最新届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测:专题八第1讲优秀名师资料.doc
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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测:专题八第1讲【高考考情解读】 数学家华罗庚先生说过:数学是一个原则,无数内容,一种方法,到处可用(数学思想是中学数学的灵魂,在二轮复习过程中,我们要在把握知识主干这条复习主线的同时,活用数学思想,加强数学应用意识,方能跳出题海,轻松应对高考( 第1讲 函数与方程思想 1( 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决(经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(
2、(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决(方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题(方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系( 2( 和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化(对函数y,f(x),当y0时,就化为不等式f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式( (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要( (3)在三角函数求值中,
3、把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解( (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决(这都涉及二次方程与二次函数的有关理论( (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 类型一 函数与方程思想在数列中的应用 例1 已知数列a是各项均为正数的等差数列( n(1)若a,2,且a,a,a,1成等比数列,求数列a的通项公式a; 1234nn111(2)在(1)的条件下,数列a的前n项和为S,设b,,若对任意的nnnSSS,2nn1n2*n?
4、N,不等式b?k恒成立,求实数k的最小值( n2解 (1)因为a,2a,a?(a,1) 1324又因为a是正项等差数列故d?0 n2所以(2,2d),(2,d)(3,3d)得d,2或d,1(舍去) 所以数列a的通项公式a,2n. nn(2)因为S,n(n,1) n111b,, nSSS,2nn1n2111,, ,n,1,n,2,n,2,n,3,2n,2n,1,111111,,,,, 2nn,1n,2n,2n,32n,111n1, 21n,12n,12n,3n,12n,3n1令f(x),2x,(x?1) x1则f(x),2,当x?1时f(x)0恒成立 2x所以f(x)在1,?)上是增函数故当x,
5、1时f(x),f(1),3 min1即当n,1时(b), nmax6要使对任意的正整数n不等式b?k恒成立 n1则须使k?(b), nmax61所以实数k的最小值为. 6(1)等差(比)数列中各有5个基本量建立方程组可“知三求二”, (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数数列的通项公式即为相应的解析式因此在解决数列问题时应注意用函数的思想求解( 已知数列a是等差数列,a,1,a,a,a,144. n12310(1)求数列a的通项a; nn1(2)设数列b的通项b,,记S是数列b的前n项和,若n?3时,有S?mnnnnnaa,nn1恒成立,求m的最大值( 解 (1)?a是等差数列a
6、,1a,a,a,144 n12310,a,a10110?S,145?S, 10102?a,28?公差d,3. 10*?a,3n,2(n?N)( n11(2)由(1)知b, naa,3n,2,3n,1,nn1111, 3n,23n,13,11,1,S,b,b,b, ?n12n3n,13,n?S,. n3n,1n,1n1?S,S,0 ,n1n3n,43n,1,3n,4,3n,1,?数列S是递增数列( n3当n?3时(S),S, nmin31033依题意得m?m的最大值为. 1010类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用 2例2 如果方程cosx,sin x,a,0在(0,上有解,求a的取值范围(
7、 22解 方法一 设f(x),cosx,sin x(x?(0)( 2显然当且仅当a属于f(x)的值域时a,f(x)有解( 1522?f(x),(1,sinx),sin x,(sin x,), 24且由x?(0知sin x?(0,1( 2易求得f(x)的值域为(,1,1( 故a的取值范围是(,1,1( 方法二 令t,sin x由x?(0可得t?(0,1( 22将方程变为t,t,1,a,0. 依题意该方程在(0,1上有解( 2设f(t),t,t,1,a. 1其图象是开口向上的抛物线对称轴t,如图所示( 2,f,0,0,因此f(t),0在(0,1上有解等价于 ,f,1,?0,1,a0,即?,10,2
8、,解 当即1x0,2作出函数y,x,5x,3 (1x3)的图象(如图)该图象与直线y,a 的交点横坐标是方程(*)的解也是原方程的解( 由图形易看出: 13当3a时原方程有两解, 413当1或a?1时原方程无解( 4类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例3 设f(x),ln x,x,1,证明: 3(1)当x1时,f(x)(x,1); 29,x,1,(2)当1x3时,f(x)1时g(x),,,0. x22x3又g(1),0所以有g(x)0即f(x)1时2xx,1故x,. ? 221令k(x),ln x,x,1则k(1),0k(x),10 x故k(x)0即ln x1时f(x)(x,1)( 29
9、,x,1,(2)方法一 记h(x),f(x), x,51154由(1)得h(x),,, 2x,x,5,2x2,xx,55454, 222xx4,x,5,x,5,3,x,5,,216x,. 24x,x,5,3令G(x),(x,5),216x则当1x3时 2G(x),3(x,5),2160 因此G(x)在(1,3)内是减函数( 又由G(1),0得G(x)0所以h(x)0. 因此h(x)在(1,3)内是减函数( 又h(1),0所以h(x)0. 9,x,1,于是当1x3时f(x). x,5方法二 记h(x),(x,5)f(x),9(x,1) 则当1x3时 由(1)得h(x),f(x),(x,5)f(x
10、),9 113,,,9 (x,1),(x,5)?x22x,1,3x(x,1),(x,5)(2,x),18x x2x11,,,2,3x,x,1,x,5,,18x 22,,,2x12,(7x,32x,25)0. 4x因此h(x)在(1,3)内单调递减( 又h(1),0所以h(x)0 9,x,1,即f(x)0),满足f(x)g(x)的整数x恰有4个,则实数a的取值范围是_( 3(2)f(x),ax,3x,1对于x?,1,1总有f(x)?0成立,则a,_. 4981,,答案 (1) (2)4 1625,,2解析 (1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x),(2x,1) 2g(x),ax的图象则
11、由两个函数的图象可知y,f(x)y,g(x)的图象 在区间(0,1)内总有一个交点 222 令:h(x),f(x),g(x),(4,a)x,4x,1要使满足不等式(2x,1)ax的解集中的整数解恰有4个 ,h,4,049,16a0,则需? ,h,5,?081,25a?0,4981?0即x?(0,1时f(x),ax,3x,1?0可化为 31a?,. 23xx13,1,2x,131,,01设g(x),则g(x),所以g(x)在区间上单调递增在区间23422,,xxx上单调递减 1,因此g(x),g,4从而a?4, max2,当xb0) 22ab设F(c,0)直线l:x,y,c,0 2由坐标原点O到
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