最新高中数学函数专题优秀名师资料.doc
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1、高中数学函数专题篇一:高中数学函数专题 高中数学函数专题 1(已知在实数域R上可导的函数y?f(x)对任意实数x1,x2都有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),若存在实数a,b,使f(a)?0且f?(b)?0, 求证:(1)f(x)?0;(2)y?f(x)在(?,?)上是单调函数 xxxxx2 证明:(1)f(x)?f(?)?f()?f()?f() 22222 xxxxxx2 又f(a)?f?(a?)?f()?f(a?)?0,?f()?0,?f()?0即f(x)?0 222222 f(b?x)?f(b)f(b)f(?x)?f(b)f(?x)?1 ?lim?f(b)lim(2)f?(b)
2、?lim ?x?0?x?0?x?0?x?x?xf(?x)?1f?(b)f(x)f(?x)?1f?(b) ?f?(x)?lim?f(x)?即lim ?x?0?x?0?xf(b)?xf(b)?f(x)?0,f?(b)?0,f(b)?0?f?(x)?0?f(x)在R上是单调递增函数. 1 2(已知抛物线C的方程为y2?4x,F为焦点,直线l1:kx?y?k?0?k?0?与C交于A、B两点,P为AB的中点,直线l2过P、F点。 (1)求直线l2的斜率关于k的解析式f(k),并指出定义域; (3)求l1与l2的夹角?的取值范围。 (k);1?1 (4)解不等式loga?xf?x?1?a?0,a?1?。
3、2? ?16?16k2?0?y2?4x2 ?ky?4y?4k?0?0?k?1 解:(1)? ?k?0?y?k?x?1? 2?0ypy1?y222?k2k yp?,xp?1?2,F?1,0? ?f(k)?2?0?k?1? ? 2kkk2?k1?k2 ?12 k ?4k2?1?1 (2)f(k)?k?0? 2kf(k)?k? (3)tg?k3,?0?k?1,?0?tg?1,?0,? 1?kf(k)?4?(2)求函数f(k)的反函数f ?1 2 1?4x211? (4)xf(x)?x2?,?原不等式为 loga?x2?2?x?0? 4?224? 11122222 当a?1时,x?a?,?x?a?;当
4、0?a?1时,x?a?,显然, 444 ?1 0?a? 1112 时,x?;当?a?1时,0?x?a?。 224 3(已知二次函数f(t)?at2?bt? 14a (t?R)有最大值且最大值为正实数,集合 x?a ?0,集合B?x|x2?b2. x (1)求A和B; b,x均为整数,P(E)(2)定义A与B的差集:A?B?x|x?A且x?B.设a,且x?A。 2 为x取自A?B的概率,P(F)为x取自A?B的概率,写出a与b的三组值,使P(E)?, 3 3 1 、b(从小到大)依次构成的P(F)?,并分别写出所有满足上述条件的a(从大到小) 3 数列an、bn的通项公式(不必证明); (3)若
5、函数f(t)中,a?an,b?bn (理)设t1、t2是方程f(t)?0的两个根,判断|t1?t2|是否存在最大值及最小值,若存在,A?x| 求出相应的值;若不存在,请说明理由。 (文)写出f(t)的最大值f(n),并判断f(n)是否存在最大值及最小值,若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)?f(t)?at2?bt?1(t?R)有最大值,?a?0.配方得f(t)?a(t? 1?bb2)?b,由?1?0?b?1.?A?x|a?x?0,B?x|?b?x?b。 2(2)要使P(E)? ,P(F)?1。可以使?A中有3个元素,A?B中有2个元素,A?B中有1个元素.则a?4,b?2.
