最新高中数学三角函数知识点及例题优秀名师资料.doc
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1、高中数学三角函数知识点及例题聚优堂教育 2010高中数学竞赛标准讲义:三角函数 一、基础知识 定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的L圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|=,其r中r是圆的半径。 定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距
2、离为r,则正弦yxyrx函数sin=,余弦函数cos=,正切函数tan=,余切函数cot=,正割函数sec=,rrxxyr余割函数csc= .y111定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan=,sin=,cos=;cot,csc,sec,sincos,cot,商数关系:tan=;乘积关系:tancos=sin,cotsin=cos;cos,sin,平方关系:sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. tan(+)=tan, cot(+)=cot;定理2 诱导公式(?)sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, (?)sin(-)=-sin,
3、cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; (?)sin(-)=sin, ,cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; (?)sin=cos, ,2,cos=sin, tan=cot(奇变偶不变,符号看象限)。 ,22,定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x?R)的性质如下。单调区间:在区间上为3,,增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇2k,2k,2,2,kk,2222,,偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x,=3-k时, y取最小值-1。22,对称性:直线x=k,+均为其对称
4、轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为-1,1。这里k2?Z. 定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x?R)的性质。单调区间:在区间2k,2k+上单调递减,在区间2k-,2k上单调递增。最小正周期为2。奇偶性:偶函数。对称性:,直线x=k均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2k时,取yk,,0,2,1;当且仅当x=2k-时,取最小值y-1。值域为-1,1。这里k?Z. 最大值,定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函,222,数, 最小正周期为,值域为(-?,+?),点(k,0),(k+,0)均为其对称中心。
5、2聚优堂教育 定理6 两角和与差的基本关系式:cos()=coscossinsin,sin(,(tantan)=sincoscossin; tan()= .,(1tantan)定理7 和差化积与积化和差公式: ,,,,,sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, ,2222,,,,,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, ,2222,11sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-), 2211coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-). 22定理8 倍角公式:si
6、n2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, ,2tantan2= .2,(1tan)(1cos)(1cos),,,定理9 半角公式:sin,=,cos=, ,2222,(1,cos)sin(1cos),tan= ,.,2(1cos)sin(1,cos,),,22tan1,tan,22,sin,cos,定理10 万能公式: , , ,221,tan1,tan,22,2tan,2,tan., ,21tan,2,22定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且+ab0,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a, b),ba的一个角为,则sin=,cos=,对任意
7、的角. 2222a,ba,b22(a,b)asin+bcos=sin(+). abc,2R定理12 正弦定理:在任意?ABC中有,其中a, b, c分别是角A,sinAsinBsinCB,C的对边,R为?ABC外接圆半径。 222定理13 余弦定理:在任意?ABC中有=ab+c-2bcosA,其中a,b分别是角,cA,B,C的对边。 定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得1,0,xy=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的,图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的
8、图象(振幅变换);,y=Asin(x+)(0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到聚优堂教育 ,y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位,得到y=Asinx的图象。 ,,定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x?-1, 1),函数,x,22,,y=cosx(x?0,) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x?-1, 1). 函数y=tanx,,的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x?-?, +?). y=cosx(x?0,)的反函,x,22,,数称为反余切函数
9、,记作y=arccotx(x?-?, +?). narcs定理15 三角方程的解集,如果a?(-1,1),方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)ina, n?Z。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, k?Z. 如果a?R,方程tanx=a的解集,x|x=k+arctana, k?Z。恒等式:arcsina+arcco;saarcta=na+arccota=. 是22,定理16 若,则sinxx-1,所以cos, ,0x,x,22,,,所以sin(cosx) ?0,又00, 所以cos(sinx)sin(cosx). ,,若,则因为si,0,x,2,,,22,22nx+c
10、osx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)?, 2sinx,cosx,2,444222,所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx). 2综上,当x?(0,)时,总有cos(sinx)0,求证: ,2sinsin,【证明】 若+,则x0,由-0得coscos(-)=sin, 222,cos,cos所以0sin(-)=cos, 所以01, 2sin,sin,聚优堂教育 x0x0,coscoscoscos,所以, ,,,,2.,sinsinsinsin,若+,则x0,由0-cos(-)=sin0, 2222,cos,cos所以1。又0sin1, 2sin,sin
11、,x0x0,coscoscoscos,,,,,2所以,得证。 ,sinsinsinsin,注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3(最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2是函数的周期(事实上,因为cos(-x)=cosx,所以co|x|=cosx);其次,,当且仅当x=k+时,y=0(因为|2cosx|?2), 2所以若最小正周期为T,则T=m,m?N,又sin(2cos0)=sin2sin(2cos),所以T=2。 ,00+04(三角最值问题。 2例5 已知函数y=sinx+,求函数的最大值与
12、最小值。 1,cosx3,2【解法一】 令sinx=, 2cos,1cos2sin0,,x,44,2cos,2sin,2sin(,).则有y= ,4,3,0,,,因为,所以, 4424,0,sin(,)所以?1, ,43,所以当,即x=2k-(k?Z)时,y=0, min42,当,即x=2k+(k?Z)时,y=2. ,max42222【解法二】 因为y=sinx+1,cosx,2(sinx,1,cosx), 222=2(因为(a+b)?2(a+b), 221,cosx1,cosx且|sinx|?1?,所以0?sinx+?2, ,21,cosx所以当=sinx,即x=2k+(k?Z)时, y=2
13、, max2,21,cosx当=-sinx,即x=2k-(k?Z)时, y=0。 min2,(1,cos,)例6 设0,求sin的最大值。 2,0,【解】因为00, cos0. 2222聚优堂教育 ,222222sincoscos,所以sin(1+cos)=2sin?cos= ?,2222223,2222sin,cos,cos,1643222,= ,.2,2793,22,4322,当且仅当2sin=cos, 即tan=, =2arctan时,sin(1+cos)取得最大值。 2222229例7 若A,B,C为?ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。 A,BA,BA,B,2s
14、in【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ? 222,C,C,C,,333sinC+sin, ? 2sincos2sin,3222,C,A,B,C,A,B,C,A,B,333又因为,? sinsin2sincos2sin,,22443,由?,?,?得sinA+sinB+sinC+sin?4sin, 33,33所以sinA+sinB+sinC?3sin=, 32,33当A=B=C=时,(sinA+sinB+sinC)=. max32注:三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5(换元
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