最新数学高考分类汇编解答题(文)04——函数与导数优秀名师资料.doc
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1、2011年数学高考分类汇编解答题(文)04函数与导数04 函数与导数 321. (天津文)19(本小题满分14分)已知函数,其fxxtxtxtxR()4361,,,,,中( tR,(?)当时,求曲线在点处的切线方程; yfx,()(0,(0)ft,1(?)当时,求的单调区间; fx()t,0(?)证明:对任意的在区间内均存在零点( tfx,,,(0,),()(0,1)【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 322, (?)解:当时, t,1fxxxxffxxx()43
2、6,(0)0,()1266,,,,, 所以曲线在点处的切线方程为 f(0)6.,yfx,()(0,(0)fyx,6.t22, (?)解:,令,解得 fxxtxt()1266,,,fx()0,xtx,或.2因为,以下分两种情况讨论: t,0t, (1)若变化时,的变化情况如下表: fxfx(),()ttx,0,则当2x ,,,t,tt,, ,t,22,+ - + , fx()fx()tt, 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是。 fx(),,,;()tfx,t,,22,t, (2)若,当变化时,的变化情况如下表: xfxfx(),()tt,0,则2x,t tt,, ,t,,,22,+ - +
3、, fx()fx()tt, 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是 fx(),,,;()tfx,t,.,,22,04 函数与导数 (文) 第1页(19) tt, (?)证明:由(?)可知,当时,在内的单调递减,在内t,0fx()0,,,22,单调递增,以下分两种情况讨论: t (1)当时,在(0,1)内单调递减, fx(),1,2即t22 ftftt(0)10,(1)643644230.,,,,,所以对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,,,2,),()ttt, (2)当时,在内单调递减,在内单调递增,fx()0,101,02,即t,222,177,33若 tfttt,,,(0,1,1
4、0.,244,2 fttttt(1)643643230.,,,,,,,t, 所以内存在零点。 fx(),1在,2,t77,33 若 tfttt,,,,,(1,2),110.,,244,ft(0)10,t, 所以内存在零点。 fx()0,在,2,所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,(0,2),()综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,,,(0,),()2. (北京文)18(本小题共13分) x 已知函数. fxxke()(),(?)求的单调区间; fx()(?)求在区间0,1上的最小值. fx()【解析】(18)(共13分) 3, 解:(?) f(x),(x,k,1
5、)e.,, 令fx,0,得(x,k,104 函数与导数 (文) 第2页(19) , 与的情况如下: f(x)f(x)() (,k,k(k,1,,,)x k,1, f(x) 0 + k,1 f(x),e? ? 所以,的单调递减区间是();单调递增区间是 f(x),k,1(k,1,,,)(?)当,即时,函数在0,1上单调递增, k,1,0k,1f(x)所以(x)在区间0,1上的最小值为 f(0),k;f当时, 0,k,1,1,即1,k,2由(?)知上单调递减,在上单调递增,所以在区间0,fxk()0,1在,(1,1k,fx()k,11上的最小值为; fke(1),当时,函数在0,1上单调递减, k
6、tk,1,2即fx()所以在区间0,1上的最小值为 fx()fke(1)(1).,3. (全国大纲文)21(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) (32已知函数fxxaxaxaaR()3(36)124,,, ,(I)证明:曲线处的切线过点(2,2); yfxx,()0在(II)若处取得极小值,求a的取值范围。 fxxx()在,x,(1,3)002【解析】21(解:(I) fxxaxa()3636.,,,2分 由得曲线处的切线方程为 yfxx,()0在fafa(0)124,(0)36,由此知曲线处的切线过点(2,2) 6分 yfxx,()0在2 (II)由 fxxaxa()02120.
7、,,,得(i)当没有极小值; ,2121,()afx时(ii)当得 aafx,2121,()0或时由04 函数与导数 (文) 第3页(19) 22 xaaaxaaa,,,,,21,21,122故由题设知 xx,.1213.,,,aaa022时,不等式无解。 当a,211213,,,aaa52当时,解不等式 a,21121321.,,,aaaa得25综合(i)(ii)得a的取值范围是 12分 (,21).,24. (全国新文)21(本小题满分12分) axbln 已知函数,曲线在点处的切线方程为yfx,()(1,(1)ffx(),,xx,1( xy,,230(I)求a,b的值; lnx (II)
8、证明:当x0,且时,( x,1fx(),x,1【解析】(21)解: x,1,(ln),xbx (?) fx(),22(1)xx,f(1)1,1, 由于直线的斜率为,且过点,故即 xy,,230(1,1),12f(1),2b,1, 解得,。 a,1b,1,a1,b,22ln1x (?)由(?)知,所以 f()x,,xx,12x,1xln1 fx,x, ()(2ln)2x,x,x112x1,考虑函数,则 hxx()2ln,,(0)x,x2222x,(x,1)2(x,1), h(x),22xxx,所以当时,h(x),0,而h(1),0,故 x,104 函数与导数 (文) 第4页(19) 1当时, x
