最新高中数学抛物线_高考经典例题优秀名师资料.doc
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1、高中数学抛物线_高考经典例题导读:就爱阅读网友为您分享以下“高中数学抛物线_高考经典例题”的资讯,希望对您有所帮助,感谢您对的支持! 1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线( 2抛物线的图形和性质: ?顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ?焦准距:FK?p ?通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ?顶点平分焦点到准线的垂线段:OF?OK?p。 2M2PC?焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、 N准线是公切线。 KoF?焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过
2、顶点垂直于轴的直线相切。所有这样 1 M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ?焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式: y2?2px,y2?2px,x2?2py,x2?2py。4抛物线y2?2px的图像和性质: yM2?p?焦点坐标是:?,0?, ?2?准线方程是:x?Pp。 2KM1oFQx?焦半径公式:若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:PF?x0?p, 2pp?x2?x1?x2?p 222?焦点弦长公式:过焦点弦长PQ?x1?2y22?抛物线y?2
3、px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)其中y?2px? 2p5一般情况归纳: 方程 图象 k0时开口向右 焦点 准线 定义特征 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ?k/4的距离 y=kx k0时开口向上 (0,k/4) k例1:点M与点F (,4,0)的距离比它到直线l:x,6=0的距离4.2,求点M的轨迹方分析:点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义( 2 答案:y=,16x 2 例2:斜率为1的直线l经过抛物线y=4x的焦点,与抛物2 线相交于点A、B,求线段A、长( 程( B的 分析:这是灵活运用抛物线定义的题目(基本思路是
4、:把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和( 2 解:如图8,3,1,y=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x,1( ?y2?4x2由?消去y得x,6x+1=0( ?y?x?1设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6( 又A、B两点到准线的距离为A?,B?,则 AA?BB?x1?1?x2?1?x1?x2?2?6?2?8 点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。 2 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x,求它的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程; 2 (3) 已知抛物线方程为y=
5、,mx(m0)求它的焦点坐标和准线方程; (4) 求经过P (,4,,2)点的抛物线的标准方程; 分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,3 解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p0)(特别 2是(3)题,要先化为标准形式:x?11y,则2p?(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解( mm答案:(1) F?,0?,x?5?2?511?222 y?(2) x=12y (3) F?0,?,;(4) y=,x或x=,8y( ?24m4m?例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(,3,2); (2)焦点在直线x,2y,4=0
6、上 分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论 解:(1)设所求的抛物线方程为y2=,2px或x2=2py(p,0), ?过点(,3,2), ?4=,2p(,3)或9=2p2 ?p= 29或p= 34?所求的抛物线方程为y2=, 4919x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=, 3238(2)令x=0得y=,2,令y=0得x=4, ?抛物线的焦点为(4,0)或(0,,2) 当焦点为(4,0)时, p=4, 2p=2, 2?p=8,此时抛物线方程y2=16x; 焦点为(0,,2)时, ?p
7、=4,此时抛物线方程为x2=,8y ?所求的抛物线的方4 程为y2=16x或x2=,8y, 对应的准线方程分别是x=,4,y=2 常用结论 ? 过抛物线y2,2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ? 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2,2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2,p2 ? 设A, B是抛物线y2,2px上的两点,O为原点, 则OA?OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0) 22 例5:过抛物线y=2px (p0)的顶点O作弦OA?OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=,4p( 分析:由OA?OB,得到OA、OB
8、斜率之积等于,1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系(又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程(从这几个关系式可以得到y1、y2的值( 证:由OA?OB,得KOA?KOB22y1y2y12y2y12y2,x2?,所以:x1x2?,即?1,即y1y2=,x1x2,又x1?x1x22p2p4p22y12y22 ( 而yy1y2?1y2?0(所以y1y2=,4p( 4p2弦的问题 例1 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,满足OA?OB(O为坐标原点)求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值; 5 (2)直线AB经过一个定点 (3)作OM?AB
9、于M,求点M的轨迹方程 解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, ?y12y22=4p2x1x2, ?OA?OB, ?x1x2+y1y2=0, 由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=?4p2 (定值) (2)直线AB的斜率k= y2?y1y2?y12p=2=, 2x2?x1y2y1y1?y2?2p2py122p?直线AB的方程为y?y1=(x?), y1?y22p即y(y1+y2)?y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0) 2p(x?2p), y1?y2(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= 2p(x?
10、2p) (i), y1?y2y2p= ?1 (ii) xy1?y2又AB?OM, 故两直线的斜率之积为?1, 即 由(i),(ii)得x2?2px+y2=0 (x?0) 解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出 例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标 解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= x1?x2y?y2, y=1, 6 22又设点A,B,M在准线l:x=?1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N, 则|A
11、F|=|AA/|=x1+ 11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115?x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|?)?(|AB|?)= 222224等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x? 1) 41?y?k(x?)由?4得16k2x2?8(k2+2)x+k2=0 ?y2?x?1?k2 依题意|AB|=1?k|x1?x2|=1?k=3, 22k16k228(k2?2)51?k=1/2, 此时x=(x1+x2)= 22?16k242 ?y= ?55222即M(,), N(,?) 42422例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线y?x2?2相交于B、C两点,点B
12、、C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段BC 上的点,且适合 BB1BP?,求?POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 PCCC1解析: 设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y) ?BB1yBP?1?, ?y0?PCCC1y2y1?y1?y2y22y1y2? y1y1?y21?y2?y?x2?2222由?得y?(k?4k)y?6k?0 ?y?k(x?2)2?6k212k?y0?2? ? k?4kk?4又 y0?k代入?式得y0?4x0?4 ? x0?2x0?2?x?x0?3x?2?3由?得? 代入?式得:12x?3y?4?0 7 y?3yy?0?y?
