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1、数学中的变形技巧目录 摘要 . II ABSTRACT . II 第一章 绪论 . 1 第二章 一元二次方程的变形 . 1 第三章 三角恒等变换技巧 . 3 一、变“名” . 3 二、变“角” . 4 三、逆变. 5 四、“1” 的变换 . 5 五、利用数学思想方法进行变换 . 6 六、结构的变换 . 7 第四章 因式分解的常见变形技巧 . 8 一、系数变换 . 8 二、指数变换 . 8 三、展开变换 . 8 四、添项变换 . 9 五、换元变换 . 9 第五章 结论 . 9 参考文献 . 10 致谢 . 10 I 数学中的变形技巧 黄 荣 荣 数学与信息学院 数学与应用数学专业 2010级 指
2、导教师:何艳 摘要:变形技巧在数学解题中是很常用的方法,数学解题中,为了完成论证、求值、化简等的任务,需要对一些式子进行恒等变形。一般情况下,一个式子往往有多种变形方式,技巧性非常强。本文主要介绍了在初高中数学中的一元二次方程、三角函数、因式分解等的变形应用。掌握好并灵活运用好变形技巧,可以化复杂为简单,提高解题效率。 关键词: 数学解题,变形技巧,三角函数 THE DEFORMATION SKILLS DISCUSS MATHEMATICS Huang Rongrong School of Mathematics and Information Grade 2010 Instructor:
3、He Yan ABSTRACT: Deformation technique is very commonly used method in mathematical problem solving, mathematics problem-solving, argumentation, evaluation, reduction in order to complete the task, need some formulas for identical deformation. In general, a formula often have multiple deformation me
4、thods, skill is very strong. This article mainly introduced the quadratic equation in the high school math, the deformation of application of trigonometric functions, factoring, etc. Mastering and flexible use of deformation technique, can be complex to simple, improve the efficiency of problem solv
5、ing. Key words: mathematics problemsolving;deformation skill;the trigonometric function II 第一章 绪论 数学是一个有机的整体,各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透,从而构成了一个相互交错的立体空间,所以为了培养数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力,除了对各单元知识,及一些开放探索性问题,实践应用性问题等综合内容进行系统复习外,在最后阶段的复习中,应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视,并有意识的运用一些数学方法去解决问题,这样才能使我们的数
6、学学习提高到一个新的层次,上升到一个新的高度。不同的问题可以用不同的方法,相同的问题也可以有各种不同的方法(即所谓的一题多解)。各种数学方法与数学知识一样,是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富,并且是数学知识所不能替代的。 近些年来,在中学数学考试中的考试题目越来越新颖,特别是在中考高考的试题当中,要使考生在短短的两小时之类完成所有的题量,这无疑对大部分考生来说是很难完成的。有些试题的技巧性又非常强。所以我们有必要针对有些题采取正确的解题技巧,对有些题做一些变形,这不仅能使试题变得简单明了,而且还能使我们做起题来得心应手,更增加了我们的解题信心和提高了对数学的兴趣。 本文将给出初中一元二次方
7、程几种经典的变形,高中数学三角函数中的恒等变形,以及因式分解的一些常用方法。 第二章 一元二次方程的变形 对有些含有(或可转化)一元二次方程的代数问题,对方程进行适当变形并施以代换,则常常可使问题化繁为简。下面列举例子说明。 42例1已知是方程的两根,求的值. ,,3,xx,10222解:因为,是方程的根 , ?xx,10,10,,1422则, ,,,,,,,,(1)21121324所以, ,,,,,,33233()21 2又因为,是方程的两根, ,?,,,1xx,104 ,,,35?分析:如果要求出,的值,那么就很复杂,而且容易出错,在这里通过变形,的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率,
8、节省时间。 2例2 若,是一元二次方程的两个根,求 nmxx,,20007022 的值. (19996)(20018)mmnn,解:由题设得 22, mm,,200070nn,,200070mn,7mn,,2000及, 22 (19996)(20018)mmnn,?22= (200071)(200071)mmmnnn,,,,,,7200011992= ,,(1)(1)mn,,,mnmn()1分析:通过观察要求的结论可知,只要对要求的结论作一下变形,则这道题目便可以轻易解决,不必求出和n的值。 m22st,1t例3设实数s、分别满足,并且, 199910ss,,tt,,99190sts,41 的
