最新高中数学典型例题分析函数概念与基优秀名师资料.doc
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1、高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 2.12.1 映射、函数、反函数映射、函数、反函数 一、知识导学一、知识导学 1.映射:一般地,设 A、B 两个集合,如果按照某种对应法则 ,对于集合 A 中的任 何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合 A 到集 合 B 的映射,记作 f:AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则) 2.函数: 设 A,B 都是非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合 A 中每一个元 素x,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,且 B 中每一个元素
2、都的原象,这样的对应叫 做从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 ( )yf x . 其中所有的输入值x组成的集合 A 称为函数 ( )yf x 定义域. 对于 A 中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合 称为函数的值域. 3.反函数:一般地,设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系, 用 y 把 x 表示出来,得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应,那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 叫做函数 y=f(x)(xA)的反
3、函数,记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示 函数,为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y,把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f- 1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 二、疑难知二、疑难知识导析识导析 1.对映射概念的认识 (1) 与 是不同的,即 与 上有序的.或者说:映射是有方向的, (2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值.集 合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合 B 中有剩留元 素;允许多对一,不允许一对多. (
4、3)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识 (1)对函数符号 ( )f x的理解知道 y=( )f x与 ( )f x的含义是一样的,它们都表示 是 的函数,其中 是自变量,( )f x是函数值,连接的纽带是法则 .是单值对应. (2)注意定义中的集合 A,B 都是非空的数集,而不能是其他集合; (3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法. 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 3.对反函数概念的认识 (1)函数y=( )f x只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数; (2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因
5、此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得. (3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于 y=x 对称. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11设 Ma,b,c ,N2,0,2,求(1)从 M 到 N 的映射种数; (2)从 M 到 N 的映射满足 f(a)f(b)f(c),试确定这样的映射f的种数. 错解错解:(1)由于 Ma,b,c ,N2,0,2 ,结合映射的概念,有 220022 0 ,2 ,2 ,2,0 ,2 222220 aaaaaa bbbbbb cccccc ,共 6 个映射 (2)由(1)得满足条件的映射仅有 2 0 2 a b c
6、一种情况 错因错因:没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清 正解正解:(1)由于 Ma,b,c ,N2,0,2 ,结合映射的概念,有 一共有 27 个映射 (2)符合条件的映射共有 4 个 0222 ,2,2,0 ,0, 2220 aaaa bbbb cccc 例例 22已知函数( )f x的定义域为0,1,求函数(1)f x 的定义域 错解错解:由于函数( )f x的定义域为0,1,即01x,112x (1)f x 的定义域是1,2 错因错因:对函数定义域理解不透,不明白( )f x与( ( )f u x定义域之间的区别与联系,其实在 这里只要明白:( )f x中x取值的范围与(
7、( )f u x中式子( )u x的取值范围一致就好了. 正解正解:由于函数( )f x的定义域为0,1,即01x(1)f x 满足011x 10x ,(1)f x 的定义域是1,0 例例 33已知: *, xN 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ,求(3)f. 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 错解错解: 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ,(2)(2)53f xxx 故 5(6) ( ) 3(6) xx f x xx ,(3)f330. 错因错因:没有理解分段函数的意义,(3)f的自变量是 3,应代入(2)f x 中去,而不是
8、代入 x5 中,只有将自变量化为不小于 6 的数才能代入解析式求解. 正解正解: 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx , (3)f(32)(5)ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函数是 1( ) fx ,如果( )f x与 1( ) fx 的图像有交点,那么交点必在 直线yx上,判断此命题是否正确? 错解错解:正确 错因错因:对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深,比如函数 1 16 1 ()log 16 x yyx与的图像的交点中,点 1 11 1 ( , ), 2 44 2 (,)不在直线yx上,由此可以 说明说明“两互为反函数图
9、像的交点必在直线yx上”是不正确的. 例例 55求函数 2 ( )46yf xxx,1,5)x的值域. 错解错解: 22 (1)14 163,(5)545611ff 又1,5)x,( )f x的值域是311, 错因错因: :对函数定义中,输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应,错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了. 正解正解:配方,得 22 ( )46(2)2yf xxxx 1,5)x,对称轴是2x 当2x 时,函数取最小值为(2)f2, ( )(5)11f xf ( )f x的值域是211, 例例 66已知( )34f xx,求函数 1( 1)fx 的解析式
10、. 错解错解:由已知得(1)3(1)437f xxx 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 37,yx即 7 3 y x , 1( 1)fx 7 3 x 错因错因:将函数 1( 1)fx 错误地认为是(1)f x 的反函数,是由于对函数表达式理解不透 彻所致,实际上(1)f x 与 1( 1)fx 并不是互为反函数,一般地应该由( )f x先求 1( ) fx ,再去得到 1( 1)fx . 正解正解:因为( )34f xx的反函数为 1( ) fx 4 3 x , 所以 1( 1)fx (1)43 33 xx 1 1 3 x 例例 77根据条件求下列各函数的解析式: (1)已
