最新届高考数学二轮专题突破课堂讲义:第23讲+高考题中的应用题解法.doc优秀名师资料.doc
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1、2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义:第23讲 高考题中的应用题解法.doc第23讲 高考题中的应用题解法(对应学生用书(文)、(理)79,83页) 江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度,新高考(08年开始)以来,每年除了在小题(填空)考查外,都还有一道大题,其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题,2013年放在试卷的第18题,2009年放在试卷的第19题,考查的知识点都是B级考点的综合应用,试题的难度属于中档题( 所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题(由于数学的高度抽象性,这就决定了数学应用的广泛性,而应用题的非数学背景的多样
2、性,也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题,舍去与数学无关的非本质因素,通过抽象转化为相应的数学问题( 江苏高考数学试题中,对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟,它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力( 解数学应用题的一般思路 实际上就是(1) 读:理解文字(图形)表达的意图,分清条件和结论;(2) 建:进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言),利用数学知识建立相应的数学模型;(3) 解:求解数学模型,得到数学结论;(4) 答:把用数学方法
3、所得到的结论还原为实际问题,要符合实际意义( 高考数学应用题常见模型:(1) 函数应用模型:涉及最值问题;(2) 三角应用模型:涉及测量问题;(3) 不等式(组)应用模型:涉及优化问题;(4) 方程(组)及坐标系应用模型:涉及等量问题;(5) 数列应用模型:涉及年代及预测问题;(6) 立体几何模型:涉及空间图形问题;(7) 概率、统计模型:涉及数据计算、预估等问题( 1. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB2的长,则该矩形面积大于20 cm的概率为_. 2答案: 3132. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y,x,
4、81x,3234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件( 答案:9 3. 如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD,2x,梯形面积为S,则S的最大值是_( 32答案: 272解析:建立坐标系B点坐标为(1,1)求出抛物线方程为x,y得D点坐标(x2x,21222,x)等腰梯形的高为1,xS,(1,x)0,x,1求导可以得到x,时S取最大2332值. 274. 某人于2009年7月1日去银行存款a元,存的是一年定期储蓄,2010年7月1日他将到期存款的本息一起取出,再加a元后,还存一年的定期储蓄,此后每年7月1日他都按照同样的方法,在
5、银行取款和存款(设银行一年定期储蓄利率r不变,则到2014年7月1取出的钱数共有_元( 日,他将所有的存款和利息全部取出时,5a,1,r,1,r,1答案: r题型一 通过建立坐标系,得到函数模型来解应用题 例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD,上沿DC为圆弧,其圆心为A,圆半径为2 m,AD?AB,BC?AB,且BC长1 m(现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上,E在线段AB上,F在线段AD上)作圆柱的侧面,若以PE为母线,问如何裁剪可使圆柱的体积最大,其最大值是多少, 解:分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xOy则圆弧DC的方程为222x,y,4(0?x?3y
6、,0)设P(xy)(0,x?3)圆柱半径为r体积为V则PE,4,xx2r,AE,x则r, 22x1122222422,? V,rl,?4,x,x4,x即V,x(4,x)(设t,x?(02,241623则u,t(4,t) 82,u,3t,8t,3tt, ,3888令u,0得t,.当,t?3时u,0u是减函数,当0,t,时u,0u是增33382433函数? 当t,时u有极大值也是最大值? 当x,6 m时V有最大值 m33922此时y,4,x,3 m. 32243故裁一个矩形两边长分别为6 m和3 m能使圆柱的体积最大其最大值为 3393m. 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造
7、来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值(经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之2ama2,,0,间满足:? y与(a,x)和x的乘积成正比;? x?,其中m是常数(若x,时,,,2m,123y,a. (1) 求产品增加值y关于x的表达式; (2) 求产品增加值y的最大值及相应的x的值( a232解:(1) 设y,f(x),k(a,x)x因为当x,时y,a所以k,8所以f(x),8(a,x)x 22am,,0x?. ,,2m,12a2(2) 因为f(x),24x,16ax令f(x),0则x,0(舍)x,. 32am2a? 当?即m?1时 2m,132a2a,当x?0时f(x
