最新数学百大经典例题——球(新课标)优秀名师资料.doc
《最新数学百大经典例题——球(新课标)优秀名师资料.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新数学百大经典例题——球(新课标)优秀名师资料.doc(14页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、典型例题一例1已知地球的半径为,球面上两点都在北纬45圈上,它们的球面距离为,点在东经30上,求点的位置及两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度分析:求点的位置,如图就是求的大小,只需求出弦的长度对于应把它放在中求解,根据球面距离概念计算即可解:如图,设球心为,北纬45圈的中心为,由两点的球面距离为,所以=,为等边三角形于是由,即=又点在东经30上,故的位置在东经120,北纬45或者西经60,北纬45 两点在其纬线圈上所对应的劣弧说明:此题主要目的在于明确经度和纬度概念,及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案典型例题二例2用两个平行平面去截半径为的球面,两个截面圆的半径为,两截面间的距离
2、为,求球的表面积分析:此类题目的求解是首先做出截面图,再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形,利用方程思想计算可得解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于,上述大圆的垂直于的直径交于,如图2设,则,解得说明:通过此类题目,明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题,进一步熟悉有关圆的基础知识,熟练使用方程思想,合理设元,列式,求解典型例题三例3自半径为的球面上一点,引球的三条两两垂直的弦,求的值分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联解:以为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个
3、长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径=说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算典型例题四例4试比较等体积的球与正方体的表面积的大小分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关系解:设球的半径为,正方体的棱长为,它们的体积均为,则由,由得,即说明:突出相关的面积与体积公式的准确使用,注意比较大小时运算上的设计典型例题五图1例5如图1所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切(1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小分析:此题的关键在于作
4、截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图2的截面图,在图2中,观察与和棱长间的关系即可解:如图2,球心和在上,过,分别作的垂线交于图2则由得,(1)设两球体积之和为,则 =当时,有最小值当时,体积之和有最小值典型例题六例6设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之比分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的解:如图,正四面体的中心为,的中心为,则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离,
5、第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离设,正四面体的一个面的面积为依题意得,又即所以说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径(为正四面体的高),且外接球的半径典型例题七例7把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2解:由题意,四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,则正四面体的高而第四个球的
6、最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个球的最高点与桌面的距离为说明:此类型题目对培养学生空间想象能力,并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助,且还可以适当增加一点实际背景,加强应用意识典型例题八例8过球面上两点作球的大圆,可能的个数是()A有且只有一个B一个或无穷多个C无数个D以上均不正确分析:对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时,可以作一个大圆;当三点共线时,可作无数个大圆,故选B答案:B说明:解此易选出错误判断A其原因是忽视球心的位置典型例题九例9球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过3个点的小圆的周长为,那么
7、这个球的半径为()ABCD分析:利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为,小圆的半径为,则,如图所示,设三点、,为球心,又,是等边三角形,同样,、都是等边三角形,得为等边三角形,边长等于球半径为的外接圆半径,答案:B说明:本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题,除了考查常规的与多面体综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点,是一道不可多得的好题典型例题十例10半径为的球内接一个各棱长都相等的四棱锥求该四棱锥的体积分析:四棱锥的体积由它的底面积和高确定,只需找到底面、高与球半径的关系即可,解决这个问题的关键是如何选取截面,如图所示解:棱锥底面各边相等,底面是菱
8、形棱锥侧棱都相等,侧棱在底面上射影都相等,即底面有外接圆底面是正方形,且顶点在底面上的射影是底面中心,此棱锥是正棱锥过该棱锥对角面作截面,设棱长为,则底面对角线,故截面是等腰直角三角形又因为是球的大圆的内接三角形,所以,即高,体积说明:在作四棱锥的截面时,容易误认为截面是正三角形,如果作平等于底面一边的对称截面(过棱锥顶点,底面中心,且与底面一边平行),可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形,但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形可见,解决有关几何体接切的问题,如何选取截面是个关键解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长(或高或某个截面内的元素)与球半径的关系,再进一步求解典型例
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 数学 经典 例题 新课 优秀 名师 资料
链接地址:https://www.31doc.com/p-1489635.html