最新学校高一(下)周末数学不等式证明资料(八)(学生卷)优秀名师资料.doc
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1、专题八:均值不等式和不等式的证明选讲一、基础梳理1常用的基本不等式和重要的不等式:(1)当且仅当取“”号; (2);(3),则。2均值不等式:两个正数的均值不等式:; 三个正数的均值不等式:;个正数的均值不等式:。3四种均值的关系:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:。小结:“算数平均数几何平均数”的多种表达形式:整式形式根式形式分式形式倒数形式4.均值不等式求最值:(1)如果(定值),由_,当时,有_;(2)如果(定值),由_,当时,有_;注:上述方法对三个正数也成立。利用均值不等式求最值必须注意:“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!5不等式的证明方法:(
2、1)比较法:作差比较:;作商比较:。作差(商)比较的步骤:作差(商):对要比较大小的两个数(或式)作差(商);变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和(对商式进行因式分解或约分等);判断差的符号(商与1的大小):结合变形的结果及题设条件判断差的符号(商与1的大小)。注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。(2)综合法:由因导果。(3)分析法:执果索因。基本步骤:要证只需证,只需证“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表
3、达。(4)反证法:正难则反。(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有:添加或舍去一些项,如:;将分子或分母放大(或缩小);利用基本不等式,如:;利用常用结论:););(程度大)。(程度小)(程度更小)真分式放缩:;假分式放缩:(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如:已知,可设;已知,可设;已知,可设;已知,可设。(7)构造法:通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设
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