最新高中数学+对数与对数函数-及经典题试题+新人教A版必修1[doc文档]优秀名师资料.doc
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1、高中数学 对数与对数函数-及经典题试题 新人教A版必修1doc文档对数与对数函数一、目标认知 学习目标 1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数; 2. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 重点 对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用;理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 难点 正确使用对数的运算性质;底数a对图象的影响及对数函数性质的作用. 二、知识要点梳理 知识点一、对数及其运算 xx 我们在学习过程遇到2=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新
2、的运算对数运算. (一)对数概念: 1. 如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logN=b.其中a叫做对数的a底 数,N叫做真数. 2. 对数恒等式: 3. 对数具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即; (2)1的对数为0,即; (3)底的对数等于1,即. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e为底的对数叫做自然对数, . (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1);
3、推广: (2); (3). (五)换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a,0, a?1, M,0的前提下有: (1) bbnn 令 logM=b, 则有a=M, (a)=M,即, 即, a即:. b (2) ,令logM=b, 则有a=M, 则有 a即, 即,即 当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 知识点二、对数函数 1. 函数y=logx(a,0,a?1)叫做对数函数. a2. 在同一坐标系内,当a,1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0,a,1时,对数函数的图 象随a
4、的增大而远离x轴.(见图1) (1)对数函数y=logx(a,0,a?1)的定义域为(0,+?),值域为R a(2)对数函数y=logx(a,0,a?1)的图像过点(1,0) a(3)当a,1时, 三、规律方法指导 容易产生的错误 (1)对数式logN=b中各字母的取值范围(a,0 且a?1, N,0, b?R)容易记错. a(2)关于对数的运算法则,要注意以下两点: 一是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log(-3)(-5)=log(-3)+log(-5)是不成立的,因为虽然log(-3)(-5)是存在的,但log(-3)与log
5、(-5)222222是不存在的. 二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的: log(M?N)=logM?logN, aaalog(M?N)=logM?logN, aaaloga. (3)解决对数函数y=logx (a,0且a?1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论. a(4)关于对数式logN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.a下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考. 以1为分界点,当a, N同侧时,logN,0;当a,N异侧时,logN,0. aa经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用
6、 1.将下列指数式与对数式互化: (1);(2);(3);(4);(5);(6). 思路点拨:运用对数的定义进行互化. 解:(1); (2); (3); (4); (5); (6). 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三: 【变式1】求下列各式中x的值: (1) (2) (3)lg100=x (4) 思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. 解:(1); (2); x2 (3)10=100=10,于是x=2; (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2(求值: 解:. 总结升华:对数恒等式中要注
7、意格式:?它们是同底的;?指数中含有对数形式;?其值为真数. 举一反三: + 【变式1】求的值(a,b,c?R,且不等于1,N0) 思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解:. 类型三、积、商、幂的对数 3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 2 解:(1)原式=lg3=2lg3=2b 6 (2)原式=lg2=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b 2 (4)原式=lg2+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a (6)原式=lg3+lg5=lg3
8、+1-lg2=1+b-a 举一反三: 【变式1】求值 22 (1) (2)lg2?lg50+(lg5) (3)lg25+lg2?lg50+(lg2) 解:(1) 22 (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)=lg2+lg2lg5+(lg5)=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 2 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2) 2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. ab 【变式2】已知3=5=c,求c的值. a 解:由3=c得: 同理可得 . 222 【变式3】设a、b、c为正数,且满足
9、a+b=c.求证:. 证明: . 22 【变式4】已知:a+b=7ab,a,0,b,0. 求证:. 222222 证明:? a+b=7ab, ? a+2ab+b=9ab,即 (a+b)=9ab, ? lg(a+b)=lg(9ab), ? a,0,b,0, ? 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ?2lg(a+b)-lg3=lga+lgb 即 . 类型四、换底公式的运用 4.(1)已知logy=a, 用a表示; x(2)已知logx=m, logx=n, logx=p, 求logx. abcabc解:(1)原式=; (2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底. mnp 方法一:a=x, b
10、=x, c=x ?, ? ; 方法二:. 举一反三: 【变式1】求值:(1);(2);(3). 解:(1) ; (2); (3)法一: 法二:. 总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可. 类型五、对数运算法则的应用 5.求值 (1) log9?log32 827(2) (3) (4)(log125+log25+log5)(log8+log4+log2) 248125255解:(1)原式=. (2)原式= (3)原式= (4)原式=(log125+log25+log5)(log8+log4
11、+log2) 248125255举一反三: 【变式1】求值: 解: 另解:设 =m (m,0).? , ? ,? , ? lg2=lgm, ? 2=m,即. 【变式2】已知:log3=a, log7=b,求:log56=? 2342解:? ?, 类型六、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用. 6. 求下列函数的定义域: (1); (2). 2 思路点拨:由对数函数的定义知:x,0,4-x,0,解出不等式就可求出定义域. 2 解:(1)因为x,0,即x?0,所以
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