最新高中数学典型例题分析与解答:函数的最值优秀名师资料.doc
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1、 世纪金榜 圆您梦想 函数的最值根据条件确定函数的参数是否存在例 已知函数,是否存在实数a、b、c,使同时满足下列三个条件:(1)定义域为R的奇函数;(2)在上是增函数;(3)最大值是1若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理由分析:本题是解决存在性的问题,首先假设三个参数a、b、c存在,然后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值解:是奇函数又,即,或,但时,不合题意;故这时在上是增函数,且最大值是1设在上是增函数,且最大值是3,当时,故;又当时,;当时,;故,又当时,当时,所以在是增函数,在(1,1)上是减函数又时,时最大值为3经验证:时,符合题设条件,所以存在满足条件的a、b、c,即说明:此
2、题是综合性较强的存在性问题,对于拓宽思路,开阔视野很有指导意义此题若用相等方法解决是十分繁杂的,甚至无技可施若用求导数的方法解决就迎刃而解因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法切不可忘记供水站建在何处使水管费最少例 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?分析:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,
3、适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值,可确定点C的位置解:解法一:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km,则又设总的水管费用为y元,依题意有令,解得在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在(km)处取得最小值,此时(km)供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省解法二:设,则设总的水管费用为,依题意,有 令,得根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省说明:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“
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