13、0?3?由?0得k?4?26或k?4?26, 又由?式知y0关于k是减函数且y0?12 ?12?46?y0?12?46, 4?4646?y?4?且y?4 33所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x?3y?4?0 (4?4646?y?4?且y?4) 332例4 已知抛物线y?2px,(p?0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?BF?8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ?求抛物线方程; ?求?ABS面积的最大值 解: ?设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0) 由AF?BF?8得x1?x2?p?8,?x0?4?p 22?p?y1?2px12
14、2 又? 得y1?y2?2p(x1?x2),?y0? 2k?y2?2px2pppk所以 M(4?,) 依题意?k?1, ?p?4 p2k4?62抛物线方程为 y2?8x ?由M(2,y0)及kl?令y?0得xK?2?44, lAB:y?y0?(x?2) y0y012y0 4 又由y2?8x和lAB:y?y0?42(x?2)得: y2?2y0y?2y0?16?0 y0?S?ABS?111222?KS?y2?y1?(4?y0)4y0?4(2y0?16) 224?S?ABS?14222(16?y0)(32?2y0)?264364()?6 839例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动
15、,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M 的坐标 解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= 8 x1?x2y?y2, y=1, 22又设点A,B,M在准线l:x=?1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N, 则|AF|=|AA/|=x1+ 11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115?x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|?)?(|AB|?)= 222224等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x? 1) 41?y?k(x?)?由?4得16k2x2?8(k2+2)x+k2=0 ?y2?x?1?k2
16、 依题意|AB|=1?k|x1?x2|=1?k=3, 22k16k228(k2?2)51?k=1/2, 此时x=(x1+x2)= 22?16k242 ?y= ? 55222即M(,), N(,?) 42422 综合类(几何) 例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴, 2解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ/x轴,为此,将方程y?2px,y?k(x?p)联立,2解出 p(k2?1?1)2p(1?k2?1)p(k2?1?1)2p(1?k2?1)P(,),Q(,) kk2k22k2直线OP的方
17、程为9 y?2k(1?k2?1)(k2?1?1)2?2(1?k2?1)x,即y?x. kp(1?k2?1)p令x?,得M点纵坐标yM?yQ得证( 2k由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐( 思路二:利用命题“如果过抛物线y2?2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为y1、y2,那么y1y2?p2”来证( 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3),并从y2?2px及y?k(x?p)中消去x,得到ky2?2py?kp2?0,则有结论2?p2( y1y2?p,即y2?y12又直线OP的方程为y?py1py1( x, x?,得y3?22x1x12y因为P(x1,y1)
18、在抛物线上,所以2x1?1( ppy1pp2从而y3?(?py1)?2?y2( 2x1y1y1这一证法运算较小( 2yp思路三:直线MQ的方程为y?yo的充要条件是M(?,y0),Q(0,y0)( 22p将直线MO的方程y?2py2y0p和直线QF的方程y?202(x?)联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去yo的p2yo?p充要条件是点P在抛物线上,得证(这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小( 说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立( 例2 已知过抛物线y?2px(p?0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的
19、弧AB上一10 点,求?RAB的最大面积( 分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以AB为三角形的底,只要确定高的最大值即可( 解:设AB所在的直线方程为y?x?2p( 2将其代入抛物线方程y2?2px,消去x得y2?2py?p2?0 ?AB?2y1?y2?2?(y1?y2)2?4y1y2?4p 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,?RAB的面积有最大值( 设直线l方程为y?x?b(代入抛物线方程得y2?2py?2pb?0 由?4p2?8pb?0,得b?RAB的最大面积为 pp2,这时R(,p)(它到AB的距离为h?p 2221AB?h?2p2( 2例3 直线l1
20、过点M(?1,0),与抛物线y2?4x交于P1、P2两点,P是线段P1P2的中点,直线l2过P和抛物线的焦点F,设直线l1的斜率为k( (1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k); (2)求出f(k)的定义域及单调区间( 分析:l2过点P及F,利用两点的斜率公式,可将l2的斜率用k表示出来,从而写出f(k),由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间( 解:(1)设l1的方程为:y?k(x?1),将它代入方程y2?4x,得 k2x2?(2k2?4)x?k2?0 11 4?2k22?k2,x?设P 1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),则x1?x2?22kk2
21、?k22?k222,)( 将x?代入y?k(x?1)得:y?,即P点坐标为(kk2k2k2k2k由y?4x,知焦点F(1,0),?直线l2的斜率k2? ?222?k1?k?1k2?函数f(k)?1( 21?k224(2)?l2与抛物线有两上交点,?k?0且?(2k?4)?4k?0 解得?1?k?0或0?k?1 ?函数f?(k)的定义域为k?1?k?0或0?k?1 当k?(?1,0)时,f(k)为增函数( 例4 如图所示:直线l过抛物线y?2px的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线( 分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一
22、方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论( 2?证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0( 2设C、D的坐标分别为(2pt12,2pt1)与(2pt2,2pt2)(则kCD?1 t1?t2?l的方程为y?(t1?t2)?(x?直线l平分弦CD p) 222?CD的中点(p(t1?t2),p(t1?t2)在直线l上, 22即p(t1?t2)?(t1?t2)p(t1?t2)?22由p(t1?t2)?0知t1?t2?p12,化简得:p(t1?t2
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