最新高三数学文科函数y+=+f+(x)对称性与周期性关系例题解析+人教版优秀名师资料.doc
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1、高三数学文科函数y = f (x)对称性与周期性关系例题解析 人教版高三数学文科函数y = f (x)对称性与周期性关系例题解析一. 本周教学内容: 函数对称性与周期性关系 y,f(x)【典型例题】 1. 定义在R上的函数,若总有成立,则函数的图象是关于f(x)f(a,x),f(a,x)f(x)直线成轴对称图形。反之,若函数的图象关于直线成轴对称图形,则必有f(x)x,ax,af(a,x),f(a,x)a,b推论,对于定义在R上的函数,若有,则图象关于直线x,f(a,x),f(b,x)f(x)2成轴对称图形,反之亦真。 证明:若对,总有,设点,在的图象上,f(a,x),f(a,x)(x,f(x
2、)y,f(x)x,R00点关于的对称点,由 (x,f(x)(2a,x,f(x)f(x),fa,(a,x),x,a000000,则点在函数的图象上,由的任意fa,(a,x),f(2a,x)(2a,x,f(x)y,f(x)x00000性知的图象关于直线对称,反之证明略。 f(x)x,aa,b,x,t2a,ba,b推论,由显然 f(a,x),f(b,x),f(,t),f(,t)222例1 已知,满足且,当时,比较f(,1,x),f(,1,x)f(0),3f(x),x,bx,cx,0xx与的大小。 f(b)f(c)解:由知关于对称,故,又由知,f(,1,x),f(,1,x)f(x)f(0),3x,1b
3、,2c,3则在递减,在上递增。 f(x)(,1,1,,,)xxxxxx当时, ? 即 f(3),f(2)f(b),f(c)x,03,2,1xxxxxx当时, ? ,即 f(3),f(2)f(b),f(c)x,00,3,2,11例2 函数的图象关于直线对称,且时f(x),,则当y,f(x)x,(0,,,)x,1xx,(,2)时,f(x)的解析式为 。 解:依条件f(,1,x),f(,1,x),f(x),f(,2,x),设x,(,2),则用心 爱心 专心 122号编辑 1 , x,2,(,0),x,2,(0,,,)11f(x),f(,2,x),故 ,x,2x,2,例3 若的图象关于直线对称,则 。
4、 f(x),sin2x,acos2xx,a,8A. B. C. D. 1,12,2,解:由 f(,,x),f(,x)88,得 sin2(x,),acos2(x,),sin2(,x),acos2(,x)8888, ,sin(,2x),acos(,2x)44,cos(,2x),asin(,2x)44 ,cos2(x,),asin2(x,)88,即 sin2(x,),acos2(x,),cos2(x,),asin2(x,)8888, acos2(x,),sin2(x,),cos2(x,),sin2(x,)8888? a,1例4 设对任意,满足且方程恰有6个不同的实根,f(x)f(3,x),f(3,x
5、)f(x),0x,R则此六个实根之和为 。 A. 18 B. 12 C. 9 D. 0 解:依条件知图象关于直线对称,方程六个根必分布在对称轴两侧,且f(x)x,3x,3两两对应以(3,0)点为对称中心,故,所以x,x,x,x,x,x,2,3,6162534,选A。 x,x,?,x,3,6,18126例5 设满足(1),(2)当时,是增函数,定义域,f(x)f(x),f(2,x)f(x)x,1x,R则下列不等式成立的是( ) 1A. f(0),f(log),farccos(,1)331B. f(log),f(0),farccos(,1)33用心 爱心 专心 122号编辑 2 1C. f(log
6、),farccos(,1),f(0)331D. farccos(,1),f(0),f(log)33解:由条件知图象关于直线成轴对称 f(x)x,11, f(0),f(2)f(log),f(,2),f(4)33又及时递增 farccos(,1),f(,)f(x)x,1? ,故选C f(4),f(,),f(2)2. 对称性与周期性的关系 (1)若函数在R上的图象关于两条直线与对称,则为y,f(x)(b,a)f(x)x,ax,bR上的周期函数。 (2)若函数在R上的图象关于直线与点对称,则为Ry,f(x)(b,c)(b,a)f(x)x,a上的周期函数。 证:(1)因图象关于及对称,则,y,f(x)f
