最新届高考数学一轮复习教学案基础知识+高频考点+解题训练圆锥曲线的综合问题北师大版优秀名师资料.doc
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1、2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识 高频考点 解题训练)圆锥曲线的综合问题(北师大版)圆锥曲线的综合问题(文视情况 知识能否忆起 1(直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或22x)得关于变量x(或y)的方程:ax,bx,c,0(或ay,by,c,0)( 若a?0,可考虑一元二次方程的判别式,有: 0?直线与圆锥曲线相交; ,0?直线与圆锥曲线相切; b0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.22ab2直线y,k(x,1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程; 10(2)当?AMN的面积为时,求k的值( 3
2、a,2,c2自主解答 (1)由题意得解得b,2 ,a2,222,a,c,b22xy所以椭圆C的方程为,,1. 42y,k,x,1,,222222(2)由)x,4kx,2k,4,0. ,得(1,2kxy,,1 ,42设点MN的坐标分别为(xy)(xy)则 112224ky,k(x,1)y,k(x,1)x,x, 21122121,2k22k,4xx, 2121,2k22所以|MN|,,x,x,y,y, 212122,,1,k,x,x,,4xx 1212222,1,k,4,6k,,. 21,2k|k|又因为点A(2,0)到直线y,k(x,1)的距离d, 21,k所以?AMN的面积为 2|k|4,6k
3、1S,|MN|? d,. 221,2k2|k|4,6k10由,解得k,?1. 231,2k由题悟法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数,但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解( 以题试法 21(2012?信阳模拟)设抛物线y,8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) 11,,,A. B(,2,2 ,22,C(,1,1 D(,4,4 2解析:选C 易知抛物线y,8x的准线x,2与x轴的交点为Q(,2,0),于是,可设过点Q(,2,0)的直线l的方程为y,k(x,2)(由题可
4、知k是存在的), 2,y,8x,,2222,联立?kx,(4k,8)x,4k,0. y,k,x,2,,2242当k,0时,易知符合题意;当k?0时,其判别式为,(4k,8),16k,64k,64?0, 可解得,1?k?1. 最值与范围问题 典题导入 22xy例2 (2012?浙江高考)如图,椭圆C:,,1(a,b,0)的离22ab1心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C2相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分( (1)求椭圆C的方程; (2)求?ABP面积取最大值时直线l的方程( 自主解答 (1)设椭圆左焦点为F(,c,0)则由题意得 2,2,c,1,10,c
5、,1,得 ,c1 a,2., ,a222xy所以椭圆方程为,,1. 43(2)设A(xy)B(xy)线段AB的中点为M. 1122当直线AB与x轴垂直时直线AB的方程为x,0与不过原点的条件不符舍去(故可设直线AB的方程为y,kx,m(m?0) ,y,kx,m,由消去y整理得 22 ,3x,4y,12,222(3,4k)x,8kmx,4m,12,0 ? 2222则,64km,4(3,4k)(4m,12),0 8kmx,x,212,3,4k,2,124m xx,.212,3,4k4km3m,所以线段AB的中点为M. 223,4k3,4k,2km13m因为M在直线OP:y,x上所以,. 2223,
6、4k3,4k3得m,0(舍去)或k,. 222此时方程?为3x,3mx,m,3,0则 x,x,m12,22,3(12,m),0 ,3mxx,. 12,33922所以|AB|,1,k?|x,x|,?12,m 126设点P到直线AB的距离为d则 |8,2m|2|m,4|d,. 22133,2设?ABP的面积为S则 1322S,|AB|?d,?,m,4,12,m,. 26其中m?(,230)?(0,23)( 22令u(m),(12,m)(m,4)m?,2323 2u(m),4(m,4)(m,2m,6),4(m,4)(m,1,7)(m,1,7)( 所以当且仅当m,1,7时u(m)取到最大值( 故当且仅
