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1、高一数学必修3知识点总结及典型例题解析必修3概率部分知识点总结 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 , 事件:随机事件确定性事件: 必然事件和不可能事件 , 随机事件的概率(统计定义):一般的如果随机A事件 在次实验中发生了次当实验的次数很大nmnm时我们称事件A发生的概率为 PA,,n说明:? 一个随机事件发生于具有随机性但又存在统计的规律性在进行大量的重复事件时某个事件是否发生具有频率的稳定性 而频率的稳定性又是必然的因此偶然性和必然性对立统一 ? 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ? 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值它具有一定的稳定性总在某个常
2、数附近摆动且随着试验次数的不断增多这个摆动的幅度越来越小而这个接近的某个常数我们称之为概事件发生的概率 ? 概率是有巨大的数据统计后得出的结果讲的是一种大的整体的趋势而频率是具体的统计的结果 ? 概率是频率的稳定值频率是概率的近似值 , 概率必须满足三个基本要求:? 对任意的一个随A机事件 有 ,0,PA,1必修3概率部分知识点总结 ? ?如,用,和,分别表示必然事件和不可能事件,则有P,1,P,0果事件 ,A和B互斥,则有:PA,B,PA,PB, 古典概率:? 所有基本事件有限个 ? 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为
3、1个则每一个基本事件发生的概率都是如果某nnA个事件包含了其中的个等可能的基本事件则事mmPA,,A件发生的概率为 nD, 几何概型:一般地一个几何区域中随机地取一点记事件“改点落在其内部的一个区域d内”AA为事件则事件发生的概率为 d的侧度PA,,D的侧度DD , 这里要求的侧度不为0其中侧度的意义由确定一般地线段的侧度为该线段的长度,平面多变形的侧度为该图形的面积,立体图像的侧度为其体积 , 必修3概率部分知识点总结 几何概型的基本特点:? 基本事件等可性 ? 基本事件无限多 为了便于研究互斥事件我们所研究的区域都是指的开区域即不含边界在区域D内随机地取点指的是该点落在区域D内任何一处都是
4、等可能的落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比而与其形状无关。 ,互斥事件:不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件:两个互斥事件中必有一个发生,则称两个AA事件为对立事件 事件的对立事件 记为: ? 若可能都不发A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,生但不可能同时发生 从集合的关来看两个事件互斥即指两个事件的集合的交集是空集 ? 对立事件是指的两个事件而且必须有一个发生而互斥事件可能指的很多事件但最多只有一个发生可能都不发生 ? 对立事件一定是互斥事件 ? 从集合论来看:表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集但两个对立事件的并集是全集 而两个互斥事件的并集
5、不一定是全集 ? 两个对立事件的概率之和一定是1 而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ? 若事件A,B是互斥事件则有 ? 一般地,PA,B,PA,PB必修3概率部分知识点总结 如果 两两互斥则有A,A,.,A12n? ,PA,A,.,A,PA,PA,.,PA12n12n? 在本教材中 指的是,PA,1,PAA,A,.,A12n中至少发生一个 ? ? 在具体做题中A,A,.,A12n希望大家一定要注意书写过程设出事件来利用哪种概型解题就按照那种概型的书写格式最重要的是要设出所求的事件来 具体的格式请参照我们课本上的例题 ,例题选讲: 例1. 在大小相同的6个球中4个是红球若从中任意选2个求所
6、选的2个球至少有一个是红球的概率, 【分析】题目所给的6个球中有4个红球2个其它颜色的球我们可以根据不同的思路有不同的解法 解法:,基本事件一一列举略, A设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” 则A其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球” 11114? P,A, , ? P,A ,1 - P,A,1 - , (6,5)1515152答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 14 . 15必修3概率部分知识点总结 评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解综合所学的方法根据自己的理解用不同的方法但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1: 在大小相同的6个球中2个是红球4 个是白球若从
7、中任意选取3个求至少有1个是红球的概率, 4答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 5变式训练2:盒中有6只灯泡其中2只次品4只正品有放回的从中任抽2次每次抽取1只试求下列事件的概率: ,1,第1次抽到的是次品 ,2,抽到的2次中正品、次品各一次 AB解:设事件为“第1次抽到的是次品” 事件为“抽到的2次中正品、次品各一次” 4,2,2,4421PB,则 PA,, ,,或者636,6924424PB,,, ,666691答:第1次抽到的是次品的概率为 抽到的2次中34正品、次品各一次的概率为 9变式训练3:甲乙两人参加一次考试共有3道选择题3道填空题每人抽一道题抽到后不放回求,1,甲抽到
8、选择题而乙抽到填空题的概率,2,求至少1人抽到选择题的概率, 必修3概率部分知识点总结 【分析】,1,由于是不放回的抽且只抽两道题甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的所以可以用独立事件的概率,2,事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件所以可以用互斥事件的概率来 A解:设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”事B件为“至少1人抽到选择题”则 B为“两人都抽到填空题” 11,PP3333,3333, ,1,PA或者PA ,,,, ,,,2,65106,510P6,2,P32113,2, 则 PB或者PB,,,, ,2,6555P6,14PB,1,PB,1, ,553答:甲抽到选
