最新新课标三维人教A版数学选修2-2++1++++合情推理与演绎推理优秀名师资料.doc
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1、2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理 合情推理与演绎推理 2(1.1 合情推理 预习课本P70,77,思考并完成下列问题 (1)归纳推理的含义是什么,有怎样的特征, (2)类比推理的含义是什么,有怎样的特征, (3)合情推理的含义是什么, 新知初探 1(归纳推理和类比推理 点睛 (1)归纳推理与类比推理的共同点:都是从具体事实出发,推断猜想新的结论( (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的,结论不一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠,因此不一定正确( 2 ( 合情推理 版权所
2、有:中国好课堂 小试身手 1(判断(正确的打“?”,错误的打“”) (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理( ) 答案:(1)? (2) (3)? 2(由“若a,b,则a,c,b,c”得到“若a,b,则ac,bc”采用的是( ) A(归纳推理 C(类比推理 答案:C 3(数列5,9,17,33,x,?中的x等于_( 答案:65 B(演绎推理 D(数学证明 典例 (1)a,b,1,a2,b2,3,a3,b3,4,a4,b4,7,a5,b5,11,?,则a10,b10,(
3、 ) A(28 B(76 C(123 (2)已知f(x),D(199 xf1(x),f(x),fn(x),fn,1(fn,1(x)(n,1,且n?N*),则f3(x)的表1,x 达式为_,猜想fn(x)(n?N*)的表达式为_( 解析 (1)利用归纳法:a,b,1,a2,b2,3,a3,b3,3,1,4,a4,b4,4,3,7,a5,b5,7,4,11,a6,b6,11,7,18,a7,b7,18,11,29,a8,b8,29,18,47,a9,b9,47,29,76,a10, b10,76,47,123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和( (2)?f(x),xx?f1(x),1,x
4、1,x 又?fn(x),fn,1(fn,1(x), x 1,xx?f2(x),f1(f1(x),, x1,2x1,1,x x 1,2xxf3(x),f2(f2(x),, x1,4x1,21,2x 版权所有:中国好课堂 x1,4xxf4(x),f3(f3(x),, x1,8x1,41,4x x 1,8xxf5(x),f4(f4(x),, x1,16x1,81,8x ?根据前几项可以猜想fn(x), 答案 (1)C (2)f3(x), 1(已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律; (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式
5、的特征; (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点; (4)运用归纳推理得出一般结论( 2(数列中的归纳推理 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项 和( (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和; (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解; (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式( 活学活用 1(观察下列等式: x. ,1,2n1xxx fn(x), ,1,4x1,2n1x ?sin ?,2,?sin 2?,2,412; 3?3?3 ?sin ?,2,?sin 2?,2,?sin 3?,2,?sin 4,223; 5?5?5?5?3 ?sin
6、 ?,2,?sin 2?,2,?sin 3?,2,?,?sin 6?,2,434 ; 7?7?7?7?3 ?sin ?,2,?sin 2?,2,?sin 3?,2,?,?sin 8?,2,445; 9?9?9?9?3 ? 照此规律, ?sin ?,2,?sin 2,2,?sin 3?,2,?,?sin 2n,2,_. 2n,1?2n,1?2n,1?2n,1? 44解析:通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后面第一个数是33 版权所有:中国好课堂 4等式左边最后一个数括号内角度值分子中后面第二个数是第一个数的下3 44一个自然数,所以,所求结果为n(n,1),即n(n,1)(
7、33 4答案:n(n,1) 3 2(已知数列an的前n项和为Sn,a1,3,满足Sn,6,2an,1(n?N*)( (1)求a2,a3,a4的值( (2)猜想an的表达式( 解:(1)因为a1,3,且Sn,6,2an,1(n?N*), 3所以S1,6,2a2,a1,3,解得a2,, 2 又S2,6,2a3,a1,a2,3,a3, 24 33又S3,6,2a4,a1,a2,a3,3, 24 3解得a4. 8 33333(2)由(1)知a1,3,a2,a3,, 22242333a4,?,猜想an(n?N*). 822 典例 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱
8、形纹的正六边形的个数是( ) A(26 B(31 C(32 D(36 解析 有菱形纹的正六边形个数如下表: 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为 首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6,5(6,1),31.故选B. 答案 B 版权所有:中国好课堂 利用归纳推理解决几何问题的两个策略 (1)通项公式法:数清所给图形中研究对象的个数,列成数列,观察所得数列的前几项,探讨其变化规律,归纳猜想通项公式( (2)递推公式法:探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系,把各图形中研究对象的个数看成数列,列出递推公式,再求通项公式( 活学活用
9、1(用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A(6n,2 C(6n,2 B(8n,2 D(8n,2 解析:选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an,6n,2. 2(陕西高考)观察分析下表中的数据: 猜想一般凸多面体中F ,V,E所满足的等式是_( 解析:三棱柱中5,6,9,2;五棱锥中6,6,10,2;立方体中6,8,12,2,由此归纳可得F,V,E,2. 答案:F,V
10、,E,2 典例 如图所示,在?ABC中,射影定理可表示为a=b?cos C+c?cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想( 版权所有:中国好课堂 解 如图所示,在四面体P-ABC中,S1,S2,S3,S分别表示?PAB,?PBC,?PCA,?ABC的面积,依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大小( 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1?cos +S2?cos +S3?cos . 1(类比推理的步骤 (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)( (2)用一类对象的性质去推测另一类
