最新届高三数学(文)湘教版一轮复习精品讲义:第4章+平面向量、数系的扩充与复数的引入(++高考)优秀名师资料.doc
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1、2015届高三数学(文)湘教版一轮复习精品讲义:第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入( 2014高考)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及其线性运算 1(向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模( (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的( (3)单位向量:长度等于1个单位的向量( (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线( (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量( (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量( 2(向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)
2、交换律: a,b,b,a; 求两个向量和的运三角形法则 加法 (2)结合律: 算 (a,b),c, a,(b,c) 平行四边形法则 求a与b的相反向减法 量,b的和的运算a,b,a,(,b) 叫做a与b的差 三角形法则 (1)|a|,|a|; (2)当,0时,a的方向与( a),()a; 求实数与向量a数乘 a的方向相同;当,0时,(,)a,a,a; 的积的运算 a的方向与a的方向相反;(a,b),a,b 当,0时,a,0 3(共线向量定理 向量a(a?0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b,a. 1(作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2(在向量共线的重要条件
3、中易忽视“a?0”,否则可能不存在,也可能有无数个; 3(要注意向量共线与三点共线的区别与联系( 试一试 1(若向量a与b不相等,则a与b一定( ) A(有不相等的模 B(不共线 C(不可能都是零向量 D(不可能都是单位向量 答案:C ,2(若菱形ABCD的边长为2,则|,,|,_. CBCDAB,解析:|,,|,|,|,|,2. CBCDBCCDADABAB答案:2 1(向量的中线公式 ,1若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则,(,)( OPOAOB22(三点共线等价关系 ,A,P,B三点共线?, (?0)?,(1,t)?,t (O为平面内异于A,OPOAOBAPAB,P,B的任一点,t
4、?R)?,x,y (O为平面内异于A,P,B的任一点,x?R,yOPOAOB?R,x,y,1)( 练一练 ,1(D是?ABC的边AB上的中点,则向量等于( ) CD,11A(,, B(, BCBCBABA22,11C(, D(, BCBCBABA22答案:A 2(已知a与b是两个不共线向量,且向量a,b与,(b,3a)共线,则,_. 解析:由题意知a,b,k,(b,3a) 1k,3,k,所以解得 , 1,1,3k, ,.,31答案:, 3考点一 向量的有关概念 1.给出下列命题: ?若|a|,|b|,则a,b; ,?若A,B,C,D是不共线的四点,则,是四边形ABCD为平行四边形的充要DCAB
5、条件; ?若a,b,b,c,则a,c; ?a,b的充要条件是|a|,|b|且a?b; ?若a?b,b?c,则a?c. 其中正确命题的序号是( ) A(? B(? C(? D(? 解析:选A ?不正确(两个向量的长度相等但它们的方向不一定相同( ,?正确(?,?|,|且? DCDCDCABABAB又ABCD是不共线的四点 ?四边形ABCD为平行四边形, 反之若四边形ABCD为平行四边形 ,则?且|,|因此,. DCDCDCABABAB?正确(?a,b?ab的长度相等且方向相同 又b,c?bc的长度相等且方向相同 ?ac的长度相等且方向相同故a,c. ?不正确(当a?b且方向相反时即使|a|,|b
