最新新编函数极限与导数——高中数学基础知识与典型例题优秀名师资料.doc
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1、2016新编函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题* 数学基础知识与典型例题(函数极限与导数) 时该命题成立,那么可推得当例1. 某个命题与正整数有关,若当n,k(k,N) k,1n,5时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得 ( ) n, n,6n,6(A)当时,该命题不成立 (B)当时,该命题成立 n,4n,4(C)当时,该命题成立 (D)当时,该命题不成立 n,2 1,a2n,1n,1例2. 用数学归纳法证明:“”在验证时,左端1,a,a,?,a,(a,1) 知1,a 223识1,a计算所得的项为 ( ) (A)1 (B) (C) (D) 1,a,a1,a,a,a 网 112
2、 21n,例3. 等于( ) (A)2 (B),2 (C), (D) lim2 n,22n,2 例4. 等差数列中,若存在,则这样的数列( ) LimSnn, (A)有且仅有一个 (B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在 数学11例5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在 lim(1)nnn,,归n,32 纳nn22,A例6. 若,则( ) Aaaa,,?(2),,,xaaxaxax? n1(数学归纳法: nn12012nlim,法 ,n83,A n(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法. 、数1111 (A) (B) (C) (D) 归纳法包
3、含不完全归纳法和完全归纳法. ,列 31148?不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. nn的数例7. 在二项式和的展开式中,各项系数之和记为是正整abn,(13),x(25)x,?完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 nn极学数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. ab,2nn数,则= . 限归lim(2)数学归纳法步骤: ,n34ab,nn与纳?验证当取第一个时结论成立; nPn()n100例8. 已知无穷等比数列的首项,公比为,且,运,qaa,N法 ,N,S,a,a,?,an1n1
4、2n,nk,nk,,1?由假设当()时,结论成立,证明当时,结论成立; Pk()qPk(1),kNkn,?0算 、 且,则 _ . limS,3a,a,n12根据?对一切自然数时,都成立. nn?Pn()数n,0列12.数列的极限 例9. 已知数列前n项和, 其中b是与n无关的常数,且0aSba,,,1nnnn的,b(1)(1)数列的极限定义:如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数(即anaa,nn极limS,limS,b,1,若存在,则_( nna无限地接近于),那么就说数列以为极限,或者说是数列的极限.记为aa,aa,a,限n,n,nnn与1limaa,或当时,aa,. n
5、,nn,n例10. 若数列a的通项an,21,设数列b的通项,又记T是数b,,1nnnnn运anlim,limaabb,ab(2)数列极限的运算法则: 如果、的极限存在,且, ,算 nnnn,nnb列的前n项的积( naa那么; nlim()abab,lim();abab,nnnnlim(0),b,nnTTTT(?)求,的值;(?)试比较与的大小,并证明你的结论( ,nabb132nn,1n特别地,如果C是常数,那么. lim()limlimCaCaCa,nn,nnn ,aCk,Na,k?几个常用极限: ?(为常数)?(均为常数且) limCC,lim0,kn,n,n (q1)=1 ? nli
6、m0(1)qq=不存在 aqa?首项为,公比为()的无穷等比数列的各项和为. q,1例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5. C 将分子局部有理化,原式lim,S1nn,1,q18n11=例6.A例7. 例8. 例9.1 例10(见后面) 注:?并不是每一个无穷数列都有极限. ,limlim23nn,2,nn11 ?四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. ,11n第1页 第2页 1.函数的极限 12,11 例11.lim,的值等于()()()0()()ABCD,不存在, 2x,(1) 函数的六种极限定义: 122xx,11, lim()fxa,?的意义是当自变量取
7、正值并且无限增大时,无限趋进于一个常数; xfx()a111,,xx,,, 例12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0 lim, x,0?的意义是当自变量取负值并且绝对值无限增大时,无限趋进于一个常数; xalim()fxa,fx()2xx, 2axbx,1lim()lim(),lim()fxafxfx,?都存在,且等于; a 例13. 已知,则b的值为 ( ) (A)4 (B),5 (C),4 (D)5 lim3,xxx,,,x,1 x,1?的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数(但不xx,xx,xxlim()fxa, 000,例14. 极限存在是函数在点处连续的( ) li