7、当m,1,7时S取到最大值( 综上所求直线l的方程为3x,2y,27,2,0. 由题悟法 1(解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法( (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法; (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法( 2(在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建
8、立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围( 以题试法 22(2012?东莞模拟)已知抛物线y,2px(p?0)上存在关于直线x,y,1对称的相异两点,则实数p的取值范围为( ) 22,,00,A. B. ,3,3,33,,00,C. D. ,2,2,解析:选B 设抛物线上关于直线x,y,1对称的两点是M(x,y)、N(x,y),设直线112222MN的方程为y,x,b.将y,x,b代入抛物线方程,得x,(2b,2p)x,b,0,则x,x,2p12,2b,y,y,(x,x),2b,2p,则MN的中点P的坐标为(p
9、,b,p)(因为点P在直线x1212222,y,1上,所以2p,b,1,即b,2p,1.又,(2b,2p),4b,4p,8bp,0,将b,2p,1222代入得4p,8p(2p,1),0,即3p,2p,0,解得0,p,. 3定点定值问题 典题导入 22xy例3 (2012?辽宁高考)如图,椭圆C:,,1(ab0,220ab222a,b为常数),动圆C:x,y,t,bta.点A,A分别为11112C的左,右顶点,C与C相交于A,B,C,D四点( 010(1)求直线AA与直线AB交点M的轨迹方程; 12222(2)设动圆C:x,y,t与C相交于A,B,C,D四点,其中bta,t?t.22021222
10、若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明:t,t为定值( 12自主解答 (1)设 A(xy)B(x,y)又知A(,a,0)A(a,0)则直线AA的方程1111121y1为y,(x,a)? x,a1,y1直线AB的方程为y,(x,a)(? 2x,a12,y1222由?得y,(x,a)(? 22x,a122xy11由点A(xy)在椭圆C上故,,1. 22110ab222xxy122,1,从而y,b2代入?得,1(x,ay0)( 221,a,ab(2)证明:设A(x,y),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x|y|2211,4|x|?|y|, 222222故xy,xy. 1122因为
11、点A,A均在椭圆上,所以 22xx122222,1,1,bx2,bx2. 12,a,a,222222由t?t,知x?x,所以x,x,a,从而y,y,b, 121212122222因此t,t,a,b为定值( 12由题悟法 1(求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值( 2(定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y,kx,b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况( 以题试法 23(2012
12、?山东省实验中学模拟)已知抛物线y,2px(p?0)及定点A(a,b),B(,a,0),ab?0,2b?2pa,M是抛物线上的点(设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M,M,当12M变动时,直线MM恒过一个定点,此定点坐标为_( 12222yyy,b,yyy011200,yyy解析:设MMM由点AMM共线可知,222012121,2,p,2p,2p,yyy010,a,2p2p2pby,2pay,y2pa021得y,共线得y,.设(xy)是直线MM上的点则同理由点BMM2212212yyyy,b0210,2p2py,y,2paby2pa20,即yy,y(y,y),2px又y,y, 2121
13、212yyy,b200,x2p2则(2px,by)y,2pb(a,x)y,2pa(by,2pa),0. 002pa2pa,a当x,ay,时上式恒成立即定点为. ,b,b2pa,a,答案: ,b,2y21(已知双曲线x,,右焦点为F,P为双曲线右支上一点,则,1的左顶点为A123PA,?,的最小值为( ) PF1281A(,2 B(, 16C(1 D(0 2解析:选A 设点P(x,y),其中x?1.依题意得A(,1,0),F(2,0),由双曲线方程得y1222222,3(x,1)(PA,?,(,1,x,,y)?(2,x,,y),(x,1)(x,2),y,x,y,x,2,xPF12181222,x
