最新高中数学典型例题解析:第二章+函数概念与基本初等函数优秀名师资料.doc
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1、(WORD)-高中数学典型例题解析:第二章 函数概念与基本初等函数高中数学典型例题解析:第二章 函数概念与基本初等函数 第二章 函数概念与基本初等函数 ?2.1 映射、函数、反函数 一、知识导学1.映射:一般地,设A、B两个集合,如果按照某种对应法则 ,对于集合A中的任何 一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射,记作f:A?B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数: 设A,B都是非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函
2、数,记作 y f(x).其中所有的输入值x组成的集合A称为函数y f(x)定义域.对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域. 3.反函数:一般地,设函数y=f(x)(x?A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出来,得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=f-1(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数叫做函数y=f(x)(x?A)的反函数,记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写
3、成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析 1.对映射概念的认识 (1) 与 是不同的,即 与 上有序的.或者说:映射是有方向的, (2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合B中有剩留元素;允许多对一,不允许一对多.(3)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识(1)对函数符号 f(x)的理解知道 y=f(x)与 f(x)的含义是一样的,它们都表示 函数,其中 是自变量,f(x)是
4、函数值,连接的纽带是法则 .是单值对应. 是 的 (2)注意定义中的集合 A,B都是非空的数集,而不能是其他集合; (3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法. 3.对反函数概念的认识 (1)函数y=f(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数; (2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得. (3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲例1设M,a,b,c,,N,2,0,2,求(1)从M到N的映射种数; (2)从M到N的映射满足 f(a)f(b)?f(c),试确定
5、这样的映射f的种数.错解:(1)由于M,a,b,c,,N,2,0,2,,结合映射的概念,有 a ,2 a ,2 a 0 a 0 a 2 a 2 b 0, b 2, b 2, b ,2, b 0, b ,2,共6个映射 c 2 c 2 c ,2 c 2 c ,2 c 0 a 2 (2)由(1)得满足条件的映射仅有 b 0一种情况 c ,2 错因:没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清正解:(1)由于M,a,b,c,,N,2,0,2,,结合映射的概念,有 一共有27个映射 a 0 a 2 a 2 a 2 (2)符合条件的映射共有4个, b ,2, b ,2, b 0, b 0, c ,2
6、 c ,2 c ,2 c 0 例2已知函数f(x)的定义域为0,1,求函数f(x,1)的定义域错解:由于函数f(x)的定义域为0,1,即0 x 1, 1 x,1 2 ?f(x,1)的定义域是1,2错因:对函数定义域理解不透,不明白f(x)与f(u(x)定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白:f(x)中x取值的范围与f(u(x)中式子u(x)的取值范围一致就好了.正解:由于函数f(x)的定义域为0,1,即0 x 1?f(x,1)满足 0 x,1 1,1 x 0,?f(x,1)的定义域是,1,0*例3已知:x N,f(x) x,5 f(x,2)(x 6)(x 6),求f(3). 错解:? f(
7、x) x,5 x,3 x,5 f(x,2)(x 6)(x 6)(x 6)(x 6),?f(x,2) (x,2),5 x,3故f(x) ,?f(3),3,3,0.错因:没有理解分段函数的意义,f(3)的自变量是3,应代入f(x,2)中去,而不是代入x,5中,只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解. 正解:? f(x) x,5 f(x,2)(x 6)(x 6),?f(3),f(3,2) f(5),f(5,2) f(7),7-5,2 例4已知f(x)的反函数是f,1(x),如果f(x)与f ,1(x)的图像有交点,那么交点必在直线y x上,判断此命题是否正确, 错解:正确 错因:对互为反函数
8、的图像关于直线y x对称这一性质理解不深,比如函数y (1 16)与y logx1 161111x的图像的交点中,点(,),()不在直线y x上,由此可以2442 说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x上”是不正确的. 例5求函数y f(x) x2,4x,6,x 1,5)的值域.错解:f(1) 12,4 1,6 3,f(5) 52,4 5,6 11 11, 又x 1,5), f(x)的值域是 3,错因:对函数定义中,输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应,错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了. 2正解:配方,得y f(x) x,4x,6 (x,2),22 ?x 1,5),
9、对称轴是x 2?当x 2时,函数取最小值为f(2) 2, f(x) f(5) 1111, f(x)的值域是 2,例6已知f(x) 3x,4,求函数f,1(x,1)的解析式.错解:由已知得f(x,1) 3(x,1),4 3x,7 y 3x,7,即x y,73 ,?f ,1 (x,1) x,7 3 错因:将函数f ,1 (x,1)错误地认为是f(x,1)的反函数,是由于对函数表达式理解不透彻 ,1 所致,实际上f(x,1)与f再去得到f ,1 (x,1)并不是互为反函数,一般地应该由f(x)先求f ,1 (x), (x,1). 正解:因为f(x) 3x,4的反函数为f ,1 ,1 (x), x,4
10、3 , 所以f(x,1), (x,1),4 3 x,33 , 13 x,1 例7根据条件求下列各函数的解析式: (1)已知f(x)是二次函数,若f(0) 0,f(x,1) f(x),x,1,求f(x).(2 )已知f,1) x,,求f(x) 1 (3)若f(x)满足f(x),2f() ax,求f(x) x 解:(1)本题知道函数的类型,可采用待定系数法求解 设f(x),ax2,bx,c (a 0)由于f(0) 0得f(x) ax,bx, 2 又由f(x,1) f(x),x,1,?a(x,1)2,b(x,1) ax2,bx,x,1即 ax,(2a,b)x,a,b ax,(b,1)x,1 2a,b
