最新届高考数学+黄金考点精析精训+考点17+数列的求和及综合应用+文优秀名师资料.doc
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1、2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点17 数列的求和及综合应用 文考点17 列的求和及综合应用 【考点剖析】 1(最新考试说明: ?理解等差数列、等比数列的概念. ?掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ?能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ?了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 2(命题方向预测: 考查数列的求和方法,以等差数列、等比数列的求和公式为基础,重点考查“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法,在此基础上将数列与函数方程、不等式、解析几何等结合结合考查,难度在中等偏上( 3(课本结论总结: naa(),nn
2、(1),1n(1)等差数列的前和的求和公式:. Snad,,nn122(2)等比数列前项和公式 n的前项和是,当时,一般地,设等比数列S,aaaa,?naaaa,?q,1n123n123nna(1,q)aaq,11n或;当时,(错位相减法). S,naS,q,1S,n1nn11,q,q(3)数列前项和 nnn(n,1)k,123,,?n?重要公式:(1) ,2k,1n2(21)k,n13521,,?n(2) ,,1k2n1,3333k,(3) 1,2,?,n,n(n,1),k1,2,n122222k,1,2,3,?,n,n(n,1)(2n,1)(4) ,6k1,SSSmnd,,?等差数列中,;
3、 mnmn,nm?等比数列中,. SSqSSqS,,,,mnnmmn(4)解答数列实际应用题的基本步骤: ?审题仔细阅读材料,认真理解题意; 1 ?建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题(分清该数列是等差数列还是等比数列,是求通项还是求前n项和; ?求解求出该问题的数学解; ?还原将所求结果还原到原实际问题中( 具体解题步骤如下框图: (2)数列实际应用问题的常见模型有?等差模型;?等比模型;?混合模型;?生长模型;?递推模型(用数列知识解相关的实际问题,关键是弄清所构造的数列的首项是什么,项数是多少,然后结合数列相关知识求解( 4(名师二级结论: 1)公式法:如果一个
4、数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可n以直接使用公式求和. a2)倒序相加法:类似于等差数列的前项和的公式的推导方法,如果一个数列的前项中首末两端等nn,n“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列n的前项和公式即是用此法推导的( n3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的( bcabc,若,其中
5、是等差数列,是公比为等比数列,令 q,nnnnnSbcbcbcbc,,?qS,bcbcbcbc,?,则两式错位相减并整理即得. nnnnn112211,n122311nnnn,,4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正n负项相互抵消,于是前项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似,cac(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和,,naann,1,需要掌握一些常见的裂项方法: 1111111,k,1(1),特别地当时,; ,nnnn,11nnkknnk,,2 111(2),特别
6、地当时,; k,1,,,nn1,,,nkn,knn,1nkn,22111n,(3) a,,,1n,212122121nnnn,,,,,1111(4) a,n,nnnnnnn,122112,,1111(5) ,(,)(p,q)pqq,ppq5()分组转化求和法:有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列是,abab,nnnn等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可. nafn,16)并项求和法:一个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和(形如类n,n型,可采用两项合并求解(例如,222
7、222,,,?. S,,,,,10099989721?,n7) 在利用裂项相消法求和时应注意:(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项( 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比数列的求和( n应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式( 使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成
8、正负相消是此法的根源与目的( 用错位相减法求和时,应注意(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出SqSSqS,“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达nnnn式( 8) 易错提示 利用裂项相消法解决数列求和问题,容易出现的错误有两个方面: 1111111,(,)(1)裂项过程中易忽视常数,如容易误裂为,漏掉前面的系数; 2nn,2n(n,2)2nn,2(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题,导致计算结果错误( 应用错位相减法求和时需注意: ?给数列和S的等式两边所乘的常数应不为零,否则需讨论; n3 ?在转化为等比数
9、列的和后,求其和时需看准项数,不一定为n. 5(课本经典习题: (1) 新课标人教A版第45页,例4 24已知等差数列的前项和为,求使得最大的序号的值( SSnn5,4,3,?nn77【经典理由】很多高考试题,或是这道题的改编、变式,或是其延伸、拓展( d,0变式题1(已知是各项不为零的等差数列,其中,公差,若,求数列前项和aa,0S,0annn101的最大值( 10()aa,110【解析】,所以,即数列前5项和为最大值( Saa,,,5()0aa,0,0a1056n562变式题2(在等差数列中,求的最大值( aa,25SS,Sn1179n179d,2【解法一】由,得:,解得( 2517(17
10、1)259(91),,,,ddSS,17922n2n,1325(1)(2)(13)169(由二次函数的性质,当时,有最大值169( ?,,,,SnnnSnn2(2) 新课标人教A版第62页,第1题 nn,11ab,nnnnn,1221利用等比数列的前项和公式证明( n= (,0,0)aabababbnNab,,?ab,【经典理由】能很好地训练学生的思维( nn,1n,22n,1n,a,b,u变式题(已知.当时,求数列u,a,ab,ab,?,ab,b (n,N,a,0,b,0)nnS的前n项和( nna,bun【解析】(?)当时,u,(n,1)a(这时数列的前项和 nn23n,1nS,2a,3a
11、,4a,?,na,(n,1)a( ? n234nn,1a?式两边同乘以aS,2a,3a,4a,?,na,(n,1)a,得 ? n23nn,1a,1(1,a)S,2a,a,a,?,a,(n,1)a?式减去?式,得,若,n4 n1212nn,n,n,a(1,a)a(1,a)a,(n,1)a(n,1)a,(n,2)a,a,2an,1, (1,a)S,(n,1)a,aS,,,nn221,a1,a(1,a)(1,a)n(n,3)a,1S,2,3,n,(n,1),若,( ?n26(考点交汇展示: (1)函数导数与数列的交汇 *22n,设nN,,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. x(12),yx,,1
12、n(?)求数列的通项公式; xn1222(?)记,证明. Txxx,?T,nnn1321n4n1x,【答案】(?);(?). T,nn1n,n422n,2221nn,22n,【解析】(?)解:,曲线在点处的切线斜率为. (12),yx,,1yxnx(1)(22),,,,1n从而切线方程为.令,解得切线与轴交点的横坐标x,1. xy,0ynx,,,2(22)(1)nnn,11(2)数列与解析几何知识的交汇 312yxx,,anS,bS已知数列n的前项和为,点在抛物线上,各项都为正数的等比数列满足,,,nnnn2211bb,( 24416ab(?)求数列, 的通项公式; ,nnCCab,,T(?)