9、择题而乙抽到填空题的概率为 少1104人抽到选择题的概率为 . 5变式训练4:一只口袋里装有5个大小形状相同的球其中3个红球2 个黄球从中不放回摸出2个球球两个球颜色不同的概率, 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球要么是1黄1球 略解:0.6 变式训练5:设盒子中有6个球其中4个红球2 个白球每次人抽一个然后放回若连续抽两次则必修3概率部分知识点总结 抽到1个红球1个白球的概率是多少, 42244,22,44略解: ,PA,,,,, 66666,66,69高中数学必修三 第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图 1、算法的概念 ,1,算法概念:在数学上现代意义上的“算法”通常是指可以
10、用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤这些程序或步骤必须是明确和有效的而且能够在有限步之内完成. ,2,算法的特点: ?有限性:一个算法的步骤序列是有限的必须在有限操作之后停止不能是无限的. ?确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果而不应当是模棱两可. ?顺序性与正确性:算法从初始步骤开始分为若干明确的步骤每一个步骤只能有一个确定的后继步骤前一步是后一步的前提只有执行完前一步才能进行下一步并且每一步都准确无误必修3概率部分知识点总结 才能完成问题. ?不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的对于一个问题可以有不同的算法. ?普遍性:很多具体的问题都可以设计合理的
11、算法去解决如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2、程序框图 ,1,程序框图基本概念: ?程序构图的概念:程序框图又称流程图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框,带箭头的流程线,程序框外必要文字说明。 ?构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束起止框 是任何流程图不可少的。 表示一个算法输入和输出的输入、输出信息可用在算法中任何需要框 输入、输出的位臵。 必修3概率部分知识点总结 赋值、计算算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在处理框 不同的用以处理数据的处
12、理框内。 判断某一条件是否成立成立判断框 时在出口处标明“是”或“Y”,不成立时标明“否”或“N”。 学习这部分知识的时候要掌握各个图形的形状、作用及使用规则画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类一类判断框“是”与“否”两分支的判断而且有且仅有两个结果,另一类是多分支判断有几种不同的结果。 3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 ,1,顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构语句与语句之间框与框之间是按从上到下
13、的顺序必修3概率部分知识点总结 进行的它是由若干个依次执行的处理步骤组成的它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序A 框自上而下地连接起来按顺序执行算法步骤。如在示意图中A框和B框是依次执行的只有在执行完B A框指定的操作后才能接着执行B框所 指定的操作。 ,2,条件结构: 条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立只能执行A框或B框之一不可能同时执行 A框和B框也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 ,3,循环结构: ?一类是当型循环结构它的功能是当给定的条件P成立时执行A框。 ?另一类是直到型循环结构直到某一
14、次给定的条件P成立为止此时不再执行A框离开循环结构。 A A P P 成立 成不成立 不成立 立 必修3概率部分知识点总结 当型循环结构 直到型循环结构 注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2基本算法语句 1、输入、输出语句和赋值语句 ,1,输入语句 ?输入语句的一般格式 INPUT “提示内容”,变量 ?输入语句的作用是实现算法的输入信息功能,?“提示内容”提示
15、用户输入什么样的信息变量是指程序在运行时其值是可以变化的量,?输入语句要求输入的值只能是具体的常数不能是函数、变量或表达式,?提示内容与变量之间用分号“,”隔开若输入多个变量变量与变量之间用逗号“”隔开。 ,2,输出语句 ?输出语句的一般格式 PRINT “提示内容”,变量 ?输出语句的作用是实现算法的输出结果功能,? “提示内容”提示用户输入什么样的信息表达式是指程序要输出的数据,?输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 ,3,赋值语句 必修3概率部分知识点总结 ?赋值语句的一般格式 变量=表达式 ?赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量,?赋值语句中的“,”称作赋值号与数学中
16、的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,?赋值语句左边只能是变量名字而不是表达式右边表达式可以是一个数据、常量或算式,?对于一个变量可以多次赋值。 注意:?赋值号左边只能是变量名字而不能是表达式。如:2=X是错误的。?赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。?不能利用赋值语句进行代数式的演算。,如化简、因式分解、解方程等,?赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5:条件语句 ,1,条件语句的一般格式有两种: 是 满足条件, ?IF 条件 THEN 语句 语句体 否 END IF 否 ?IF条件 THEN 满足条件,
