最新高中数学三角函数计算题优秀名师资料.doc
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1、高中数学三角函数计算题篇一:高中数学三角函数常见习题类型及解法 高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1(熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变
2、换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题( 2(熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数y?Asin(?x?)的图象;理解图象平移变换、伸1 缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化( 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17,22分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇
3、偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 22(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos+sin=tanx?cotx=tan45?等。 222222(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx;配凑 角:=(+),,=? 2,? 2等。 2 (3)降次与升次。(4)化弦(切)
4、法。 (4)引入辅助角。asin+bcos=a2?b2sin(+?),这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定,?角的值由tan?=b确定。 a 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方 法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异
5、之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例1(已知tan?2,求(1)cos?sin?22;(2)sin?sin?.cos?2cos?的值. cos?sin? 3 sin? cos?sin?1?tan?1?2?3?22; 解:(1)?sin?1?tan?1?2cos?sin?1?cos? sin2?sin?cos?2cos2?22 (2) sin?sin?cos?2cos? 22sin?cos? 2sin?sin?222?2?24?2?2. ?sin?2?13?1cos2?1? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互
6、化,就会使解题过程简化。 例2(求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)2的值域。 解:设t?sinx?cosx?x?)?,则原函数可化为 4 13y?t2?t?1?(t?)2? ,因为t?,所以 24 13当t? ymax?3,当t?时,ymin?, 24 33?。 所以,函数的值域为y?,4 例3(已知函数f(x)?4sinx?2sin2x?2,x?R。 (1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合; (2)证明:函数f(x)的图像关于直线x? 22对称。 82解:f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sinx) ?2sin2x?2c
7、os2x?x?) 4 (1)所以f(x)的最小正周期T?,因为x?R, 4 3?2k?,即x?k?时,f(x )最大值为 428 (2)证明:欲证明函数f(x)的图像关于直线x?对称,只要证明对任意x?R,有8 f(?x)?f(?x)成立, 88 因为f(?x)?x)?2x)?2x, 8842 f(?x)?x)?2x)?2x, 8842 所以f(?x)?f(?x)成立,从而函数f(x)的图像关于直线x?对称。 888 12例4( 已知函数y=cosx+sinx?cosx+1 (x?R), 22所以,当2x? (1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合; (2)该函数的图像可由y=sinx(x
8、?R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到, 解:(1)y=11122cosx+sinx?cosx+1= (2cosx,1)+ +(2sinx?cosx)+1 24442 151?5=cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+ 4426644 1?5=sin(2x+)+ 264 ?=+2k,(k?Z),即 x=+k,(k?Z)。 626 5 ?所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为x|x=+k,k?Z 6所以y取最大值时,只需2x+ (2)将函数y=sinx依次进行如下变换: ?,得到函数y=sin(x+)的图像; 66 1?(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原
9、来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)26(i)把函数y=sinx的图像向左平移 的图像; (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变),得到函数2 y=1?sin(2x+)的图像; 26 (iv)把得到的图像向上平移 综上得到y=51?5个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。 426412cosx+sinxcosx+1的图像。 22 说明:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=a2?b2sin (x+?)+k的形式,二是化成某一个三
10、角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 11cos2x?sinxcosx?tanxcosx=0时,y=1;当cosx?0时,y=+1=+1 22sinx?cosx1?tan2x 2化简得:2(y,1)tanx,tanx+2y,3=0 6 37?tanx?R,?=3,8(y,1)(2y,3) ?0,解之得:?y? 44 7?ymax=,此时对应自变量x的值集为x|x=k+,k?Z 46 xx2x. 例5(已知函数f(x)?sincos?cos333 (?)将f(x)写成Asin(?x?)的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (?)如果?ABC的三边a、b、c满足b=ac,且边b所对的角
11、为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解:f(x)?1sin2x?(1?cos2x)?1sin2x?cos2x?3?2x?)? 2323232323322 2x?2x?3k?1?)=0即?k?(k?z)得x?33332 3k?1?,k?z 即对称中心的横坐标为2(?)由sin( (?)由已知b=ac 2k?z a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosx?,2ac2ac2ac2 1?2x?5?cosx?1,0?x?,?233339 ?5?2x?|?|?|?|,?sin?)?1,3292333 3 即f(x)的值域为(,1?. 2?sin(2x?3?)?1?,332 综上所述,
12、x?(0,? 3 , f(x)值域为(,1?3 . 2 说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 7 例6(在?ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且 (1)求sinB的值; (2) 若b?a=c,求?ABC的面积。 解:(1)由正弦定理及cosC3a?c?, cosBbcosC3a?ccosC3sinA?sinC?,有, cosBbcosBsinB 即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB,所以sin(B?C)?3sinAcosB, 又因为A?B?C?,s
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