6、|也不能得到a,b故|a|,|b|且a?b不是a,b的充要条件而是必要不充分条件( ?不正确(考虑b,0这种特殊情况( 综上所述正确命题的序号是?.故选A. 2(设a为单位向量,?若a为平面内的某个向量,则a,|a|a;?若a与a平行,则a000,|a|a;?若a与a平行且|a|,1,则a,a.上述命题中,假命题的个数是( ) 000A(0 B(1 C(2 D(3 解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a的模相同,但方向不一定相同,0故?是假命题;若a与a平行,则a与a的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向00时a,|a|a,故?也是假命题(综上所述,假命题的个数是3. 0类题
7、通法 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性( (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量(解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈( aa(3)是与a同向的单位向量,是与a反向的单位向量( |a|,|a|考点二 向量的线性运算 ,典例 (1)如图,在正六边形ABCDEF中,,( ) CDBAEF,A(0 B( BE,C( D( CFAD12(2)(2013?江苏高考)设D,E分别是?ABC的边AB,BC上的点,AD,AB,BE,BC.23,若,, (,为实数),则,的值为_( ACDEAB121212,解析 (1)如图,?在正六边形ABCDEF中
8、,,,,, CDCEAFBF,?,,,,,,,,CDCEBAEFBAAFEFBFEFEF,. CF,121212(2)由题意,,,,,,(,),,ACBCDEBADBBEABABAB232363,, AC121所以,,,,即,,. 12126321答案 (1)D (2) 2,1,2,,,若(2)条件变为:若CACDCBADDB3则,_. ,解析:?,,,, CACDCDCBADBD,?2,,. CACDCBADBD,又?,2 ADDB,1?2,, CACDCBAB3,1,,(,) CACACBCB3,24,. ,CACB33,122?,,即,. CACDCB3332答案: 3类题通法 在向量线
9、性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解( 针对训练 若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子: ,?,,,;?,,,; ACCDBCBCADABDABD,?,,.其中正确的有( ) ACDCBDABA(0个 B(1个 C(2个 D(3个 ,解析:选C ?式的等价式是,,左边,,右边,BCCDCBABDAABDA,,不一定相等;?式的等价式是,,,,DCACACBCCBADADBDDB,成立;?式的等价式是,,,成立( ACDCADADABABB
10、D考点三 共线向量定理的应用 典例 设两个非零向量a与b不共线, ,(1)若,a,b,,2a,8b,,3(a,b), BCCDAB求证:A,B,D三点共线( (2)试确定实数k,使ka,b和a,kb共线( ,解 (1)证明:?,a,b,,2a,8b,,3(a,b), BCCDAB,?,,,2a,8b,3(a,b),2a,8b,3a,3b,5(a,b),5. BCCDBDAB,?,共线, ABBD又?它们有公共点B, ?A,B,D三点共线( (2)?ka,b与a,kb共线, ?存在实数,使ka,b,(a,kb), 即ka,b,a,kb. ?(k,)a,(k,1)b. ?a,b是不共线的两个非零向
11、量, ?k,k,1,0, 2?k,1,0.?k,?1. 类题通法 1(共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值( (2)若a,b不共线,则a,b,0的充要条件是,0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛( 2(证明三点共线的方法 ,若,,则A、B、C三点共线( ACAB针对训练 ,已知a,b不共线,,a,,b,,c,,d,,e,设t?R,如果3aOAOBOCODOE,c,2b,d,e,t(a,b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上,若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由( ,解:由题设知,d,c,2b,3a,e,c,(t,3)a,t
12、bCDE三点在一条CDCE,直线上的充要条件是存在实数k使得,k即(t,3)a,tb,3ka,2kb CECD整理得(t,3,3k)a,(2k,t)b. ,t,3,3k,0,因为ab不共线所以有 ,t,2k,0,6解之得t,. 56故存在实数t,使CDE三点在一条直线上( 5课堂练通考点 (给出下列命题: 1?两个具有公共终点的向量,一定是共线向量( ?两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小( ?a,0(为实数),则必为零( ?,为实数,若a,b,则a与b共线( 其中错误的命题的个数为( ) A(1 B(2 C(3 D(4 解析:选C ?错误两向量共线要看其方向而不是起点或终点( ?正确因