14、,PA,3(x,1),x,2,4x,x,5,4,,其中x?1.因此,当x,1时,,?PF,取12,8,16得最小值,2. 22(过抛物线y,2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( ) A(有且只有一条 B(有且只有两条 C(有且只有三条 D(有且只有四条 pp解析:选B 设该抛物线焦点为F,则|AB|,|AF|,|FB|,x,x,,x,x,1,3ABAB22,2p,2.所以符合条件的直线有且仅有两条( 22xy3(2012?南昌联考)过双曲线,1(a,0,b,0)的右焦点F作与x轴垂直的直线,22abFMMN分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(
15、均在第一象限内),若,4,,则双曲线的离心率为( ) 55A. B. 4334C. D. 552bbcFMMN解析:选B 由题意知F(c,0),则易得M,N的纵坐标分别为,4,,由aa22bcbbb4c5222,得,a,b,则e,. ,4?,即,.又c,aa,ac5a322xy4(已知椭圆,F,如果椭圆上一点P满足PF?PF,则下面结,,1的焦点是F12122516论正确的是( ) A(P点有两个 B(P点有四个 C(P点不一定存在 D(P点一定不存在 解析:选D 设椭圆的基本量为a,b,c,则a,5,b,4,c,3.以FF为直径构造圆,12可知圆的半径r,c,3,4,b,即圆与椭圆不可能有交
16、点( 22xx0225(已知椭圆C:,1的两焦点为F,F,点P(x,y)满足?1,则|PF|,|PF|,y,y120001222的取值范围为_( 解析:当P在原点处时|PF|,|PF|取得最小值2,当P在椭圆上时|PF|,|PF|取得1212最大值22故|PF|,|PF|的取值范围为2,22 ( 12答案:2,22 2x26(2013?长沙月考)直线l:x,y,0与椭圆,1相交于A、B两点,点C是椭圆上,y2的动点,则?ABC面积的最大值为_( x,y,0,622解析:由,2?x,? ,得3xx23,1,y ,26666,?AB ,3333,43?|AB|,. 3|2cos ,sin |3,设
17、点C(2cos sin )则点C到AB的距离d,?sin(,) ,223? 211433?S,|AB|?d?,2. ?ABC2232答案:2 2y27(设F,F分别是椭圆E:x,,1(0b1)的左,右焦点,过F的直线l与E相交2121b于A,B两点,且|AF|,|AB|,|BF|成等差数列( 22(1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求b的值( 解:(1)由椭圆定义知|AF|,|AB|,|BF|,4 224又2|AB|,|AF|,|BF|得|AB|,. 2232(2)l的方程为y,x,c其中c,1,b. y,x,c,222设A(xy)B(xy)则AB两点坐标满足方程组化简得(1,)x,
18、by11222x,,12 ,b2,2cx,1,2b,0. 2,2c1,2b则x,x,xx,. 2212121,b1,b因为直线AB的斜率为1 4所以|AB|,2|x,x|即,2|x,x|. 21213224,4,1,b4,1,2b88b2则,(x,x),4xx, 2222212129,1,b,1,b,1,b,2解得b,. 222xy28(2012?黄冈质检)已知椭圆,,1(a,b,0)的离心率为,椭圆上任意一点到右焦22ab2点F的距离的最大值为2,1. (1)求椭圆的方程; (2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B点,
19、使得|AC|,|BC|,并说明理由( c2,a,2e,a2解:(1)?b,1 , c,1, ,a,c,2,12x2?椭圆的方程为,1. ,y2(2)由(1)得F(1,0)?0?m?1. 假设存在满足题意的直线l 2x2设l的方程为y,k(x,1)代入,1中得 ,y22222(2k,1)x,4kx,2k,2,0. 24k设A(xy)B(xy)则x,x, 21122122k,12,22kxx, 2122k,1,2k?y,y,k(x,x,2),. 212122k,122kk,设AB的中点为M则M. 222k,12k,1,?|AC|,|BC|?CM?AB即k?k,1 CMABk2,12k2?k,1即(
20、1,2m)k,m. 22km,22k,11m?当0?m,时k,? 即存在满足题意的直线l, 21,2m1当?m?1时k不存在即不存在满足题意的直线l. 222xy9(2012?江西模拟)已知椭圆C:,,1(a,b,0),直线y,x,6与以原点为圆心,22ab以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F,F为其左,右焦点,P为椭圆C上任一点,?12FPF的重心为G,内心为I,且IG?FF. 1212(1)求椭圆C的方程; (2)若直线l:y,kx,m(k?0)与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的垂直平分线1,,0过定点C,求实数k的取值范围( ,6,xy00,解:(1)设P(xy)x?a则G. 0
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