最新数学建模试题及答案优秀名师资料.doc
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1、2004数学建模试题及答案1设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数: ,(p)f(p),(p),3p,4,f(p),kp,9其中为商品单价,试推导满足什么条件使市场稳定。 pk解:设Pn表示t=n时的市场价格,由供求平衡可知: ,(p),f(p) 2分 n,1n3p,4,kp,9n,1n35即: ,,ppnn,1kk3355,?(),,ppnn,2kkkk经递推有: 6分 n,1nn335()(),,,0p,n,1kkkp表示初始时的市场价格 03,1时,即0,k,3,则p收敛,即市场稳定若。 10分 当n?时:nk2某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa,人们计划用AA型植物与每种基 因型
2、植物相结合的方案培育后代(遗传方式为常染色体遗传),经过若干代后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?总体趋势如何? 依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为a,b,c,杂交n代后分别为an bn 000cn (向为白分手) 由遗传学原理有: ,aabc,,,,,000nn,1n,1n,1,1, 4分 babc,,,0,nn,1n,1n,12,1,cabc,,0nn,1n,1n,1,2Tx,(a.b.c)设向量 nnnnx,M,X nn,1,,000,1 式中 M,10,2,1,01,,2,nX,M,X递推可得: n0对M矩阵进行相似对角化后可得: 000,,1 ,00,2,00
3、1,其相似对角阵 100,,1p,2,10,p ,111,从而 ,nn1Mpp,100100, 1,,0n,2,10(),2101,2,,111111,,000,11nn,1n,1M ()()0,22,11n,1n,1,1()1()1,22,a,0n11n,n,11b,a(),b(),0n00 8分 2211n,n,11c,c,(1,(),a,(1,(),bn00022n,a,0,b,0,c,1当时,。 10分 nnn3试建立人口Logistic(逻辑)模型,并说明模型中何参数为自然增长率,为什么? 解:人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M,当前人口数量为N(t),r 为
4、比例系数。建立模型: dN(t)N(t),r,(1,),N(t) dtMN|,N 4分 t,00求解得到 Nm 6分 N(t),N,rtm1,(,1)eN0N(t)注意到当时,并说明r即为自然增长率。 10分 N(t),Mr,(1,),rM41968年,介壳虫偶然从澳大利亚传入美国,威胁着美国的柠檬生产。随后,美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来,DDT被普通使用来消灭害虫,柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料,DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果,介壳虫增加起来,澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 解:依据题意,设介壳虫的数量为x(t),澳洲瓢虫的数量为y(t)
5、,则有数模方程组: dx,ax,bxy,dt(1)式中a b c f均大于零。 4分 ,dy,cy,f,ydt,dxax,bxy解方程组(1) ,dy,cy,f,y(a,by)dyfx,c,dx得: yxalny,clnx,fx,by,k acfx,by,y,x,e,k ac,yx,k(3) fcby,ee式(3)给出一族封闭曲线,显然x(t)、y(t)即为以下为周期(T0)的周期函数,由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 T,11yx,(,c)dt则有 ,0TfyT,11xy,(a,)dt 6分 ,0Tbxccx=+lny(T)lny(0)=ff aay=+ln(T)ln(0)=bb,x(
6、t),y(t)当使用杀虫剂DDT后,设杀死介壳虫,澳洲瓢虫 dx,ax,x,bxy,(a,)x,bxy,dt 则有模型为:,dy,cy,y,fxy,(c,,)y,fxydt,,,ca,显然此时有: xyfb即介壳虫的数量增加,澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分 5根据水情资料, 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概 率为0.05,出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案: (1) 运走,需支付运费15万元。 (2) 修堤坝保护,需支付修坝费5万元。 (3) 不作任何防范,不需任何支出。 若采用方案(1),那么无论出现任何水情都不会遭受损失;