9、值. 求t22解:由题设可得, 99(191)ss,,99(19)tt,,2ss191,两式相除,得, 2tt,1922由比例的基本性质,得 stsstt,,,191922整理得,即 1919stsstt,19(1)(1)ssttst,st,1ts,19因为,所以 2 2(191)4ss,,95ssts,41sss,,1941,,994ss,5 = ?19s19s19st19s22分析:通过仔细的观察可知只要对已知条件, 199910ss,,tt,,99190行变形,再利用比例的基本性质即可解决这道题。 总结:我们在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子
10、,他们之间有什么特点,然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题。特别是要灵活应用韦达定理:即如果x,x为方程12bc2的两个根,则,。在解这类题目时,axbxca,,0(0)xx,,xx,1212aa可以先从已知条件出发,也可以从结论入手。关键是要善于观察所要求式子的特点。 第三章 三角恒等变换技巧 三角学中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解
11、,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处。 三角变换的常见策略有:(1)发现差异;(2)寻找联系;(3)合理转换。概括起来就是:利用和、差、二倍角等三角公式实行各种转化,从而达到问题解决的目的。 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能。常用的数学思想方法技巧如下。 一、变“名” 三角变换的主要目的在于“消除差异,化异为同”,而题目中经常出现不同名称的三角函数,这就需要变“名”,即化异名函数为同名函数。变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式。 3 ,tan,1122sin,,sin,cos
12、,,2cos,例1: 已知,,求的值. tan,,13tan,2tan,2sin,cos,分析:由已知可得。 若由分别求出,的话可以解答,此题,但需要对分别在第一、三象限两种情形进行讨论,相当繁琐且运算量大,22sin,,sin,cos,,2cos,仔细阅读的话,发现这是一个关于正弦和余弦的齐次tan,式,倘若能把所求的式子转化为只含有的式子,则题目就相当容易解答了。,sin22sin,,cos,1联想所学过的公式知道,因此得到下面的简单解,tan,cos,法。 tan,2解析: 由已知可得 22,,sinsincos2cos22,sin,sincos,2cos,122,sin,sincos,
13、2cos, 22,sin,cos22,,tantan22228,225tan,,12,122sin,,sin,cos,,2cos,评析: 解答本题的关键是实施变“名”,即将化tan,成只含有的式子,从而快速解答。 二、变“角” 、求值中,题目中的表达式中往往会出现较多的相异角,根据角在三角化简与角之间的和差、二倍角、互补、互余,进行变“角”,即寻找已知条件与结论中角的差异,从而使问题获解.常见的变“角”方式有: ,2,4,2,3,? 是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;,224,3是的二倍;是的二倍;是的二倍; ,2,23624o30ooooo1545306045,?; 2()(),,,,
14、,(,,,),?; ,2,?; ,,(,)424,?. ,2,(,,),(,),(,,),(,)444 21,tan(,),tan(,),例2:已知,求的值. ,tan(,),5545,分析:已知角为,未知角,发现有 ,,,(,),(,),,,5555,,tan(,),tan(,),(,)成立,且问题便迎刃而解。 ,5,,解析:因为 ,,(,),(,),55,21,tan,,tan,,,35,54,所以 tan,,,21,22,1,1,tan,tan,545,评析:通过变角巧妙地解答了此题。 三、逆变 在进行三角变换时,顺着用公式较多,但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我
15、们快速开拓解题思路。 例3:求函数的周期及最大值. y,sinx,3cosx,1分析:要求的周期及最大值,一定要先将三角函数化成y,sinx,3cosx,1的形式才能够做出判断,联想逆用两角和的正弦公式即可得到,y,Asin,x,,解题思路。 ,13,y,sinx,3cosx,1,2sinx,cosx,1,2sinx,1解析: ,223,2,所以的周期为,最大值为3 y,sinx,3cosx,1评析:本题逆用两角和的正弦公式化简了式子,从而解答了此题。 四、“1” 的变换 在三角函数运算求值以及证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 22oo1,sin,,cos,
16、tan,cot,sin90,tan45. 14y,,例4:求的最小值. 22sinxcosx221,sin,,cos,分析:观察式子,有分母的结构我们联想到的代换有 5 222214sinx,cosx4(sinx,cosx)y,,,,2222 sinxcosxsinxcosx2222,5,cotx,4tanx,5,24tanx,cotx,9129(当且仅当tan时取等号),即函数的最小值是 ,2221,sin,,cos,评析:解答本题的关键是灵活应用了,从而巧妙解答了此题。 五、利用数学思想方法进行变换 三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容,无论是研究三角函数式的性质,或是三角函数式的
