2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.6对数与对数函数学案理201805212142.doc
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1、26对数与对数函数 知识梳理1对数2对数函数的概念、图象与性质3反函数概念:当一个函数的自变量和函数值成一一对应时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数4对数函数与指数函数的关系指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x,即二者的定义域和值域互换(2)由两函数的图象关于直线yx对称,易知两函数的单调性、奇偶性一致特别提示:底数a对函数ylogax(a0且a1)的图象的影响(1)底数a与1的大
2、小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a1时,对数函数的图象“上升”;当0a1还是0a1时,若logaxlogbx,则a0且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),.()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P72例8)设alog36,blog510,clog714,则()Acba Bbca Cacb Dabc答案D解析解法一:由对数运算法则得alog361log32,b1log52,c1log72,由对数函数图象得log32log52log72,所以abc,故选D.解法二:由对数运算法则得a1log32,b1log52,c1log72,log27log25log23
3、0,即log72log52bc.故选D.(2)(必修A1P75T11)(lg 5)2lg 2lg 50_.答案1解析原式(lg 5)2lg 2lg (252)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)2(lg 5lg 2)21.3小题热身(1)(2017衡阳八中一模)f(x)则f()A2 B3 C9 D9答案C解析f(x)flog32,ff(2)29.故选C.(2)(2018郑州模拟)已知lg alg b0(a0且a1,b0且b1),则f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析lg alg b0,a,又g(x)logbxlogxlogax(x0),函数f(x)与g(x)的单调
4、性相同,故选B.题型1对数的运算 (2017郑州二检)若正数a,b满足2log2a3log3blog6(ab),则的值为()A36 B72 C108 D.用转化法答案C解析设2log2a3log3blog6(ab)k,可得a2k2,b3k3,ab6k,所以108.故选C.(2018镇江模拟)已知log189a,18b5,求log3645.将指数式统一为对数式解因为log189a,18b5,所以log185b,于是log3645.方法技巧对数运算的一般思路1对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解见典例2.2在
5、对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算对于连等式,注意设等式为k,见典例1.冲关针对训练1已知3a4b,则()A. B1 C2 D.答案C解析因为3a4b,所以alog3,blog4,log3,log4,所以log3log4log122.故选C.2(log32log92)(log43log83)_.答案解析原式log32log23.题型2对数函数的图象及应用(2018长春模拟)当0x时,4xlogax,则a的取值范围是()A. B. C(1,) D(,2)用数形结合法,排
6、除法答案B解析解法一:构造函数f(x)4x和g(x)logax,当a1时不满足条件,当0a1时,画出两个函数在上的图象,可知fg,即2loga,a,则a的取值范围为.故选B.解法二:0x,14x2,logax4x1,0a1,排除选项C、D;取a,x,则有42,log1,显然4xlogax不成立,排除选项A.故选B.条件探究若典例变为:若不等式x2logax0对x恒成立,求实数a的取值范围解由x2logax0得x2logax,设f1(x)x2,f2(x)logax,要使x时,不等式x21时,显然不成立;当0a1时,如图所示,要使x2logax在x上恒成立,需f1f2,所以有2loga,解得a,所
7、以a0且a1)的值域为y|y1,则函数yloga|x|的图象大致是()答案B解析由于ya|x|的值域为y|y1,a1,则ylogax在(0,)上是增函数,又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B.故选B.2(2017青岛统考)已知函数g(x)|xk|x1|,若对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)成立,则实数k的取值范围为_答案k或k解析对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)成立,即f(x)maxg(x)min,由的图象(如图)可知,当x时,f(x)取最大值,f(x)max;因为g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|,所以g(x)mi
8、n|k1|,所以|k1|,解得k或k,故答案为k或k.题型3对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小设alog3,blog2,clog3,则()Aabc Bacb Cbac Dbca借助中间值1比较a,b的大小,用作商法比较b,c大小答案A解析因为alog3log331,blog2b,又(log23)21,b0,所以bc,故abc.故选A.角度2解对数不等式(2017江西名校联考)设函数f(x)log (x21),则不等式f(log2x)f(logx)2的解集为()A(0,2 B.C2,) D.2,)利用函数的奇偶性,单调性结合换元法解不等式答案B解析f(x)的定义域为R,f(x)log(x
9、21)f(x),f(x)为R上的偶函数易知其在区间0,)上单调递减,令tlog2x,则logxt,则不等式f(log2x)f(logx)2可化为f(t)f(t)2,即2f(t)2,所以f(t)1.又f(1)log21,f(x)在0,)上单调递减,在R上为偶函数,1t1,即log2x1,1,x,故选B.角度3对数函数性质的综合应用已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由根据复合函数单调性求解解(1)a0且a1,设
10、t(x)3ax,则t(x)3ax为减函数,x0,2时,t(x)的最小值为32a,当x0,2时,f(x)恒有意义,即x0,2时,3ax0恒成立32a0,a0且a1,a(0,1).(2)t(x)3ax,a0,函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数,ylogat为增函数,a1,x1,2时,t(x)最小值为32a,f(x)最大值为f(1)loga(3a),即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解,注意对数函数的底数和真数的取值范围2比较对数式的大小若
11、底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较3解对数不等式,形如logaxlogab的不等式,借助ylogax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式4对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上,即求形如ylogaf(x)的复合函数的单调区间,其一般步骤为:求定义域,即满足f(x)0的x的取值集合;将复合函数分解成基本初等函数ylogau及uf(x);分别确定这两个函数的单调区间
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