11、知( )f x是二次函数,若(0)0,(1)( )1ff xf xx,求( )f x. (2)已知(1)2fxxx,求( )f x (3)若( )f x满足 1 ( )2 ( ),f xfax x 求( )f x 解解:(1)本题知道函数的类型,可采用待定系数法求解 设( )f x 2 (0)axbxca由于(0)0f得 2 ( )f xaxbx, 又由(1)( )1f xf xx, 22 (1)(1)1a xb xaxbxx 即 22 (2)(1)1axab xabaxbx 21 1 0 2 1 abb aab ab 因此:( )f x 2 11 22 xx (2)本题属于复合函数解析式问题
12、,可采用换元法求解 设 22 ( )(1)2(1)1(1)f uuuuu ( )f x 2 1x (1x ) (3)由于( )f x为抽象函数,可以用消参法求解 用 1 x 代x可得: 11 ( )2 ( ),ff xa xx 与 1 ( )2 ( )f xfax x 联列可消去 1 ( )f x 得:( )f x 2 33 aax x . 点评点评:求函数解析式(1)若已知函数( )f x的类型,常采用待定系数法;(2)若已知 1(0),1(1)uxxxuu 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ ( )f g x表达式,常采用换元法或采用凑合法;(3)若为抽象函数,常采用代换
13、后消参法. 例例 88 已知xyx623 22 ,试求 22 yx 的最大值. 分析分析:要求 22 yx 的最大值,由已知条件很快将 22 yx 变为一元二次函数 , 2 9 )3( 2 1 )( 2 xxf然后求极值点的x值,联系到0 2 y,这一条件,既快又准地求 出最大值. 解 由 xyx623 22 得 . 2 0, 03 2 3 , 0 .3 2 3 22 22 xxxy xxy 又, 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当2x时, 22 yx 有最大值,最大值为 . 4 2 9 )32( 2 1 2 点评点评:上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的深刻性
14、.大部分学生的作法如下: 由 xyx623 22 得 ,3 2 3 22 xxy , 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当3x时, 22 yx 取最大值,最大值为 2 9 这种解法由于忽略了0 2 y这一条件,致使计算结果出现错误.因此,要注意审题,不仅 能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注意主要的已知 条件,又要注意次要条件,甚至有些问题的观察要从相应的图像着手,这样才能正确地解 题 例例 99设( )f x是 R 上的函数,且满足(0)1,f并且对任意的实数, x y都有 ()( )(21)f xyf xyxy,求( )f x的表达
15、式. 解法一解法一:由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy,设xy, 得(0)( )(21)ff xxxx,所以( )f x 2 1xx 解法二解法二:令0x ,得(0)(0)(1)fyfyy 即()1(1)fyyy 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 又将y用x代换到上式中得( )f x 2 1xx 点评点评:所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量 相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.具体取什么特殊值,根据题目特征而定. 四、典型习题导练四、典型习题导练 1. 已知函数 f(x),xF,那么集合(x,y)|y=f(x),
16、xF(x,y)|x=1中所含元素 的个数是( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 2.对函数baxxxf 2 3)(作代换x=g(t),则总不改变f(x)值域的代换是( )A. ttg 2 1 log)(B. t tg) 2 1 ()( C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程f(2x,y)=0 的曲线是 ( ) 4.(06 年高考全国 II)函数 f(x)的最小值为 19 i1 |xn| A190 B.171 C.90 D.45 5. 若函数f(x)= 34 x mx (x 4 3 )在定义域内恒有ff(x)=x,则m
17、等于( ) A.3B. 2 3 C. 2 3 D.3 6.已知函数( )f x满足:()( )( )f abf af b,(1)2f,则 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff . 7.已知函数f(x)满足f(logax)=) 1 ( 1 2 x x a a (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式. 8.已知函数( )f x是函数 2 1 101 x y (xR)的反函数,函数( )g x的图像与函数 43 1 x y x 的图像关于直线 yx1 成轴对称图形,记( )F x( )f x+( )g x. (1)求函
18、数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图像上是否存在两个不同的点 A、B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直? 若存在,求出 A、B 两点的坐标;若不存在,说明理由. 2.22.2 函数的性质函数的性质 ABCD 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 一、知识导学一、知识导学 1.函数的单调性: (1)增函数:一般地,设函数 ( )yf x 的定义域为 I,如果定义域 I 内某个区间上任 意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2时,都有 f(x1)3x2,即x2+x60 解得x2 或x3x2,即x2+x60,解得x2 或x0,1x1x20, 21 12 1
19、xx xx 0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1) 2 1 时,f(x)0. (1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 7.已知函数y=f(x)= cbx ax 1 2 (a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0 时,f(x)有最小值 2, 其中bN 且f(1)1 时,图像越接近 x 轴,底数 a 越大; 当 01 时,指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况:(1)定义域区间在对称轴的右侧;(2)定义
20、域区间在 对称轴的左侧;(3)对称轴的位置在定义域区间内 2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用,要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误: (1)式子 nn aa, (2)log ()loglog;log ()loglog aaaaaa MNMNM NMN 3.利用指数函数的性质解题,一定要注意底数的取值. 4.函数 ( )f x ya的研究方法一般是先研究( )f x的性质,再由a的情况讨论 ( )f x ya的 性质. 5.对数函数logayx(0,1)aa与指数函数 x ya(0,1)aa互为反函数,会将 指数式与对数式相互转化. 6.幂函数yx的性质,要注意
21、的取值变化对函数性质的影响. (1)当 奇 奇 时,幂函数是奇函数;(2)当 奇 偶 时,幂函数是偶函数;(3)当 偶 奇 时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11已知 18 log 9,185, b a求 36 log45 高中数学辅导网 http:/ 京翰教育 http:/ 错解错解:185, b 18 log 5b 181818 36 18181818 log45log 5log 9 log45 log 36log4log 9log4 ba a 错因错因:因对性质不熟而导致题目没解完. 正解正解:185, b 18 log 5b 18
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