7、(x),f(2a,x)x,ax,b,故得证 f(x),f(2b,x)f(x),f(2a,x),f2b,(2a,x),f(2b,2a),x(2)由图象关于对称,有 ? y,f(x)f(x),f(2a,x)x,a,y,yx,x,又由图象关于点对称,有, y,f(x)(b,c),b,c,x,2b,x22,? ,即 y,f(2b,x)2c,y,f(2b,x)2c,f(x),f(2b,x)以代有 ? f(2a,x),f(2b,2a,x),2cx2a,x由?和? ? f(x),f(2a,x),2c,f(2b,2a,x)以代有 f(2b,2a,x),2c,f(4b,4a,x)x2b,2a,x又由?式 得证
8、f(x),f4(b,a),x特别地,图象关于直线对称的偶函数必是周期函数 (a,0)x,a推论,定义在R上的函数f(x)满足f(a,x),f(a,x)(a,0) (1)当f(x)为偶函数时,f(x)是以为一个周期的周期函数。 2a(2)当f(x)为奇函数时,f(x)是以为一个周期的周期函数。 4a用心 爱心 专心 122号编辑 3 证:(1) f(x,2a),fa,(a,x),fa,(a,x),f(,x),f(x)(2) f(x,4a),fa,(x,3a),fa,(x,3a),f(,x,2a),f(x,2a),fa,(x,a),fa,(x,a),f(,x),f(x)例1 已知定义在实数集R上的
9、函数满足:(1);(2);f(x)f(,x),f(x)f(4,x),f(x)2(3)当时,求时,的解析式。 x,0,2x,6,4f(x)f(x),x,1解:由(1)(2)知,对任 f(x,4),f(x)x,6,42则, x,4,2,0,(x,4),0,2f(x),f(x,4),f,(x,4),(x,4),1例2 已知定义在实数集R上的函数满足:(1);(2);f(x)f(,x),f(x)f(2,x),f(2,x)(3)当时解析式,求上的解析式。 x,0,2y,2x,1x,4,0解:设 x,2,4,4,x,0,2f(x),f2,(2,x),f2,(2,x),f(4,x),2(4,x),1,2x,
10、7当时,则 x,4,2,x,2,4f(,x),2x,7当时,则 x,2,0,x,0,2f(,x),2x,1又为偶函数,知 f(x)f(,x),f(x)2x,7,x,4,2,从而f(x), ,2x,1,x,2,0,另法:当时, x,2,0,x,0,2f(x),f(,x),2(,x),1,2x,1当时, x,4,2x,4,0,2f(x),f(x,4),2(x,4),1,2x,7例3 函数f(x)定义在R上,且对一切满足f(2,x),f(2,x),f(7,x),f(7,x),x,R,问方程在区间中至少有几个实根。 设f(0),0f(x),0,1000,1000用心 爱心 专心 122号编辑 4 解:
11、依条件为函数的周期,均为的根,因2,(7,2),10f(x)f(x),0x,4x,10此在区间上至少有二个根 (0,10? ,1000,1000,1000,990,(,990,980,?,(990,1000由周期性可知也为的根 f(x),0x,1000990,1000所以方程在区间中至少有 f(x),0,1000,10002,1,1,40110例4 若偶函数,满足(1)图象关于直线对称,(2)在区间f(x)(a,0)0,ax,ax,R上是减函数,求证以为最小正周期。 f(x)2a证:依条件知为函数的周期,假设函数还存在比更小的周期2,f(x)f(x)2a2ab且 f(x),f(x,2b),f(
12、x,2a)0,2b,2a令,则 f(,2b),f(0),f(2a,2b)x,2b(1)若,则与在上是减函数矛盾 f(0),f(2a,2b)f(x)0,a0,2a,2b,a(2)若,即时,与在上f(0),f(,2b),f(2b)f(x)0,a0,a,2a,2b0,2b,a是减函数矛盾,所以是的最小正周期。 f(x)2a例5 已知是定义在实数集R上的偶函数,是R上的奇函数,又知(1)(f(x)g(x)f(3),aa是常数);(2)试求的值。 g(x),f(x,1)f(1999)分析:条件(2)即,即关于点对称 f(,1,x),f(,1,x)f(x)(,1,0)又由是偶函数,故是以4为周期的周期函数
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