11、对象的性质,从而得出一个猜想( (3)检验这个猜想( 2(平面图形与空间图形类比如下 活学活用 ?1? 1(在?ABC中,D为BC的中点,则AD(AB+AC),将命题类比到 四面体中去, 2 得到一个命题为:_. 解析:平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心,顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线( ?1? 答案:在四面体A-BCD中,G是?BCD的重心,则AGAB+AC+AD) 3 2(在Rt?ABC中,若?C,90?,则cos2A,cos2B,1,在空间中,给出四面体性质的猜想( 解:如图,在Rt?ABC中, 版权所有:中国好课堂 b?2?a?2a,bcosA,cosB,?c?,?c
12、?,c1. 2222 于是把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想,三棱锥P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为,则cos2,cos2,cos2,1. 层级一 学业水平达标 1(观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. C. B(? D(? 解析:选A 观察可发现规律:?每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,?每行、每列有两阴影一空白,即得结果( 2(下面几种推理是合情推理的是( ) ?由圆的性质类比出球的有关性质;?由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180?,归纳出所有三角形的内角和都是180?;?教室内有
13、一把椅子坏了,则猜想该教室内的所有椅子都坏了;?三角形内角和是180?,四边形内角和是360?,五边形内角和是540?,由此得出凸n边形的内角和是(n,2)?180?(n?N*,且n?3)( A(? C(? B(? D(? 解析:选C ?是类比推理;?是归纳推理,?都是合情推理( 3(在平面上,若两个正三角形的边长的比为1?2,则它们的面积比为1?4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1?2,则它们的体积比为( ) A(1?2 C(1?8 B(1?4 D(1?16 解析:选C 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体
14、的棱长的比为1?2,则它们的体积之比为1?8. 4(类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性 质,可推出下列空间结论: ?垂直于同一条直线的两条直线互相平行;?垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ?垂直于同一条直线的两个平面互相平行;?垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其 版权所有:中国好课堂 中正确的结论是( ) A(? C(? B(? D(? 解析:选B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知,?是正确的结论( ,2265371105(,2,2,22,46,45,43,47,41,410,4,2,4 ,2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ) 8,nnA
15、.,2 n,4(8,n),4 n,1(n,1),5B.,2 (n,1),4(n,1),4 n,4nC.,2 n,4(n,4),4 n,1n,5D.,2 (n,1),4(n,5),4 解析:选A 观察发现:每个等式的右边均为2,左边是两个分数相加,分子之和等于8,分母中被减数与分子相同,减数都是4,因此只有A正确( 6(观察下列等式 1,1 2,3,4,9 3,4,5,6,7,25 4,5,6,7,8,9,10,49 照此规律,第n个等式为_( 解析:观察所给等式,等式左边第一个加数与行数相同,加数的个数为2n,1,故第n行等式左边的数依次是n,n,1,n,2,?,(3n,2);每一个等式右边的
16、数为等式左边加数个数的平方,从而第n个等式为n,(n,1),(n,2),?,(3n,2),(2n,1)2. 答案:n,(n,1),(n,2),?,(3n,2),(2n,1)2 7(我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是_( 解析:平面图形与立体图形的类比:周长?表面积,正方形?正方体,面积?体积,矩形?长方体,圆?球( 答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和球中,球的体积最大 8(如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME,7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(
17、乙)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1,A1A2,A2A3,?,A7A8,1,如 版权所有:中国好课堂 果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,?,OAn,?的长度构成数列an,则此数列an的通项公式为an,_. 解析:根据OA1,A1A2,A2A3,?,A7A8,1和图(乙)中的各直角三角形,由勾股定理, 可得a1,OA1,1,a2,OA2,OA1,A1A2,1,1,2,a3,OA3,OA2,A2A3,2)2,12,3,?,故可归纳推测出an,n. n 9(在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,?,由此猜想凸n边形有几
18、条对角线, 解:因为凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条,?,于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n,1)边形多(n,2)条对角线,由此凸n边形的对角线条数为2,3,4,5,?,(n,2),由等差数 1列求和公式可得n(n,3)(n?4,n?N*)( 2 1所以凸n边形的对角线条数为n(n,3)(n?4,n?N*)( 2 10(已知f(x),x,分别求f(0),f(1) ,f(,1),f(2),f(,2),f(3),然后归纳猜想3,3 一般性结论,并证明你的结论( 解:f(x),1, 3x,3 113,1, 333,330所以f(0
19、),f(1), f(,1),f(2), f(,2),f(3),1132,, 3,33,33,1113,. ,32,333,3 33归纳猜想一般性结论;f(,x),f(x,1), 证明如下:f(,x),f(x,1),11x,1 3,333,x 3x3?3x11,xx,1x,1 ,x,11,3?33,33,33,3 版权所有:中国好课堂 3?3x,13?3x,13,. ,3,3x13(13?3x)3 层级二 应试能力达标 1(由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则: ?“mn,nm”类比得到“a?b,b?a”; ?“(m,n)t,mt,nt”类比得到“(a,b)?c,a?c,b?c”;
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