17、 是 语句体1 语语句2 句1 ELSE 语句体2 必修3概率部分知识点总结 END IF 6:循环语句 ,1,WHILE语句 ?WHILE语句的一般格式是 对应循环的程序框图是 体 是 WHILE 条件 满足条件, 循环体 WEND 否 ,2,UNTIL语句 ?UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是 DO 循环体 循环体 LOOP UNTIL 条件 否 满足条件, 是 第二章 统计 2.1 随机抽样 1:简单随机抽样 ,1,总体和样本 ?在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体( ?把每个研究对象叫做个体( ?把总体中个体的总数叫做总体容量( ?为了研究总体的有关性质一般从总体中随机抽
18、 研究我们称它为样本(其取一部分:中个体的个数称为样本容量( 必修3概率部分知识点总结 ,2,简单随机抽样也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同,概率相等,样本的每个单位完全独立彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时才采用这种方法。 ,3,简单随机抽样常用的方法: ?抽签法?随机数表法?计算机模拟法?使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中主要考虑:?总体变异情况,?允许误差范围,?概率保证程度。 ,4,抽签法: ?给调查对象群
19、体中的每一个对象编号, ?准备抽签的工具实施抽签, ?对样本中的每一个个体进行测量或调查 ,5,随机数表法: 2:系统抽样 ,1,系统抽样,等距抽样或机械抽样,: 把总体的单位进行排序再计算出抽样距离然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K,抽样距离,=N必修3概率部分知识点总结 ,总体规模,/n,样本规模, 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说应是随机的即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下从不同的样本开始抽样对比几次样本的特点。如果有明显差别说明样本在总体中的分布承某种循环性规律且这种循环和抽样距离重合。 ,2,系统抽样即
20、等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低实施也比较简单。更为重要的是如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话使用系统抽样可以大大提高估计精度。 3:分层抽样 ,1,分层抽样,类型抽样,: 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志,性别、年龄等,划分成若干类型或层次然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本最后将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: ?先以分层变量将总体划分为若干层再按照各层必修3概率部分知识点总结 在总体中的比例从各层中抽取。 ?先以分层变量将总体划分为若干层再将各层中的元素按分层的
21、顺序整齐排列最后用系统抽样的方法抽取样本。 ,2,分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体所有的样本进而代表总体。 分层标准: ?以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 ?以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在 结构的变量作为分层变量。 ?以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 样本容量各层样本容量,个体容量各层个体容量,3,分层的比例问题:抽样比= ?按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位 数目的比重来抽取子样本的方法。 ?不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小其样本量就会
22、非常少此时采用该方法主必修3概率部分知识点总结 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时则需要先对各层的数据资料进行加权处理调整样本中各层的比例使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 xxx,?,12nx,n,1,样本均值: 222xxxxxx(,),(,),?,(,)212nss,n,2,样本标准差: ,3,众数:在样本数据中频率分布最大值所对应的样本数据,可以是多个,。 ,4,中位数:在样本数据中累计频率为1.5时所对应的样本数据值,只有一个,。 注意: ?如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常
23、数标准差不变 ?如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k标准差变为原来的k倍 ?一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响(x,3s,x,3s)区间的应用, “去掉一个最高分去掉一个最低分”中的科学道理 必修3概率部分知识点总结 5、用样本的频率分布估计总体分布 ,1,频率分布表与频率分布直方图 频率分布表盒频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布规律它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。 具体步骤如下: 第一步:求极差即计算最大值与最小值的差. 第二步:决定组距和组数:组距与组数的确定没有固定标准需要尝试、选择力求有合适的组数以能把数据的规律较清