9、,(0,1)h(x),0,可得h(x),0;21,x1当时, x,(1,,,)h(x),0,可得h(x),0;21,xlnxlnx从而当 x,0,且x,1,f(x),0,即f(x),.x,1x,15. (辽宁文)20(本小题满分12分) 2设函数=x+ax+blnx,曲线y=过P(1,0),且在P点处的切斜线率为2( f(x)f(x)(I)求a,b的值; (II)证明:?2x-2( f(x)b,【解析】20(解:(I) 2分 fxax()12.,,xfa(1)0,10,,,由已知条件得 即,fab(1)2.122.,,,解得 5分 ab,1,3.2 (II),由(I)知 fx()(0,)的定义
10、域为,,fxxxx()3ln.,,2设则 gxfxxxxx()()(22)23ln,,3(1)(23)xx,,, gxx()12.,,,xx,当时当时01,()0;1,()0.,xgxxgx 所以在单调增加在单调减少gx()(0,1),(1,).,,而 12分 gxgxfxx(1)0,0,()0,()22.,故当时即6. (江西文)20(本小题满分13分) 132 设 fxxmxnx().,,3(1)如果处取得最小值-5,求的解析式; gxfxx()()23x2,在f(x)(2)如果的单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的mn10(m,nN),f(x),,值;(注;区间(a,b)的长度为b-
11、a) 【解析】20(本小题满分13分) 222解:(1)由题得 gxxmxnxmnm()2(1)(3)(1)(3)(1),,,,,,,,,已知处取得最小值-5 gxx()2在,04 函数与导数 (文) 第5页(19) m,12,所以,即 mn,3,2,2(3)(1)5nm,132即得所要求的解析式为 fxxxx()32.,,32(2)因为的单调递减区间的长度为正整数, fxxmxnfx()2,(),,且故一定有两个不同的根, fx()0,22从而, ,440mnmn即2不妨设为为正整数, xxxxmn,|2则,1221故时才可能有符合条件的m,n m,2当m=2时,只有n=3符合要求 当m=3
12、时,只有n=5符合要求 当时,没有符合要求的n m,4综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求。 7. (山东文)21(本小题满分12分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆80,柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且(假lr?23设该容器的建造费用仅与其表面积有关(已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(设该容器的建造费用为千元( cc(3),y(?)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域; ry(?)求该容器的建造费用最小时的( r【解析】21(解:(I)设容器的容积为V, 480,
13、23由题意知 ,,,又VrlrV,3343,Vr8044203故 ,lrr()222rrr333,由于 lr,2因此 02.,r42022所以建造费用 ,,,,,,,yrlrcrrrc2342()34,23r160,2因此 ,,,ycrr4(2),02.,r1608(2)20,c,3 (II)由(I)得 ycrrr8(2)(),02.,22rrc,2由于 cc,3,20,所以04 函数与导数 (文) 第6页(19) 202033当 rr,0,.时cc,22203令 ,m,则c,28(2),c,22所以 yrmrrmm()().,,2r9 (1)当时, 02,mc即2当r=m时,y=0;当r(0
14、,m),时,y0.所以是函数y的极小值点,也是最小值点。 rm,9 (2)当即时, m,23,c2当函数单调递减, ry,(0,2),0,时所以r=2是函数y的最小值点, 9综上所述,当时,建造费用最小时 r,2;3,c22093当时,建造费用最小时 r,.c,c,228. (陕西文)21(本小题满分14分) ,设。 fxxgxfxfx()ln.()()(),,(?)求的单调区间和最小值; gx()1(?)讨论与的大小关系; gx()g()x1(?)求的取值范围,使得,对任意,0成立。 axgagx()(),a1【解析】21(解(?)由题设知, fxxgxx()ln,()ln,,xx,1,?令
15、0得=1, xgx(),gx(),2x,当?(0,1)时,,0,故(0,1)是的单调减区间。 xgx()gx(),当?(1,+?)时,,0,故(1,+?)是的单调递增区间,因此,=1xxgx()gx()是的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 gx()g(1)1.,04 函数与导数 (文) 第7页(19) 1(II) gx()lnx,,x2(1)x,11,设,则, hx(),hxgxgxx()()()2ln,,2xxx1当时,即, h(1)0,x,1gxg()(),x,当时, x,,,(0,1)(1,)h(1)0,因此,在内单调递减, (0,),,hx()当时, hxh()(1
16、)0,01,x1即 gxg()().,x当 x1,()(1)0,时hxh1 即gxg()(),x(III)由(I)知的最小值为1,所以, gx()11,对任意,成立 x,0gagx()(),ga()1,aa即从而得。 ln1,a,0,aexx9. (上海文)21(14分)已知函数,其中常数满足。 fxab()23,,,ab,0ab,(1)若,判断函数的单调性; fx()ab,0(2)若,求时折取值范围。 xfxfx(1)(),,ab,0【解析】21(解:? 当时,任意,则ab,0,0xxRxx,1212xxxx1212 fxfxab()()(22)(33),,,12xxxxxxxx121212
17、12? , 22,0(22)0,aa33,0(33)0,bb? ,函数在上是增函数。 Rfxfx()()0,fx()12当时,同理,函数在R上是减函数。 ab,0,0fx()xx? fxfxab(1)()2230,,,,04 函数与导数 (文) 第8页(19) a3ax当时,则; ab,0,0x,log()(),1.52b22ba3ax当时,则。 ab,0,0x,log()(),1.52b22b10. (四川文)22(本小题共l4分) 21已知函数,( hxx(),fxx(),,3222(?)设函数F(x),18f(x),xh(x),求F(x)的单调区间与极值; 33(?)设,解关于x的方程;
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