6、?A中有6个元素,A?B中有4个元素,A?B中有2个元素。 则a?7,b?3.?A中有9个元素,A?B中有6个元素,A?B中有3个元素.则a?10,b?4.an?3n?1,bn?n?1. (3)(理)f(t)?0,得?bn?1?0. g(n)?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2? 4 bn?1 an ? n9n?6n?1 ? 19n?6n , ?29n?1?6,当且仅当n?1时等号成立. ?9n?1 3 ?g(n)在N上单调递增。|t1?t2|max?g(1)?1.又limg(n)?0,故没有最小值。 n? ?bnn?12n?(文)?g(n)?14 a?4 n 412?n 单调递增,
7、 1,?没有最大值。 ?f(n)min?f(1)?,又limf(n)?4 n? 4(已知函数f(x)?loga 1?mx 是奇函数(a?0,a?1)。 x?1 (1)求m的值; (2)判断f(x)在区间(1,?)上的单调性5 并加以证明; (3)当a?1,x?(r,a?2)时,f(x)的值域是(1,?),求a与r的值. 解:(1)m=,1 x?1 (2)由(1),f(x)?loga(a?0,a?1). x?1 任取x1?x2?(1,?),设x1?x2,令t(x)?x?1,则t(x1)?x1?1,t(x2)?x2?1, x?1x1?1x2?1 x1?1x2?12(x2?x1) . ? x1?1x
8、2?1(x1?1)(x2?1) ?x1?1,x2?1,x1?x2,?x1?1?0,x2?1?0,x2?x1?0, x?1x2?1 . ?t(x1)?t(x2),即1? x1?1x2?1?t(x1)?t(x2)? x1?1x?1 ?loga2,f(x)在(1,?)上是减函数; x1?1x2?1 当0<a<1时,f(x)在(1,?)上是增函数. ?当a?1时,loga (2)当a1时,要使f(x)的值域是(1,?),则ogl a x?1x?1(1?a)x?a?1 6 ?1,?a,即?0 x?1x?1x?1 a?1 ?0? 而a1,?上式化为 x?1x?12 ?loga(1?),?当x1
9、时,f(x)?0.当x?1时,f(x)?0. 又f(x)?loga x?1x?1 a?1 因而,欲使f(x)的值域是(1,?),必须x?1,所以对不等式?,当且仅当1?x? a?1 x? 时成立. ?r?1?a?1? ?a?2?,解之,得r?1,a?2?. a?1? ?a?1 5(|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离,它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样,可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离:条件一,非负性p(x,y)?0,等号成立当且仅当x=y;条件二,交换律p(x,y)=p(y,x);条件三,三角不等式p(x,z)?p(x,y)+p(
10、y,z). 试确定运算s(x,y)= 7 |x?y| 是否为一个距离,是,证明;不是,举出反例。 1?|x?y| 解:要说明s(x,y)是否为距离,只要验证它是否满足三条即可 |x?y| ?0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ,第一条满足 1?|x?y|x?y|y?x| s(x,y)=s(y,x) ,第二条也满足 1?|x?y|1?|y?x| 1x1|x?z| s(x,z)=?函数f(x)=1-(或)在x0上单调增,且|x-z|? 11?x1?x1?|x?z|?1x |x?y|?|y?z|x?y| |x-y|+|y-z|(8分)?s(x,z)?= 1?|x?y|?|y?z|1?|x?y
11、|?|y?z| |y?z|x?y|y?z| +?+=s(x,y)+s(y,z)(10分) 1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|1?|y?z| s(x,y)= 总之,s(x,y)是距离 6(已知曲线L:y?ax3?bx2?cx?d与y轴相交于点A,以其上一动点P(x0,y0)为切点的直线l与y轴相交于Q点(?).8 求直线l的方程,并用x0表示Q点的坐标; (?)求lim sin?APQ . x0?sin?AQP 2 2 2 (?)解:A(0,d),y?3ax2?2bx?c,k?3ax0?2bx0?c ?y?y0?(3ax0?2bx0?c)(x?x0),令x?0得yQ?(3ax0?2bx0?
12、c)(?x0)?y0 ?Q(0,(3ax0?2bx0?c)(?x0)?y0) (?)由正弦定理得: 2 sin?APQAQ32? sin?AQPAP3 2 32 ?lim sin?APQ|2a| ?lim?2 x0?sin?AQPx|a| 7(设a、b为常数,M?f(x)|f(x)?acosx?bsinx;F:把平面9 上任意一点(a,b)映射为函数acosx?bsinx.(1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数; (2)证明:当f0(x)?M时,f1(x)?f0(x?t)?M,这里t为常数; (3)对于属于M的一个固定值f0(x),得M1?f0(x?t),t?R,在映射F的作用下,M1作
13、为象,求其原象,并说明它是什么图象, 答案:(1)假设有两个不同的点(a,b),(c,d)对应同一函数,即F(a,b)?acosx?bsinx与F(c,d)?ccosx?dsinx相同, 即acosx?bsinx?ccosx?dsinx对一切实数x均成立。特别令x=0,得a=c;令x?得b=d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数。 (2)当f0(x)?M时,可得常数a0,b0,使f0(x)?a0cosx?b0sinx ? 2 , f1(x)?f0(x?t)?a0cos(x?t)?b0sin(x?t) ?(a0cost?b0sint)cosx?(