8、),0所以f(x)在0上是增函数 ,332a2am2a2am,当x?时f(x),0所以f(x)在上是减函数 ,32m,132m,12a323,所以y,f,a, max,3272am2a? 当,即0,m,1时 2m,132am2am,00当x?时f(x),0所以f(x)在上是增函数 ,2m,12m,122am32m3,a. 所以y,f3max,2m,1,2m,1,2a322am3综上当m?1时投入万元最大增加值a,当0,m,1时投入万元3272m,1232m3最大增加值a. 3,2m,1,题型二 通过建立不等式模型来解应用题 例2 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30 km(忽
9、略内、外环线长度差异)( (1) 当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10 min,求内环线列车的最小平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h,外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min,问:内、外环线应各投入几列列车运行, 30解:(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h由题意可知60?10 v?20.所以9v要使内环线乘客最长候车时间为10 min列车的最小平均速度是20 km/h. (2) 设内环线投入x列列车运行则外环线投入(18,x)列列
10、车运行内、外环线乘客最30723060长候车时间分别为t、t min则t,60,t,60,.于是有|t1212125xx30,18,x,18,x2,x,150x,1 296?07260,150,17 316,114,18 180,t|,?1 ?x?. 22,x18,x22,x,114x,1 296?0,*又x?N所以x,10所以当内环线投入10列外环线投入8列列车运行时内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min. 如图,摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛距地面的距离为3 m. 6(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高
11、度; (2) 立柱的顶端有一长2 m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转(摄影者有一视角范围为的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入3画面,说明理由( 解:(1) 作SC垂直OB于C则?CSB,30?ASB,60?. 又SA,3故在Rt?SAB中可求得BA,3即摄影者到立柱的水平距离为3 m. 由SC,3?CSO,30?在Rt?SCO中可求得OC,3. 因为BC,SA,3故OB,23即立柱高为23 m. (2) 连结SM、SN设SN,aSM,b. 在?SON和?SOM中 2222,23,,1,b,1,a,23,22,b,26. ,得a2?223?1?23?122
12、2a,b,21122111cos?MSN,. ,?222ababa,b132?MSN?(0), 则?MSN,. 又3故摄影者可以将彩杆全部摄入画面( 题型三 通过建立三角模型来解应用题 例3 在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC和灯柱AB所在平面与道路垂直,且?ABC,120?,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知?ACD,60?,路宽AD,24 m(设灯柱高AB,h(m),?ACB,(30?45?)( (1) 求灯柱的高h(用表示); (2) 若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记此用料长度和为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值( 解:(1) ? ?ABC,1
13、20?ACB, ? ?BAC,60?,. ? ?BAD,90? ?CAD,30?,. ? ?ACD,60? ?ADC,90?,. ADAC在?ACD中? , sin?ACDsin?ADC24cos? AC,163cos. sin60?ABAC在?ABC中? , sin?ACBsinBACsin? AB,16sin2即h,16sin2. sin120?BCAC(2) 在?ABC中? , sin?BACsinBACsin,60?,? BC,32cossin(60?,) sin120?,83,83cos2,8sin2. 则S,AB,BC,83,83cos2,8sin2 ,83,16sin(2,60?
14、)( ? 30?45? 120?2,60?150?. ? 当,45?时S取得最小值为(83,8)m. 如图所示,一吊灯的下圆环直径为4 m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2 m,在圆环上设置三个等分点A、1A、A.点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A、A、A、B均用细绳相23123连接,且细绳CA、CA、CA的长度相等(设细绳的总长为y. 123(1) 设?CAO ,(rad),将y表示成的函数关系式; 1(2) 请你设计,当角正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时 BC应为多长( 22解:(1) 在Rt?COA中CA
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