最新高中数学函数知识点经典总结96956优秀名师资料.doc
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1、高中数学函数知识点经典总结96956高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 ,如:集合A,x|y,lgx,B,y|y,lgx,C,(x,y)|y,lgx,A、B、C中元素各表示什么, A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 2如:集合,AxxxBxax,|2301 ,若,则实数的值构成的集合为BAa, 1,(答:,),10 ,3,显然,这里很容易
2、解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: n()集合,的所有子集的个数是;12aaa ,12n要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a, a,123nn22a,都有2种选择,所以,总共有种选择, 即集合A有个子集。 nnn221,当然,我们也要注意到,这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为,n22,非空真子集个数为 ()若,;2ABABAABB,:(3
3、)德摩根定律: CCCCCCABABABAB:,, ,UUUUUU有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) ax,5 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x,035MMMa2xa,的取值范围。 a?35,(?,?3,M,023,a5,, ,a1,):925,,,3,a?55,?,?5,M,025,a2(,1),注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax+bx+c(a0) 在上单(1,),,调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就
4、是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”()()().,,“且”和“非”若为真,当且仅当、均为真pqpq, 若为真,当且仅当、至少有一个为真pqpq, 若为真,当且仅当为假,pp 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A,x|xB,x|xpq 满足条件,满足条件, ,A_B若 ;则是的充分非必要条件; pq,A_B若 ;则是的必要非充分条件; pq,A_B若 ;则是的充要条件; pq,_若 ;则是的既非充分又非必要条件;
5、 pq7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射, (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) m注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有n个。 A,1,2,3,4B,a,b,cABBAAB如:若,;问:到的映射有 个,到的映射有 个;到的函数A,1,2,3AB有 个,若,则到的一一映射有 个。 y,(x)函数的图象与直线交点的个数为 个。 x,a8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (
6、两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, xx4,,(答:,)022334: 例:函数的定义域是y,,2lgx,3,函数定义域求法: , 分式中的分母不为零; , 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; , 指数式的底数大于零且不等于一; , 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ,y,tanxxR,且xk,k,,, 正切函数 ,2,y,cotx, 余切函数 ,x,R,且x,k,k, 反三角函数的定义域 函数y,arcsinx的定义域是 ,1, 1 ,值域是,函数y,arccosx的定义域是 ,1, 1 ,值域是 0, ,函数y,arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数
7、y,arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数的定义域是,则函数的定fxabbaF(xfxfx()()(),,,0 ,(答:,)aa,义域是_。 ,y,f(x)m,g(x),n复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的,m,ny,fg(x)范围,即为的定义域。 ,y,fg(x)1,y,f(x)例 若函数的定义域为,2,则的定义域为 。 f(logx)2,2,111,y,f(x),2分析:由函数的定义域
8、为可知:;所以中有。 ,x,2y,f(logx),logx,222,222,1解:依题意知: ,logx,222解之,得 2,x,4? 的定义域为, x|2,x,4f(logx)211、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 1例 求函数y=的值域 x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2x例、求函数y=-2x+5,x-1,2的值域。 ,3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂 ba y.,型:
9、直接用不等式性质2k+xbxb. y,型,先化简,再用均值不等式2xmxn,x11 例:y,2121+xx+x2,xmxn, c y.,型 通常用判别式2xmxn,2xmxn,d. y,型 xn,法一:用判别式法二:用换元法,把分母替换掉22xx1,,(x+1)(x+1)+1 1 例:y,,,(x+1)1211x1x1x1,4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 3x,4例 求函数y=值域。 5x,65、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 xe,12s
10、in1,2sin1,例 求函数y=,的值域。 y,y,xe,11sin,1cos,,xey,,11xye,0x1,ye,12sin11,,y,y,|sin|1,1sin2,,y,2sin1,yy,,2sin1(1cos),1cos,,2sincos1,,yy,1,y24sin()1,sin(),,,,yxyx即,24,y1,y又由知sin()11,,x2,4,y解不等式,求出,就是要求的答案y6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 x,5,例求函数y=(2?x?10)的值域 x,1log237、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式
11、或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数y=x+的值域。 x,18 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 22例:已知点P(x.y)在圆x+y=1上, y (1)的取值范围x,2(2)y-2x的取值范围y 解:(1)令则是一条过,,kykx,(2),(-2,0)的直线. x,2d,Rd(为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xbyxbR,20,即也是直线d d 22例求函数y=+的值域。 (x,2)(x,8)解:原
12、函数可化简得:y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P在线段AB上时, y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为:10,+?) 22例求函数y=+ 的值域 ,6x,13,4x,5xx2222解:原函数可变形为:y=,+ (x,3)(0,2)(x,2)(0,1)上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 22,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=?AB?=, 43(3
13、,2)(2,1)min故所求函数的值域为,+?)。 43注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法 ,利用基本不等式a+b?2,a+b+c?3(a,b,c?),求函数的最值,其题型特征解析式是和式3abcabR时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例: 22x,,x (0) x2x(3-2x)(0x1.5)1111322 =xx,,,,333xx+3-2x,xxxx()1 =xx(3-2x),33 (应用公式a+b+c,abc时,注意使者的乘积变成常数)333abc,() (应用公式abc,时,应注意使3者之和变成常数) 3倒数法 有时,直接
14、看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 x,2例 求函数y=的值域 x,3x,2y,x,3x,,20时,12111x,,,,xy220 y2xx,22xy,,20时,=01?,0y2多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗, 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 x 如:,求fxexf
15、x,,,1().,令,则txt,,,102 ?xt,12t,12?ftet(),,,1 2x,12?fxexx(),,,10 ,13. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 10,,xx,,, 如:求函数的反函数fx(),2,xx0,,,xx,11,,1 (答:)fx,(),xx0,,,在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数的反函数是( B ) y,x,1,1(x,1)22 A(y=x,2x+2(x1) B(y=x,2x+2(x?1)
16、22 C(y=x,2x (x=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1, 答案为B. 我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢, 14. 反函数的性质有哪些, 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y) 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x) 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称 ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ,1 ?设的定义域为,值域为,则y
17、f(x)ACaAbCf(a)=bf,()ba,111?,ffafbaffbfab()()()(), ,由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 4,1(04. 上海春季高考)已知函数,则方程的解_. f(x),4f(x),log(,2)x,3x15 . 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得x,x,找出f(x),f(x)之间的大小关系 1212fxfx()(),fx()121可以变形为求的正负号或者与1的关系 fx()xx,122(2)参照图象: ?若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)
18、在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ?若函数f(x)的图象关于直线x,a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ?函数f(x)与f(x),c(c是常数)是同向变化的 ?函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c,0时,它们是同向变化的;当c,0时,它们是反向变化的。 ?如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x),f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ?如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变
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