17、化简、求值和证明,都需要对三角函数式进行恒等变形,方法和技巧十分丰富,其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多数学思想方法,数学思想方法是数学知识在更高层次上的概括,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想方法主要有转化与化归思想、整体化思想、特殊与一般化思想等等,学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理,加强对数学思想方法的培养和训练,以及对数学思维品质的培养和训练。 ,ABCcosA,sinC, 例5:设锐角三角形的内角,求的取值范围( ABCB,65,cosA,sinC分析:由三角形的内角和定理可得, 要想求得 A,C,66的范围我们必须把用另
18、一个表示,即化成只有一个角的形式, 这样我们就A,C容易处理问题了。 ,CA,, 因为,所以,得解析:B,66,13,cosA,sinC,cosA,sin,A,cosA,sin,A,cosA,cosA,sinA,6622,A,3sin,,3,ABC 由为锐角三角形知 2, ,A,B,B,A,,2222633366 13,所以 sin,,A,232,3333,cosA,sinC由此,所以的取值范围为, ,3sinA,,,3,22232,评析:在三角恒等变换过程中,若能充分利用一些重要的数学思想和方法,能快速帮助我们找到解题思路,本小题主要考查的是利用两角和差公式思想求三角函数式的范围值。 六、结
19、构的变换 在三角函数变换过程中,认真观察题目,挖掘题目的隐含条件,充分把握题目的整体结构,有助于我们找到解题的思路。 0000cos20cos40cos60cos80例6:求的值. 000分析:表面上看,因为、都不是特殊角,想直接求出它们的值是不204080可能的,认真观察题目,从把握题目的整体结构入手的话我们可以看出式子结构上给人一种对称美、和谐美的感觉.由已知条件联想类比所学过的二倍角公式302sin202sin,cos,sin2,我们不妨通过设置辅助因子,于是我们找到了解题的思路。 0000cos20cos40cos60cos80解析: 1000cos20cos40cos80,23000
20、02sin20cos20cos40cos80,402sin20 20002sin40cos40cos80,402sin2000002sin80cos80sin160sin201,404040162sin202sin202sin20评析:凡是呈二倍角的余弦的连乘结构的题目,均可采用本题之方法。 总之, 解答三角恒等变换的题目的方法不拘泥,万变不离其宗,要注意灵活运用,要努力作到“三看”,即(1)看度数,把角尽量向特殊角或可计算角转化;(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式,如果满
21、足直接使用,如果不满足就转化下角或转换下名称就可7 以使用。 第四章 因式分解的常见变形技巧 在因式分解学习过程中,除要掌握教材上介绍的三种基本方法:提公因式,公式法,分组分解法外,还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后,这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。需要说明的是,要想熟练掌握这些技巧,还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。 一、系数变换 有些多项式,看起来可以用公式法,但不变形的话,则结构不太清晰,这时可考虑进行系数变换。 22例1:分解因式 4x-12xy+9y. 222解析:原式=(2x)-2(2x)(3y)+(3y)
22、=(2x-3y) 小结:系数变化常用于可用公式,但用公式的条件不太清晰的情况下。 二、指数变换 有些多项式,各项的次数比较高,对其进行指数变换后,更易看出多项式的结构。 44例2:分解因式x-y. 222422分析:把x看成(x),把y看成(y),然后用平方差公式。 2222222222解析:原式=(x)-(y)=(x+y)(x-y)=(x+y)(x+ y)(x-y) 小结:指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下,指数变化后更易看出各项间的关系。 三、展开变换 有些多项式已经分成几组了,但分成的几组无法继续进行因式分解,这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。 例3
23、:分解因式a(a+2)+b(b+2)+2ab. 22分析:表面上看无法分解因式,展开后试试:a+2a+b+2b+2ab然后分组。 222 解析:原式= a+2a+b+2b+2ab=(a+ b)+2(a+ b)=(a+ b)(a+b+2) 小结:展开变化常用于已经分组,但此分组无法分解因式,相当于重新分8 组。 四、添项变换 有些多项式类似完全平方式,但直接无法分解因式。既然类似完全平方式,我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。 2例4:分解因式x+4x-12. 分析:本题用常规的方法几乎无法入手,与完全平方式很像。因此考虑将其配成完全平方式再说。 2222解析:原式=x
