或y2,y1 时取“=”号, 13分 所以(MN)minc,2,于是c=1, 从而a,2,b,, 故所求的椭圆方程是 19(本小
12、题满分16分) 下述数阵称为“森德拉姆筛”,记为S(其特点是每行每列都是等差数列,第i行第j列的数记为Aij. 1 4 7 10 13 4 8 12 16 20 7 12 17 22 27 10 16 22 28 34 13 20 27 34 41 (1)证明:存在常数C N*,对任意正整数i、j,Aij,C总是合数; (2)设 S中主对角线上的数1,8,17,28,41,组成数列 bn . 试证不存在正整数k和m(1 k m),使得b1,bk,bm成等比数列; (3)对于(2)中的数列 bn ,是否存在正整数p和r (1 r p 150),使得b1,br,bp成等差数列(若存在,写出p,r的
13、一组解(不必写出推理过程);若不存在,请说明理由( (1)【证明】因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2,)是以1为首项,公差为3的等差数列,所以A1 j,1+(j,1)3,3 j,2, 第二行数组成的数列A2j(j,1,2,)是以4为首项,公差为4的等差数列, 2 yx, 1. 43 2 2222 22 15分 所以A2 j,4+(j,1)4,4 j( 2分 所以A2 j,A1 j,4 j,(3 j,2),j,2, 所以第j列数组成的数列 Aij(i,1,2,)是以3 j,2为首项,公差为 j,2的等差数列, 所以Aij,3 j,2,(i,1) (j,2) ,ij,2i,2j,4,(i,3
14、) (j,2) 8( 5分 故Aij,8=(i,3) (j,2)是合数( 所以当C,8时,对任意正整数i、j,Aij,C总是合数 6分 (2)【证明】(反证法)假设存在k、m,1 k m,使得b1,bk,bm成等比数列, 即b1bm bk2, 7分 ?bn,Ann ,(n+2)2,4 ?1 (m,2)2,8 (k,2)2,82 得(m,2)2,(k,2)2,82 8, 即(m,2),(k,2)2,8(m,2),(k,2)2,8 8, 10 分 又?1 k m,且k、m?N,?k?2、m?3,(m,2),(k,2),8 5,16,8 13 2 ? (m,0 (m,2),(k,2),8 28(m,
15、2),(k,2),82 813 1,这与,k2,2),?Z矛盾,所以不存在正整数使得b1,bk,bm(2)8k和m(1 k m),成等比数列(12分 (3)【解】假设存在满足条件的p,r,那么2(r2,4r,4) 1,(p2,4p,4), 即2(r,5)(r,1) (p,5)(p,1). 14分 不妨令r,5 p,1, 得 r 13, 2(r,1) p,5,p 19. 所以存在r 13,p 19使得b1,br,bp成等差数列( 16分 (注:第(3)问中数组(r,p)不唯一,例如(85,121)也可以) 20(本小题满分16分) 如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的
16、定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”. (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论: ? f(x), ; ? g(x),sinx (x?(0,). (2)若函数h(x),lnx (x?,M,?)是保三角形函数,求M的最小值. (1)【答】f(x), 是保三角形函数,g(x),sinx (x?(0,)不是保三角形函数. 【证明】? f(x), 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a,b,c,则a,b,c,b,c,a,c,a,b, f(a), ,f(b), ,f(c), . 因为(,b),a,2,b,c,2,(),所以
17、,,. 同理可以证明:,,a,c,,. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长,故 f(x), 数. 4分 ?g(x),sinx (x?(0,)不是保三角形函数. 取,5,5 ,0,,,显然这三个数能作26622是保三角形函 为一个 1三角形的三条边的长. 而sin,1,sin,,不能作为一个三角形的三边长. 622 所以g(x),sinx (x?(0,)不是保三角形函数. 8分 (2)【解】M的最小值为2. 10分 (i)首先证明当M?2时,函数h(x),lnx (x?,M,?)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a,b,c?,M,?),且a,b,c,b,c,a,c,a,
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