8、m()fxxx,fx()xx,00xx, 0等于)时,如果函数无限趋近于一个常数; xfx()a(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 0x 函?的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数(但不等于lim()fxa,xx,xx,xxex 0,000,xx,例15. 如果是连续函数,则等于( ) afx(), 0,数xax, 0? ,)时,如果函数无限趋近于一个常数; xafx()的0函(A),1 (B)0 (C)1 (D)2 极?的意义是当自变量无限趋近于常数(但不等于)时,如果函数无限xxxfx()lim()fxa,00数fx(),x
9、x,限0x,1例16. 设函数在处连续,且,则等于( ) f(x)f(1)lim,2x,1的x,1趋近于一个常数; 注: ,都存在,且等于; aalim()fx及lim()fxlim()fxa,,,xx,xx,xx,000极0 (A),1 (B) (C)1 (D)2 函(2)函数极限的运算法则: 如果,存在,且, lim()fxlim()gxlim()fxa,lim()gxb,限1,xx,xx,xx,xx,数0000(1)x,及,fxa()x的那么,.这些法则对于其他情况仍然成立. lim()()fxgxab ,lim()()fxgxab,lim(0),b,例17.函数在x=1处不连续是因为(
10、 ) xx,xx,函xx,000gxb()连fxx()0(1),数?几个常用极限: 续,xx(1),的1,xxxsinx性 ?;?(0,1);(,1)? aalim0a,lim0a,lim0,lim1,lim1,,,xx,连n,x,0x,0xsinxxlimlimlimlim(A)f(x)在x=1处无定义 (B)f(x)不存在(C)f(x)?f(1)(D)f(x)?f(x) ,,续n,1n,12.函数的连续性: n,1n,1性 1,x(1)定义:如果函数在点处及其附近有定义,而且,就说函数在点处连续. xyfx,()xx,fx()lim()()fxfx,000fx(),例18. 为使函数在处连
11、续,则定义_. f(),1xx,x,1021,x(2)函数在点处连续的充要条件是.注:等式的含义yfx,()xx,lim()()fxfx,lim()()fxfx,000nxx,xx,001,x*例19. 设若函数fx()lim,则的定义域为 . fx()nN,lim()fx有三点:?在点处及其附近有定义; ?存在; xx,fx()n,0nxxx,0axbxsin,0,,?在点x处的极限值等于这一点的函数值fx(). fx()00,fxx()0,0,lim()fx例20. 已知,当a,b取值何值时,存在,其值,(3) “ 函数在点x处不连续”就说的图象在点xx,处间断. yfx,()yfx,()
12、00x,0,cos1,0xx,,(4) 函数在区间上连续: yfx,(),?若函数在开区间内每一点处连续,就说函数在开区间yfx,()(,)abyfx,()为多少. 内连续; ?若函数在开区间内每一点处连续,并且(,)abyfx,()(,)ab lim()()fxfa,lim()()fxfb,ab,就说函数在闭区间上连续. yfx,(), ,,xa,xb, (5)初等函数在其定义域内每一点处都连续. ab,(6) 连续函数的性质:闭区间上的连续函数的图象是坐标平面上的一条有始fx(), 点(,()afa和终点(,()bfb的连续曲线.它有如下性质: ?(最大值和最小值定理)若是闭区间上的连续函
13、数,则在闭区间上有最大、最小值. ab,ab,fx()fx(), ab,fafb()()0,?零点定理:若fx()是闭区间上的连续函数,且,则方程fx()0,在区间, (,)ab上至少有一个实数解. 121211111x,例11. ,1.lim.而选C,2fx(),ab?介值定理:设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同函数值,x,1,,,,xxxxxxxx111111112,CfaAfbB(),(),AB,(,)ab,那么对于之间任意的一个数,在开区间内至少有1例12.A 例13.B 例14B.例15.C 例16.B 例17.C例18. 例19. (例20(见后面) ,,,1)1,):b
14、,afC(),一点,使得(,). 2第3页 第4页 1.曲线的切线和切线的斜率: 5.几种常见函数的导数: 曲线在点处的切线,是指曲线上点的邻近点沿曲线逐渐向PPxy(,)Q(,)xxyy,,,,nn,10000,? ? ?; ?; C,0;(sin)cosxx,(cos)sinxx,xnx;,, PQ点接近时,割线的极限位置所在的直线. P 11xxxx,y,?; ?; ?. lnx,oxe,lglog()lnaaa,();ee, ,aa根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即. tanlim,k=,xx ,x0,x,6.可导法则: ? 推广:; ()uvuv,yfxfxfxyfxf
15、xfx,,,,()().()()().() 1212nn,s,t 2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻的临近时间间隔内的平均速度(=),当 vvt,uvuvu,C?;?(为常数);?复合函数求导 ,()uvvuvu,,,()CuC,tyy,(0)vxx, ,2vv, ,s注:? 必须是可导函数. ?若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均uv,t0时, 的极限值叫做物体在时刻的速度,也叫瞬时速度.即 limvv,vt ,t0,t不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 3.导数的定义: 22 x,0例如:设,则在处均不可导,但它gxx()cos,fxx()2sin,,y
