最新届高考数学一轮复习+第二章+第12讲+导数与函数极值、最值资料(艺术班)优秀名师资料.doc
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1、2015届高考数学一轮复习 第二章 第12讲 导数与函数极值、最值资料(艺术班)第二章 函数、导数及其应用 第12讲 导数与函数极值、最值 一、必记3个知识点 1(函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f(x)?0?f(x)在(a,b)上为增函数( f(x)?0?f(x)在(a,b)上为减函数( 2(函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y,f(x)在点x,a的函数值f(a)比它在点x,a附近其它点的函数值都小,f(a),0,而且在点x,a附近的左侧f(x),0,右侧f(x),0,则点a叫做函数y,f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y,
2、f(x)的极小值( (2)函数的极大值: 函数,()在点,的函数值()比它在点,附近的其他点的函数值都大,(),0,而且在点yfxxbfbxbfbx,b附近的左侧f(x),0,右侧f(x),0,则点b叫做函数y,f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y,f(x)的极大值( 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值( 3(函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值( (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值( 二、
3、必明2个易误区 1(求函数极值时,误把导数为0的点作为极值点;极值点的导数也不一定为0. 2(易混极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念( 三、必会2个方法 解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用( (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理(第二课时 导数与函数极值、最值 考点一 运用导数解决函数的极值问题 a典例 (2013?福建高考节选)已知函数f(x),x,1,(a?R,e为自然对数的底数)( xe(1)若曲线y,f(x)在点
4、(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值( 1 aa解 (1)由f(x),x,1,得f(x),1,.又曲线y,f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴, xxeea得f(1),0,即1,a,e. ,0,解得ea(2)f(x),1,,?当a?0时,f(x)0,f(x)为(,?,?)上的增函数,所以函数f(x)无极值( xex?当0时,令(),0,得e,,即,ln .?(,?,ln ),()0, afxaxaxafxxafx所以f(x)在(,?,ln a)上单调递减,在(ln a,?)上单调递增, 故f(x)在x,ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a),
5、ln a,无极大值( 综上,当a ?0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x,ln a处取得极小值ln a,无极大值( 若把本例中f(x)变为“f(x),x,aln x(a?R)”,试求函数的极一题多解 值. ax,a解:由f(x),1,,x0知:(1)当a?0时,f(x)0,函数f(x)为(0,?)上的增函数,函数xxf(x)无极值;(2)当a0时,由f(x),0,解得x,a.又当x?(0,a)时,f(x)0, 从而函数f(x)在x,a处取得极小值,且极小值为f(a),a,aln a,无极大值( 综上,当a?0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x,a处取得极小值a,al
6、n a,无极大值( 类题通法 求函数f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f(x); (3)解方程f(x),0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f(x)在f(x),0的根x左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x处取极大值,00如果左负右正,那么f(x)在x处取极小值( 0针对训练 132设f(x),2x,ax,bx,1的导数为f(x),若函数y,f(x)的图像关于直线x,对称,且f(1),0. 2(1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值( 2aa322,2解:(1)因为f(x),2x,ax,bx,1,故f(x),6x,2ax,b,从而f(x)
7、,6x,b,, ,6,6aa1即y,f(x)关于直线x,a,3. 对称(从而由题设条件知,,即662又由于f(1),0,即6,2a,b,0,得b,12. 322(2)由(1)知f(x),2x,3x,12x,1,所以f(x),6x,6x,12,6(x,1)(x,2),令f(x),0, 即6(x,1)(x,2),0,解得x,2或x,1,当x?(,?,,2)时,f(x)0, 即f(x)在(,?,,2)上单调递增;当x?(,2,1)时,f(x)0,即f(x)在(1,?)上单调递增( 2 从而函数()在,2处取得极大值(,2),21,在,1处取得极小值(1),6. fxxfxf考点二 运用导数解决函数的
8、最值问题 x典例 已知函数f(x),(x,k)e. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值( x解 (1)f(x),(x,k,1)e.令f(x),0,得x,k,1.f(x)与f(x)的情况如下: x (,?,k,1) k,1 (k,1,?) f(x) , 0 , k,1f(x) ,e 所以,f(x)的单调递减区间是(,?,k,1);单调递增区间是(k,1,?)( (2)当k,1?0,即k?1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0),k; 当0k,11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k,1)上单调递减,在(k,1,1上单
9、调递增,所以f(x)在区k,1间0,1上的最小值为f(k,1),e;当k,1?1时,即k?2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1),(1,k)e. k,1综上,在区间0,1上k?1时,f(x)最小值为f(0),k.1k0),若函数f(x)在x,1处与直线y,相切, 21,(1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)在,e上的最大值( ,e,f,1,a,2b,0,,a1解:(1)f(x),2bx,?函数f(x)在x,1处与直线y,相切,?解得,12xf,1,b,, ,2,a,1,, ,1b,. ,2,2x111,112(2)f(x),ln x,x,f(
10、x),x,,?当?x?e时,令f(x)0得?x1; 2xxee11,令f(x)0,得10,故f(x)在(,?,,2)上为增函数; 当x?(,2,2)时,f(x)0, 故f(x)在(2,?)上为增函数(由此可知f(x)在x,2处取得极大值f(,2),16,c, f(x)在x,2处取得极小值f(2),c,16.由题设条件知16,c,28,解得c,12. 此时f(,3),9,c,21,f(3),9,c,3,f(2),16,c,4,因此f(x)在,3,3上的最小值为f(2),4. 类题通法 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的(求函数在无穷区间(或开区间)上的最值
11、,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值( 针对训练 232已知函数f(x),x,ax,bx,c,曲线y,f(x)在点x,1处的切线为l:3x,y,1,0,若x,时,y,f(x)3有极值( (1)求a,b,c的值; (2)求y,f(x)在,3,1上的最大值和最小值( 322解:(1)由f(x),x,ax,bx,c,得f(x),3x,2ax,b.当x,1时,切线l的斜率为3,可得2a,b,0,? 22,当x,时,y,f(x)有极值,则f,0,可得4a,3b,4,0, ? 3,3,由?,解得a,2,b,4.由于切点的横坐标
12、为1,所以f(1),4.所以1,a,b,c,4.所以c,5. 2322(2)由(1),可得f(x),x,2x,4x,5,f(x),3x,4x,4.令f(x),0,解之,得x,2,x,. 123当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示: 222,x ,3 (,3,,2) ,2 ,2, ,1 1 ,3,3,3,f(x) , , 0 , 0 , , 95f(x) 8 13 4 2795所以y,f(x)在,3,1上的最大值为13,最小值为. 274 课后作业 3x21(函数f(x),x,3x,4在0,2上的最小值是( ) ,3171064A(, B(, C(,4 D(, 333172解
13、析:选A (),3,令(),0得,1(,3舍去),又(0),4,(1),,(2)fxx,2xfxxxfff310,, 317故f(x)在0,2上的最小值是f(1),. 33222(已知函数f(x),x,ax,bx,a在x,1处有极值10,则f(2)等于( ) A(11或18 B(11 C(18 D(17或18 322解析:选C ?函数f(x),x,ax,bx,a在x,1处有极值10,?f(1),10,且f(1),0, 2,1,,10,,3,,4,,3,abaaaa,即解得或而当时,函数在x,1处无极值, 3,,2a,b,0,,b,3,,b,11.,b,3,32故舍去(?f(x),x,4x,11
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