通用版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十九圆锥曲线中的定点定值存在性问题理20.wps
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1、课时达标检测(四十九) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 一般难度题全员必做 1(2018郑州质检)已知动圆 M 恒过点(0,1),且与直线 y1 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程; (2)动直线 l 过点 P(0,2),且与点 M 的轨迹交于 A,B 两点,点 C 与点 B 关于 y 轴对称, 求证:直线 AC 恒过定点 解:(1)由题意得,点 M 与点(0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y1 的距离,由抛物线 p 的定义知圆 心 M 的轨迹是以点(0,1)为焦点,直线 y1 为准线的抛物线,则 1,p2. 2 圆心 M 的轨迹方程为 x24y. (2)设直线 l:ykx2,A(x1
2、,y1),B(x2,y2),则 C(x2,y2),联立Error!消去 y 整理 得 x24kx80, x1x24k,x1x28. x21 x 2 y1y2 4 4 x1x2 x1x2 kAC ,直线 AC 的方程为 yy1 (xx1) x1x2 x1x2 4 4 x1x2 x1x2 x1x1x2 x21 x1x2 x1x2 即 y y1 (xx1) x x , 4 4 4 4 4 4 x1x2 x1x2 x1x2 x1x28,y x x2,即直线 AC 恒过定点(0,2) 4 4 4 x2 2在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 E: y21 上的非
3、 4 坐标轴上的点,且 4kOAkOB10(kOA,kOB 分别为直线 OA,OB 的斜率) (1)证明:x21x ,y y 均为定值; 2 21 2 (2)判断OAB 的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由 解:(1)证明:依题意,x1,x2,y1,y2均不为 0, 4y1y2 则由 4kOAkOB10,得 10, x1x2 x1x2 化简得 y2 , 4y1 因为点 A,B 在椭圆上, 所以 x214y214, x24y 4, 2 x1x2 把 y2 代入, 4y1 整理得(x214y21)x 16y . 2 12 结合得 x24y21,同理可得 x214y2, 1 从而
4、x21x 4y x 4,为定值, 2 2 2 x21 y21y2y21 1,为定值 4 1 (2)SOAB |OA|OB|sinAOB 2 1 x21y21 x2y2 1cos2AOB 2 1 x1x2y1y22 x21y21 x2y2 1 2 x21y21x2y2 1 2 x21y21x2y2x1x2y1y22 1 |x1y2x2y1|. 2 x1 x2 x1 x2 由(1)知 x24y21,x214y ,易知 y2 ,y1 或 y2 ,y1 , 2 2 2 2 2 1 11 x214y21 SOAB |x1y2x2y1|2| x212y21| 1, 2 2 4 因此OAB 的面积为定值 1
5、. x2 y2 3(2018广州惠州调研)已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0), a2 b2 2 F2(1,0),点 A (1, 2)在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线,使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M,N 时,能在直线 y 5 上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q,满足 PM NQ ?若存在,求出直线的方程;若 3 不存在,说明理由 解:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c1, 2 因为 A (1, 2)在椭圆 C 上,所以 2a|AF1|AF2|2 2, 因此 a 2,b2a2c21, x2 故椭圆
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