16、fxgx(),(),x设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引xxxyfx,()00 xxfxxfx()(),,y 00起相应的增量;比值称为函数在点,,,yfxxfx()()yfx,()sincosxx,x,0们和在处均可导. ,00fxgx()(),,xx 7.导数的运用: fxxfx()(),,y 00到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数xxx,,limlim,00?判断函数在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数在某个区间内可导,如果fx()yfx,(),xx00,xx 导?,则为增函数; 如果则为减函数;如果,则为常数函数. ,fx()fx()0,fx()fx
17、()fx()0,fx()0,在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,y|xxfx()yfx,()yfx,()数 xx,00003导注:? 是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有(,),,,fx()0,yx,2fxxfx()(),,y00,即=. fx()limlim,0数 ,有一个点例外即x=0时,同样也是f(x)递减的充分非必要条件. ,xxfx()0,fx()0,00fx()0,xx,?一般地,如果在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区fx()由定义可知函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处xPxy(,)yfx,()yfx,()0
18、00间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. ,的切线的斜率. 也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方(,()xfxfx()yfx,()00?函数的极值: ,程为 yyfxxx,()().00一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有的点,都有,则xxyfx,()fxfx()(),fx()0000,x,x注:?是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零. 是的一个极大值;如果对附近的所有的点,都有,则是的一个极小值. xfxfx()(),fx()fx()fx()000?函数yfx,()在点处连续与点处可导的关系: xx00注:?求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数
19、为0的点. yfx,()?函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. xxyfx,(),若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点xxfx()fx()0000是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 可以证明,如果在点处可导,那么点处连续. xxyfx,()yfx,()003x,0例如:函数,使=0,但不是极值点.又例如:函数,在,x,0fx()yfxx,()|yfxx,(),x0事实上,令xxx,,,,则xx,相当于. 00x,0x,0点处不可导,但点是函数的极小值点. lim()lim()lim()()()fxfxxfxxfxfx,,,,,,
20、于是 0000xxxx,00?当函数在点x处连续时, fx()00fxxfx()(),,fxxfx()(),,00. 00,xfx()(?)如果在附近的左侧,0,右侧,0,那么是极大值; fx()fx(),,lim()xfx,,,,,limlimlim()()0()()fxfxfxfx0000000,x0,xxx000,x,x,xfx()(?)如果在附近的左侧,0,右侧,0,那么是极小值. fx()fx()00xx?如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的. yfx,()yfx,()00,xx也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0. 此外,函数不可导fx()00,yx| ,x,
21、0x,0例:在点处连续,但在点处不可导,因为, fxx()|,的点也可能是函数的极值点.00,xx当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(因,y,y,y为函数在某一点附近的点不同). ,x,x,1,1lim当,0时,;当,0时,故不存在. ,x0?,0不能得到当x=x时,函数有极值判断极值,还需结合函数的单调性说明;但是,当x=x,x,x,xfx()000 4.导函数: ,时,函数有极值 ,0 ,fx()0函数yfx,()在开区间(,)ab内每一点处的导数都存在,就说fx()在(,)ab内可导,其导数xx?函数的最值: 函数yfx,()在区间上如果存在,
22、若使得对区间内任意都有,则fxfx()()?00,fx()也是(,)ab内的函数,这一新函数叫做fx()在开区间(,)ab内的导函数,记作或y(需指明fx()fx()x叫最小值; 若使得对区间内任意都有,则叫最大值; fxfx()()?000,y自变量时记作) xab,ab,注: ?一般地, 闭区间yfx,()上的连续函数在上必有最大值与最小值. ,xx,fx()xfx()fx()yfx,() 函数的导函数在时的函数值就是在点处的导数. 000?极值与最值不是同一个概念. 极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行 比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立. 注:?可
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