24、楚地呈现为准.太多或太少都不好不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关样本容量越大组数越多.一般来说容量不超过100的组数极差组距在5至12之间.组距应最好“取整”它与有关. 极差组距注意:组数的“取舍”不依据四舍五入而是当不极差组距是整数时组数=,+1. ?频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点就得到频率分布折线图。 必修3概率部分知识点总结 ?总体密度曲线:总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比它能给我们提供更加精细的信息。 ,2,茎叶图:茎是指中间的一列数叶是指从茎旁边生长出来的数。 . 6:变量间的相关关系:自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的
25、两个变量之间的关系交相关关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。 ,1,回归直线:根据变量的数据作出散点图如果各点大致分布在一条直线的附近就称这两个变量之间具有线性相关的关系这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角的区域我们就成这两个变量呈正相关,若从左上角到右下角的区域则称这两个变量呈负相关。 第三章 概率 3.1 随机事件的概率 ,1,必然事件:在条件S下一定会发生的事件叫相对于条件S的 必修3概率部分知识点总结 必然事件, ,2,不可能事件:在条件S下一定不会发生的事件叫相对于条件 S的不可能事件, ,3,确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于
26、条件S的确定事 件, ,4,随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫相对于 条件S的随机事件, ,5,频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验观察某一事件A nA是否出现称n次试验中事件A出现的次数为事件nA()fA,nnA出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的概率:对于给定的随机事件A如果随着试验fA()n次数的增加事件A发生的频率稳定在某个常数上把这个常数记作P,A,称为事件A的概率。 ,6,频率与概率的区别与联系:随机事件的频率nA指此事件发生的次数与试验总次数n的比值nAn它具有一定的稳定性总在某个常数附近摆动且随着试验次数的不断增多这种摆动必修3概率部分知识点总结 幅度
27、越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 2:概率的基本性质 ,1,必然事件概率为1不可能事件概率为0因此0?P(A)?1 ,2,事件的包含、并事件、交事件、相等事件 ,3,若A?B为不可能事件即A?B=那么称事件A与事件B互斥, ,4,若A?B为不可能事件A?B为必然事件那么称事件A与事件B互为对立事件, ,5,当事件A与B互斥时满足加法公式:P(A?B)= P(A)+ P(B), 若事件A与B为对立事件则A?B为必然事件所以P(A?B)= P(A)+ P(B)=1于是有P(A)=1P(B)
28、 ,6,互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生其具体包括三种不同的情形:? 事件A发生且事件B不发生,?事件A不发生且事件B发生,?事件A与事件B同时不发生而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生其包括两种情形,?事件A发必修3概率部分知识点总结 生B不发生,?事件B发生事件A不发生对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 ,1,基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个它是试验中不能再分的最简单的随机事件。 ,2,基本事件的特点:?任何两个基本事件是互斥的?任何事件,除不可能事件外,都可以表示成基本事件的和。 4:古典概型
29、: ,1,古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型这种模型满足两个条件: ?试验结果的有限性和所有结果的等可能性。?所有基本事件必须是有限个。 ,2,古典概型的解题步骤, ?求出总的基本事件数, ?求出事件A所包含的基本事件数然后利用公式A所包含的基本事件的个数pA(),总的基本事件个数 5:几何概型 ,1,几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度,面积或体积,成比例则必修3概率部分知识点总结 称这样的概率模型为几何概率模型, ,2,几何概型的概率公式:构成事件A的区域长度(面积或体积)p(A),试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积), ,3,几何概型的特点:?试验中所有可能出现的结果,基本事件,有无限多个,?每个基本事件出现的可能性相等( 注意:几何概型也是一种概率模型它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位臵无关值域该区域的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点由于单点的长度、面积、体积均为0则它出现的概率为0但它不是不可能事件,如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点则它出现的概率为1但他不是必然事件。 综上可得:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。 概率为1的事件不一定为必然事件,概率为0的事件不一定为不可能事件。 必修3概率部分知识点总结
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