24、+4x+4-4-12=(x+2)-16=(x+2)-4=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2) 小结:添项法常用于含有平方项,一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式,添项的基本目的是配成完全平方式。 3、第五单元“加与减(二)”,第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中,结合生活情境,学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程,进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法,并能正确计算;能根据具体问题,估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题,感受加减法与日常生活的密切联系。五、换元变换
25、 有些多项式展开后较复杂,可考虑将部分项作为一个整体,用换元法,结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式或者其它方法。 函数的取值范围是全体实数;例5:分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1. 分析:直接展开太麻烦,我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。 解析:原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 = (x+1) (x+4) (x+2) (x+3) +1 22=(x+5x+4) (x+5x+6) +1 * 7、课堂上多设计一些力所能及的问题,让他们回答,并逐步提高要求。2令x+5x=m. 上式变形为(m+4)(m+6)+1 2222m+10m+24+1=
26、(m+5)=(x+5x+5) 0 抛物线与x轴有0个交点(无交点);2*式也可以这样变形,令x+5x+4=m 2222原式可变为:m(m+2)+1=m+2m+1=(m+1)=(x+5x+5) 当a越大,抛物线开口越小;当a越小,抛物线的开口越大。小结:换元法常用于多项式较复杂,其中有几项的部分相同的情况下。如222上题中的x+5x+4与x+5x+6就有相同的项x+5x.,换元法实际上是用的整体的观点来看问题。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。第五章 结论 由于中学数学的改革及社会发展的需求,以及提高我们的应试能力和解决实际问题的能力,数学变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们
27、所喜爱,但9 是它并无一定之规,所以这就需要我们在平时的学习中加以运用和积累。本文对中学数学中的初等数学和代数中的一些变形技巧加以梳理、归类,利用大量的例子来阐述说明。这也无疑对我未来的中学教师生活起着指导性的作用,在中学数学中熟练掌握了基本的变形技巧,这会使你在解题时得心应手,甚至会提高你对数学的兴趣和增强对数学学习的信心。 我们在解数学题的过程中难免会遇到这样那样的问题,那么我们应该怎么样去解决才使问题变得简单易懂呢,从波利亚的“怎样解题”表中可知数学解题一般用四个步骤:第一、弄清问题.即要知道未知数是什么,已知数据是什么,条件是什么,然后拟定计划。第二、找出已知数和未知数之间的关系。如果
28、找不出直接的关系你可能不得不考虑辅助问题,最终得出一个求解计划。第三、实行你的计划。第四、验证所求的解。以上是解题的一般步骤。但是有时我们在解题的过程中应该注意,如果能利用变形技巧的我们应该利用。通过第三、四章中几种变形技巧的介绍,我们可以看出在解题过程中,如果善于利用变形技巧,则可以使许多问题化繁为简,化难为易。 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)变形技巧是数学解题的一种方法,变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。再次强调,变形属于技能性的知识,它需要在实践中反复操练才能把握,乃至灵活与综合应用。 参考文献: 1徐德义.一元二次方程变形的应用.初中数学教与学J,
29、2002,10:14-15 2董开福.中学数学教材分析(第一版)M.昆明:云南教育出版社,1999,1:45-56 3汪江松.高中数学解题方法与技巧M.武汉:湖北教育出版社,2006:17-22 4唐国庆.高中数学巧思精解专题训练M.长沙:湖南教育出版社,1993:29-31 5美.G.波利亚.怎样解题(中文版)M.北京:科学出版社,1982:2-5 6殷堰工.数学解题策略精编M.上海:上海科技教育出版社,1990:50-63 7朱德祥.方法、能力、技巧M.昆明:云南教育出版社,1989:87-99 8袁良佐.加“0”与乘“1”.中学生数学J,2002,6:15-23 致谢 10 集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。衷心感谢我的指导老师何艳老师,她渊博的数学知识,严谨科学的治学态度,精益求精的工作作风,一丝不苟、锲而不舍的精神,和对数学研究的独到见解,对我产生了深远的影响,使我终身受益。 =0 抛物线与x轴有1个交点;感谢她时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文,耐心的指导,耐心的指出需要修改的地方。衷心的感谢她的耐心指导,祝愿何艳老师身体健康,合家欢乐。 125.145.20加与减(三)4 P68-7411
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