13、记,求数列的前n项和( ,naannnn5 nnn91,221,【答案】(1) (2) an,31,T,,b,nnn,n7827,2,312n,1【解析】(?),当时, Snn,,aS,2n1122313522n,2当时, Snnnn,,,,111,n,122223, 数列是首项为,公差为的等差数列, 2a?,aSSn31?,an31?,nnnn,1nn111,又各项都为正数,解得 bbqb,?,n1,n222,31n,nn91,1212,(?) CabnT,,,,,,94,naan,nnn27827,【考点分类】 热点1 等差数列与等比数列的综合应用 1.【2018届师大附中、闽清一中、金石
14、中学联考卷】设数列a的前项和为,已知, Saa,2,8n,nn12SSSn,,452loga, 是数列的前项和. Tn,,nnn,,112nna(1)求数列的通项公式; ,n,11151111,?(2)求满足的最大正整数的值. n,TTT10123n,21n,100【答案】(1);(2)最大正整数的值为. na,2nn,2SSSS,4【解析】试题分析:(1)当时, SSS,,45得即aa,4,从而,nnnn,,11nnn,,11nn,1得等比数列即可求解; ,1111n,2111,?log21an,(2),利用等差数列求和可得,进而有,再Tn,2nnTTTn223n,解不等式即可. 试题解析:
15、 n,2SSS,,45(1)?当时, , nnn,,11SSSS,4?. ,nnnn,,11aa,4?. nn,16 ?, , ?. a,2a,8aa,42112?数列是以为首项,公比为的等比数列. 4aa,2,n1nn,121?. a,242n21n,(2)由(1)得: , loglog221an,22n? ,,,1321?nTaaa,,logloglog?,nn21222nn121,,,2 . ,n,22222,1111112131411,n, 111111,?,2222222TTTnn23234,n23,13243511,,?nn,n,1, . ,22222n234,?n51n,1n,1
16、01, ,解得: . 令2n101100故满足条件的最大正整数的值为. na2.【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列的前项和为, , Sa,1n,n1n*d,2b(等 差数列中, ,且公差( b,5aSnN,,,21,n2nn,1ab,(?)求数列的通项公式; ,nn(?)是否存在正整数,使得?(若存在,求出的最小值;若 不存在,请说nnabababn,.60,1122nn明理由( n,1bn,21【答案】(1), ;(2)4( a,3nnaan=32,aaS,,21aS,2+1【解析】试题分析:(?)由可得, 两式相减得, ,数列,,nn+1nnn,1nn-131ab是
17、以为首项, 为公比的等比数列,从而可得数列的通项公式,利用等差数列的定义可得的通,nnn,1abn,,,213ab,Sn项公式;(?)根据(?)求出,利用错位相减法可得数列的前项和,,nnnnn解不等式即可得结果. n,2aan=32,?aS,,21aS,2+1试题解析:(?) , 当时, 两式相减得, ,又?,nn+1nn,1nn-17 *3, 数列是以为首项, 为公比的等比数列, 1aaaaaanN,,,?,2133,3?,,nn,n2111n,1,又, . ?,,,,bbndn121bbd,523?a=3,n112n【方法规律】 常用的等差、等比对应重要性质对比如下: aann1A(如果
18、数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列;如果数列是等比数列,则数Aaann列是等差数列; (0,1)aa,log|aanaaa,,22(在等差数列中,若(特别地,当时,有; mnp,,2mnlkaaaa,,,,,,,mnpmnlk2在等比数列中,若(特别地,当时,有; mnp,,2aaa,mnlkaaaa,,,,mnlkmnP3(若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列; aann,?4(等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列; SSS,SS,mmm232mm,?等比数列中 仍是等比数列; SSS,SS,mmm232mm【解题技巧】 (1)分析已知条件和求解目标,
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