7、若采用方案(2),则仅当发生洪水时,因堤坝冲垮而损失400万元的设备;若采用方案(3),那么当出现平水水位时不遭受损失,发生高水水位时损失部分设备而损失200万元,发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件,选择最佳决策方案。 解:我们利用数学期望来评判方案的优劣: 运走 -15 不发生洪水0.95 -5 A -15 修坝 B 发生洪水0.05 -405 平水0.9 0 C 高水0.05 -200 洪水0.05 -400 E(A)=-15 2 E(B)=0.95(-5)+0.05(-405)= -25 5 E(C)=00.75+(-200)0.05+0.05(-400)=-30 8 所以-E(
8、A) -E(B) -E(C),因而A方案是最佳决策方案。 10 6某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的 柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示,如果生产出的柴油机当季不交货,每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元,建立一个数学模型(不要求求解),要求在完成合同的情况下,使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。 季度 生产能力(台) 三位成本(万元/台) 一 25 10.8 二 35 11.1 三 30 11.0 四 10 11.3 x解:设为第季度生产的用于第j季度交货的柴油机的台数,则由题意 : iijx=1011x+
9、x=151222 (3分) x+x+x=25132333x+x+x+x=2014243444又由生产能力的要求,有 x1044xx+303334 (6分) xxx+35222324xxxx+2511121314c再设表示第季度生产的用于第季度交货的每台柴油机的实际成本,其值如jiij下表: i1 2 3 4 j1 10.8 10.95 11.10 11.25 2 11.10 11.25 11.40 3 11 11.15 4 11.30 ba设表示第j季度的生产能力,表示第季度的合同供应量,则建立本问题模iji型: 44minzcx= ?ijijij=114s.tx?a?ijij=14x=b (
10、10分) ?ijji=1x?0ij7考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组 XX的四项指标为生长发育不良的比率;五项身体素质不及格的比01XX率;营养不良比率;患病比率,数据见下表: 23年龄 13 14 15 16 17 18 40.39 46.08 47.06 47.26 48.98 49.06 X 032.29 34.31 33.33 35.40 37.68 42.16 X 137.25 37.25 25.50 12.75 9.8 16.67 X 26.36 8.23 9.36 7.3 5.2 6.5 X3请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不
11、良影响大?分辨系数. ,0.5解: (1)进行初始化处理 40.3946.0847.0647.2648.98949.06X=(,)040.3940.3940.3940.3940.3940.39 (2分) =(1.,1.1409,1.1651,1.1701,1.2127,1.2147)同理得到 X=(1,1.0626,1.0322,1.0963,1.1669,1.3057)0 X及X, 32(5分) (2)利用公式 +X(k)X(k)X(k)X(k)minminmaxmax0i0iikiiki=(k) i+X(k)X(k)X(k)X(k)maxmax0i0iiki计算各个关联系数: =(1,0.
12、86,0.78,0.87,0.91,0.84) 1=(1,0.77,0.5,0.36,0.33,0.38) 2=(1,0.76,0.61,0.96,0.55,0.71) (8分) 3(3)计算关联度 n1r=k()利用公式得到 ?iik=1nr=0.763r=0.876r=0.558, 312X从而即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。(10分) 12004数学建模课程成绩分析 理学院 沈继红 这次考试面对的对象是三个班:03-1121,03-1131,03-1132,共有111人参加考试,课程为考查课。 1. 覆盖面情况分析 数学建模课程共讲授8章内容,其中第一章是数学建模
13、概述,考试中未出题,其它各章皆有试题。 数学建模课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题。由于数学系各专业的学生数学专业课相对滞后,因此,很多数学建模所需的知识未学,因此,在学生比较熟悉的初等模型与微分方程模型中出题比例较大;在学生以前未接触的第五章数学规划、第六章图论及第七章概率论与数理统计中,出了一道综合题。试卷共出7道题,具体分布如下: 内容 第二章:第三章:第四章:第五章数学规划、第六章第八章:灰初等模型 微分方程 数学规划 图论及第七章概率统计色系统理论 综合题 题目数 2 2 1 1 1 2. 难易程度分析 由于数学建模课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题,而客
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