11、 b,1 a 0 a,b 1 2 2 a b 12 因此:f(x), 12 x, 2 12 x (2)本题属于复合函数解析式问题,可采用换元法求解设u ,1(x 0), u,1(u 1) f(u) (u,1),2(u,1) u,1 2 ?f(x),x,1 (x 1) 2 2 (u 1) (3)由于f(x)为抽象函数,可以用消参法求解 用 1x 代x可得:f(),2f(x) a x 1 11x , 与 f(x),2f() ax x 联列可消去f()得:f(x), x 12a3x 3 点评:求函数解析式(1)若已知函数f(x)的类型,常采用待定系数法;(2)若已知fg(x) , ax . 表达式,
12、常采用换元法或采用凑合法;(3)若为抽象函数,常采用代换后消参法.例8 已知3x2,2y2 6x,试求x2,y2的最大值. 分析:要求x2,y2的最大值,由已知条件很快将x2,y2变为一元二次函数 f(x) , 12 (x,3), 2 92 ,然后求极值点的x值,联系到y 2 0,这一条件,既快又准地求 出最大值. 解 由 3x,2y 6x得 y 2 22 , 2 32 x,3x. 2 y 0, , 3232 x,3x 0, 0 x 2. 2 又x,y x, 222 x,3x , 2 12 (x,3), 2 92 , 22 当x 2时,x,y有最大值,最大值为, 12 (2,3), 2 92
13、4. 点评:上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下: 由 3x2,2y2 6x得 y , 2 32 x,3x, 2 x,y 22 x, 2 32 x,3x , 2 12 (x,3), 2 92 , 22 当x 3时,x,y取最大值,最大值为 9 2 这种解法由于忽略了y 0这一条件,致使计算结果出现错误.因此,要注意审题,不仅能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注意主要的已知条件,又要注意次要条件,甚至有些问题的观察要从相应的图像着手,这样才能正确地解题.例9设f(x)是R上的函数,且满足f(0) 1,并且对任意的实数x,y都有 f(x,
14、y) f(x),y(2x,y,1),求f(x)的表达式. 2 解法一:由f(0) 1,f(x,y) f(x),y(2x,y,1),设x y, 得f(0) f(x),x(2x,x,1),所以f(x),x2,x,1 解法二:令x 0,得f(0,y) f(0),y(,y,1) 即f(,y) 1,y(,y,1)又将,y用x代换到上式中得f(x),x2,x,1点评:所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.具体取什么特殊值,根据题目特征而定. 四、典型习题导练 1. 已知函数f(x),x?F,那么集合(x,y)|y=f(x),x?F
15、?(x,y)|x=1,中所含元素的个数是( ) 2.对函数f(x) 3x2,ax,b作代换x=g(t),则总不改变f(x)值域的代换是( ) A.g(t) log t A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 12 B.g(t) () 21tC.g(t)=(t,1)2 D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示,那么方程f(2,x,y)=0的曲线是 ( ) A B C D 19 4.函数f(x), |x,n|的最小值为 i,1 A(190 B.171 C.90 D.45 5. 若函数f(x)= A.3 mx4x,334(x?)在定义域内恒有f,f(x),=x,则m等于( )
16、3 22 6.已知函数f(x)满足:f(a,b) f(a) f(b),f(1) 2,则 B. C.,3 D.,3 f(1),f(2) f(1)2,f(2),f(4) f(3)2,f(3),f(6) f(5)2,f(4),f(8) f(7)2 7.已知函数f(x)满足f(logax)= 8.已知函数f(x)是函数y y 4,3x x,1aa,12(x,1x) (其中a0,a?1,x0),求f(x)的表达式. 210,1x,1(x R)的反函数,函数g(x)的图像与函数的图像关于直线y,x,1成轴对称图形,记F(x),f(x)+g(x). (1)求函数F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数F
17、(x)的图像上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A、B两点的坐标;若不存在,说明理由. ?2.2函数的性质 一、知识导学 1.函数的单调性: (1)增函数:一般地,设函数y f(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1,x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. (2)减函数:一般地,设函数y f(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1,x2时,都有f(x1),f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函 数. (3)单调性(单调区间)如y=f(x)在某
18、个区间上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性: (1)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x) =,f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. (2)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x) =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. (3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说f(x)具有奇偶性. 3.函数的图像:将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就 得到平面内的一个点(x0,f(x0),当自变量取遍函数定义域内的每一
19、个值时,就得到一系列 这样的点,所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数y=f(x)的图像. 二、疑难知识导析 1. 对函数单调性的理解, 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论,函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质:函数的定义域关于原点对称.这是
20、函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 3. 用列表描点法总能作出函数的图像,但是不了解函数本身的特点,就无法了解函数图像的特点,如二次函数图像是抛物线,如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴,盲 目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 例1判断函数y (),x的单调性. 31 错解: 0 11,x
21、 1, y ()是减函数 33 错因:概念不清,导致判断错误.这是一个复合函数,而复合函数的单调性(或单调区间),仍是从基础函数的单调性(或单调区间)分析,但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为y 3x,从而可判断出其单调性. 正解: 令t ,x,则该函数在R上是减函数,又 0 ? y ()31,x11t 1, y ()在R上是减函数,33是增函数 例2 判断函数f(x) (1,x的奇偶性. 错解 :?f(x) (1,x ?f(,x) f(x) ?f(x) (1,x 错因:对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的
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