13、为向量既有大小又有方向故它们不能比较大小但它们的模均为实数故可以比较大小( ?错误当a,0时不论为何值a,0. ?错误当,0时a,b,0此时a与b可以是任意向量(故选C. ,2.如图,已知,a,,b,,3,用a,b表示,ACDCADABBD,则,( ) AD313A(a,b B.a,b 4441131C.a,b D.a,b 4444,解析:选B ?,a,b又,3 ACDCCBABBD,11113?,(a,b)?,,,b,(a,b),a,b. ACCDCBCDAD444443(2013?贵阳监测考试)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a,b与c共线,且b,c与a共线,则向量a,b,c,(
14、) A(a B(b C(c D(0 解析:选D 依题意设a,b,mcb,c,na则有(a,b),(b,c),mc,na即a,c,mc,na.又a与c不共线于是有m,1n,1a,b,ca,b,c,0选D. 4.(2013?“江南十校”联考)如图,在?ABC中,?A,60?,?A的平,1分线交BC于D,若AB,4,且,, (?R),则AD的长ACADAB4为( ) A(23 B(33 C(43 D(53 13解析:选B 因为BDC三点共线所以有,,1解得,如44,1图过点D分别作ACAB的平行线交ABAC于点MN则,ACAN4,3,经计算得AN,AM,3AD,33. AMAB4,5(在?ABCD中
15、,,a,,b,,3,M为BC的中点,则,_(用NCADANABMNa,b表示)( ,解析:由,3得4,3,3(a,b) NCACANAN,1,a,b AM2,1311,a,b所以,(a,b),a,b. MN2,44411答案:,a,b 44,26(设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,,16,|,|,|,|,ACACBCABAB,则|,_. AM,解析:由|,|,|,|可知?则AM为Rt?ABC斜边BC上ACACACABABAB,1的中线因此|,|,2. BCAM2答案:2 课下提升考能 第?组:全员必做题 1(设a、b是两个非零向量( ) A(若|a,b|,|a|,|b|,则a?b B(
16、若a?b,则|a,b|,|a|,|b| C(若|a,b|,|a|,|b|,则存在实数,使得b,a D(若存在实数,使得b,a,则|a,b|,|a|,|b| 解析:选C 对于A可得cos ab ,1因此a?b不成立,对于B满足a?b时|a,b|,|a|,|b|不成立,对于C可得cos ab ,1因此成立而D显然不一定成立( ,2(设D,E,F分别是?ABC的三边BC、CA、AB上的点,且,2,,2,DCCEEABD,2,则,与 ( ) CFBCAFFBADBEA(反向平行 B(同向平行 C(互相垂直 D(既不平行也不垂直 ,1解析:选A 由题意得,,,, BCADABBDAB3,1,,,, AC
17、BAAEBABE3,1,,,, CFCBCBBFBA3,1因此,,,(,,) ACCFCBBCADBEAB3,21,,, CBBCBC33,故,与反向平行( CFBCADBE,1(2014?哈尔滨四校联考)在?ABC中,N是AC边上一点,且3,,P是BNNCAN2,2上的一点,若,m,则实数m的值为( ) ACAPAB911A. B. 93C(1 D(3 ,11解析:选B 如图因为,所以,NCACANANAP23,222m,,m,因为B、P、N三点共线所以m,,ACANABAB93311所以m,. 3,4(2014?山师大附中模拟)已知平面内一点P及?ABC,若,,,则PCPAPBAB点P与?
18、ABC的位置关系是( ) A(点P在线段AB上 B(点P在线段BC上 C(点P在线段AC上 D(点P在?ABC外部 ,解析:选C 由,,得,,即,PCPCPCPAPBPAPBABABAP,2所以点P在线段AC上选C. PAAPAP,5(2014?大连高三双基测试)设O在?ABC的内部,且有,2,3,0,则?OAOBOCABC的面积和?AOC的面积之比为( ) 5A(3 . 33C(2 . 2,解析:选A 设ACBC的中点分别为MN则已知条件可化为(,),2(OAOCOB,,),0即,2,0所以,2说明MON共线即O为中位ONONOCOMOMS?2211ABC线MN上的靠近N的三等分点S,S,?
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