14、b0cost?a0sint)sinx 由于a0,b0,t为常数,设a0cost?b0sint?m,b0cost?a0sint?n,则m,n是常数. 从而f1(x)?mcosx?nsinx?M。 (3)设f0(x)?M,由此得f0(x?t)?mcosx?nsinx (其中m?a0cost?b0sint,n?b0cost?a0sint) 在映射F下,f0(x?t)10 的原象是(m,n),则M1的原象是 (m,n)|m?a0cost?b0sint,n?b0cost?a0sint,t?R 2222 消去t得m2?n2?a0,即在映射F下,M1的原象(m,n)|m2?n2?a0?b0?b0 是 以原点
15、为圆心,a0?b0为半径的圆。 8(试构造一个函数f(x),x?D,使得对一切x?D有|f(?x)|?|f(x)|恒成立,但是f(x) 2 ?x,(x?1) 既不是奇函数又不是偶函数,则f(x)可以是f(x)? x,(x?1)? 22 9(设A?B?C=?1,2,3,4,5?,且A?B=?1,3?,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组D.125组 篇二:高中数学函数专题复习 2.1 映射与函数、函数的解析式 一、选择题: 1(设集合A?x|1?x?2,B?y|1?y?4,则下述对应法则f中,不能构成A到B的映射的是(
16、) A(f:x?y?x2B(f:x?y?3x?2 C(f:x?y?x?4 D(f:x?y?4?x2 11 2(若函数f(3?2x)的定义域为,1,2,则函数f(x)的定义域是( ) A(? 52,?1 B(,1,2 ?x?1(x?1)?1 (x?1) C(,1,5 D(,2 2 1 3,设函数f(x)? ,则f(f(f(2)=( ) A(0 B(1 C(2 D(2 4(下面各组函数中为相同函数的是() A(f(x)?B(f(x)? (x?1),g(x)?x?1 x 2 2 ?1,g(x)? 2 x?1x?1 C(f(x)?(x?1),g(x)?(x?1) D(f(x)? 2 12 x?1x?2
17、 2 ,g(x)? x?1x?2 2 5. 已知映射f:A?B,其中,集合A?3,?2,?1,1,2,3,4?,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a?A,在B 中和它对应的元素是a,则集合B中元素的个数是( ) (A) 4(B) 5(C) 6 (D) 7 ?x?2 (x?2) 7(已知定义在0,?)的函数f(x)? 2 (0?x?2)?x 若f(f(f(k)? 254 ,则实数k? 2.2函数的定义域和值域 1(已知函数f(x)? 1?x1?x 的定义域为M,ff(x)的定义域为N,则M?N= . 2.如果f(x)的定义域为(0,1),? 13 12 ?a?0,那么函数g(x
18、)=f(x+a)+f(x-a)的定义域 为 . 2 3. 函数y=x-2x+a在0,3上的最小值是4,则a= ;若最大值是4,则a=. 4(已知函数f(x)=3-4x-2x,则下列结论不正确的是( ) A(在(-?,+?)内有最大值5,无最小值,B(在-3,2内的最大值是5,最小值是-13 C(在1,2)内有最大值-3,最小值-13, D(在0,+?)内有最大值3,无最小值 5(已知函数y? A(p?Q 6(若函数y? A(0, 43 mx 2 2 x?3x?4 ,y? x?9x?7x?12 2 2 的值域分别是集合P、Q,则( ) C(P?Q 14 D(以上答案都不对 B(P=Q mx?1?
19、4mx?3 的定义域为R,则实数m的取值范围是( ) 34 B(0,) C(0, 4 3 D(0,) 4 3 7(函数y?2? A(0,2 2 ?x?4x(x?0,4)的值域是( ) B(1,2 3x?1x?1 3 C(,2,2 D(,2,2 8.若函数f(x)?的值域是y|y?0?y|y?4,则f(x)的定义域是() A(1,3B(1,1)?(1,3 C(?,1或3,?) D(3,+?) 3 15 3 9(求下列函数的定义域: ?y? ?x 2 2 2x?x?1 10(求下列函数的值域: ?y? 3x?55x?3 (x?1) ?y=|x+5|+|x-6| xx?2x?4 2 ?y?4? ?x
20、?x?2 2 ?y?x?2x ?y?11(设函数f(x)?x?x? 2 14 . (?)若定义域限制为0,3,求f(x)的值域; (?)若定义域限制为a,a?1时,f(x)的值域为? 1,1 16 ,求a的值. 216 1(下述函数中,在(?,0)上为增函数的是( ) A(y=x2,2 B(y= 3x C(y=1?2?x D(y?(x?2)2 2(下述函数中,单调递增区间是(?,0的是( ) A(y=, 1x B(y=,(x,1) C(y=x,2 2 D(y=,|x| 3(函数y?x2在(?,?)上是( ) A(增函数 B(既不是增函数也不是减函数C(减函数D(既是减函数也是增函数 4(若函数
21、f(x)是区间a,b上的增函数,也是区间b,c上的增函数,则函数f(x)在区间a,b上是( ) A(增函数B(是增函数或减函数 C(是减函数 D(未必是增函数或减函数 5(已知函数f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)( ) 17 A.在区间(-1,0)上单调递减 C.在区间(-2,0)上单调递减 ax?1x?2 B.在区间(0,1)上单调递减 D在区间(0,2)上单调递减 6(设函数f(x)? A(0?a? 12 在区间(?2,?)上是单调递增函数,那么a的取值范围是( ) 12 B(a?C(a<-1或a1D(a,2 7(函数f(x)?2x2?mx?3,当
22、x?2,?)时是增函数,则m的取值范围是( ) A( ,8,+?) B(8,+?) C(,?,, 8 D(,?,8 2 8(如果函数f(x)=x+bx+c对任意实数t都有f(4-t)=f(t),那么( ) A(f(2)<f(1)<f(4) B(f(1)<f(2)<f(4) C(f(2)<f(4)<f(1)D(f(4)<f(2)<f(1) 9(若函数f(x)?4x?ax?3的单调递减区间是(?10(理科)若a0,求函数f(x)? 18 3 11 ,),则实数a的值为. 22 x?ln(x?a)(x?(0,?)的单调区间. 1(若f(x)?xn 2
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