通用版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十八圆锥曲线中的最值范围证明问题理201.wps
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1、课时达标检测(四十八) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一般难度题全员必做 x2 y2 2 1已知椭圆 E: b21(ab0)的一个焦点为 F2(1,0),且该椭圆过定点 M(1, 2). a2 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设点 Q(2,0),过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,且 F2A F2B , 2,1,以 QA,QB 为邻边作平行四边形 QACB,求对角线 QC 长度的最小值 1 1 解:(1)由题易知 c1, 1, a2 2b2 又 a2b2c2, 解得 b21,a22, x2 故椭圆 E 的标准方程为 y21. 2 (2)设直线 l:xky1,由Err
2、or! 得(k22)y22ky10,4k24(k22)8(k21)0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k 1 则可得 y1y2 ,y1y2 . k22 k22 QC QA QB (x1x24,y1y2) 4k21 2k ( k22), , k22 28 8 | QC |2| QA QB |216 ,由此可知,| QC |2的大小与 k2 k22 k222 的取值有关 y1 1 y2 由 F2A F2B 可得 y1y2, , (y1y20) y2 y1 1 y1 y2 y1y222y1y2 6k24 从而 , y2 y1 y1y2 k22 1 5 5 6k24 2 由 2,1得()
3、 ,2,从而 2,解得 0k2 . 2 2 k22 7 1 7 1 7 17 1 令 tk22,则 t 2,| QC | 28t228t168 2 ,当 t 时, , (t4 ) 16 2 2 |QC|min2. 2(2018河南洛阳统考)已知抛物线 C:x22py(p0),过焦点 F 的直线交 C 于 A,B 两 点,D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 ABl,且ABD 的面积为 1,求抛物线的方程; 1 (2)设 M 为 AB 的中点,过 M 作 l 的垂线,垂足为 N.证明:直线 AN 与抛物线相切 解:(1)ABl,|FD|p,|AB|2p.SABDp21. p1,故抛
4、物线 C 的方程为 x22y. p x21 x 2 (2)证明:显然直线 AB 的斜率存在,设其方程为 ykx ,A 1, ,B 2, . 2 (x 2p) (x 2p) 由Error!消去 y 整理得,x22kpxp20. x1x22kp,x1x2p2. p p M(kp,k2p ),N . 2 (kp,2) x21 p x21 p x21p2 x21x1x2 2p 2 2p 2 2p 2p x1 k AN . x1kp x1x2 x1x2 x1x2 p x1 2 2 2 x 又 x22py,y . p x1 抛物线 x22py 在点 A 处的切线斜率 k . p 直线 AN 与抛物线相切
5、3(2018合肥模拟)已知中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 C,其上一点 P 到两个焦点 3 F1,F2的距离之和为 4,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 ykx1 与曲线 C 交于 A,B 两点,求OAB 面积的取值范围 y2 x2 解:(1)设椭圆的标准方程为 1(ab0), a2 b2 由条件知,Error!解得 a2,c 3,b1, y2 故椭圆 C 的方程为 x21. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由Error!得(k24)x22kx30, 2k 3 故 x1x2 ,x1x2 , k24 k24 设OAB 的面积为 S, 3 1 由
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