最新高中数学竞赛训练题(函数二)优秀名师资料.doc
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1、高中数学竞赛训练题(函数二)高一数学竞赛训练(二) 函 数 【知识精要】 1(对于抽象函数,常见的处理途径包括:(1)赋值;(2)联想对应的具体函数;(3)模拟画像,即数形结合。如练习1。 2(若函数为单调的奇函数,且,则。若遇两个式子结构相同,不妨依此fx()fxfx()()0,,xx,,01212构造函数,若刚好函数能满足上述性质,则可解之。如例2及练习2。 3(对于一元二次方程的韦达定理,和一元二次函数的图象有关的对称、最值问题要了如指掌。同时要弄清2一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间关系,如已知一元二次方程的根为,xx,axbxc,,0122则可设。如例4及练习4。 fxa
2、xbxcaxxxx()()(),,,124(若遇到条件是不等式,结论是等式,往往是利用两个模型解决:(1),则,如例5; AaA,Aa,22(2),则。 xayb,()()0xayb,,,【例题精讲】+【习题精练】 例1:(第二届美国数学邀请赛)定义在实数集上,且对于一切实数满足等式:和fx()fxfx(2)(2),,x,设是的一个根,记在区间中的根个数为,fxfx(7)(7),,fx()0,fx()0,1000,1000,x,0N求的最小值。 N解:, fxfxfxfx(10)7(3)7(3)(4),,,,,,,,fxfxfx2(2)2(2)()故是以10为周期的函数。有,即,在内方程至少有
3、两个根, fx()ff(22)(22)0,,f(4)0,0,10)而计200个周期,所以至少有=401个根,即。 1000,1000,N,40120021,min练习1:(2005广东高考)设函数在上满足, 且在fx(),,,fxfx(2)(2),,fxfx(7)(7),,闭区间上,只有。 0,7ff(1)(3)0,(1)试判断函数的奇偶性; yfx,()(2)试求方程在闭区间上根的个数,并证明你的结论。 fx()0,2005,2005,22例2:求的图象与轴交点坐标。 yxxxxxx,,,,(31)(9651)(23)(412131)x22解: yxxxx,,,,(31)(31)41)(23
4、)(23)41)2令,可知是奇函数,且严格单调,所以 fttt()(41),,ft(),当时, yfxfx,,,(31)(23)fxfxfx(31)(23)(32),y,044所以,故,即图象和轴交点坐标为 x3132xx,(,0)x,5555练习2:已知实数满足,求4x,y的值。 xy,(3)40xyxxy,,1 ,例3:设函数且严格递增,当互质时,若求mn,fmnfmfn()()(),f(19)19,fNN:,的值。 fff(19)(98),解:由及,得,又取值为整数且严格单调递增,所以fff(119)(1)(19),,f(19)19,f(1)1,fn(),又,从而必有 fff(2)2,(
5、3)3,(18)18,ffff(99)(911)(9)(11)91199,,,,,,所以= fff(20)20,(21)21,(98)98,fff(19)(98),f(1998),=,即=1862。 又19和98互质,f(1998),ff(19)(98)1862,fff(19)(98),,练习3:设函数且严格递增,求 ffnn()3,fff(1)(9)(36),fNN:,abaabb例4:已知,试判断实数的大小关系,并证明之。 31317,5711,,,,ab,bbb解:令,则,可见。猜想 a,11314,5711,,b,1ab,ababaabaababbb下面利用反证法证明:若,则 1313
6、,55,?,,,,,,,,17313313,115757ab,3135731357aabbxxxx即而函数和在R上均为减函,,,,fx,,gx,,()()()()()()()()1,()()1,1717111117171111313165712数,且 ffaggb(1)1(),(1)1(),,,,,171717111111这与矛盾,故。 ?,ab1,1.ab,ab,1979练习4:已知,求的首位数字。 0.301029lg20.301030,0.477120lg30.477121,2000axb,例5:(第15届美国数学邀请赛)已知为非零实数,且。abc,ff(19)19,(97)97,fxx
7、R(),cxd,d若当时,对于任意实数,均有,试求出值域以外的唯一数。 ffxx(),fx()xx,cdaxb,222ab,,解:当时,有,则,化简得, ffxx(),()()()0adcxdaxbad,,,,x,cxd,,xcaxb,cd,,cxd,d22由于该方程对恒成立,故则。 adda,,0,0,da,x,caxb,又,即19,97是方程的两根,即19,97是方程 ff(19)19,(97)97,xcxd,adb,2的两根,由韦达定理得结合 cxdaxb,,()0,116,1843,da,cc818431521x,得,从而 acbcdc,58,1843,58fx()58,,xx,585
8、8故取不到58这个数,即58是的值域外的唯一数。 fx()fx()2练习5:已知函数,方程的两个根为,且 fxx(),xx,xx,2fxxbxc(),,1212(1)求证:xx,也是方程ffxx(),的根; 12(2)设ffxx(),的另两个根是xx,,且xx,,试判断xx,xx,的大小。 343412342 练习1解:(1)若函数有奇偶性,则无论奇偶,由有,又,yfx,()f(1)0,f(1)0,fxfx(2)(2),,令,则,与在闭区间上,只有矛盾,故ffff(1)(23)(23)(5)0,,,ff(1)(3)0,0,7x,3,函数无奇偶性。 yfx,()f(2,x),f(2,x)f(x)
9、,f(4,x),f(x),f(x,10)(II)由 ,f(4,x),f(14,x),f(7,x),f(7,x)f(x),f(14,x),又 f(3),f(1),0,f(11),f(13),f(,7),f(,9),0故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005,0上有400y,f(x)个解,所以函数在-2005,2005上有802个解。 y,f(x)555练习2解:由已知有,令,可知该函数是奇函数,且严格单(3)(3)0xyxxyx,,Fxxx(),,调递增,故,即 FxyFx(3)()0,,(3)0xyx,,练习3解:由,将换为,有,又
10、将原式两边取函数值有ffnn()3,fn()fffnfn()3(),n,故。 fffnfn()(3),fnfn(3)3(),若,则矛盾,故设, f(1)1,fff(1)(1)3,fa(1)1,,此时,所以, fffa(1)()3,1(1)()3,ffaf(1)2,fff(2)(1)3,,中间必有 ff(3)3(1)6,ff(6)3(2)9,ff(4)7,(5)8,, ff(9)3(3)18,ffff(12)3(4)21,(36)3(12)63,所以 fff(1)(9)(36),,831979练习4解:=1979 lg20001979(3lg2),,lg200019791979。故为,位数, ,
11、lg20006532.73837?6532.73639120000.698970lg50.698971,由,得 lg51lg2,lg6lg2lg3,,,lg50.7363910.73837lg6,0.778149lg60.778151,1979说明的首位数字是,。 2000练习5解:(1)易证。 (2)由方程的两个根为,设 fxx()0,xx,fxxxxxx()()(),1212所以 ffxxfxxfxx()()(),,,fxx()12()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxx,,,,,,,12112212 ,,,,()()(1)(1)1xxxxxxxx1212记,则是的
12、两根,而 gxxxxx()(1)(1)1,,,,xx,gx()0,1234,且, 故。 gxxxgxxx()20,()20,,,,,xx,xxxx,1122213442313 二 次 函 数 二次函数在中学数学中起着十分重要的作用,也是初等数学中遇到比较多的函数之一,形如2的函数,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有联系,与f(x),ax,bx,c(a,0)之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因此有必要进一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧( 2二次函数的主要性质: f(x),ax,bx,c(a,0)定义域为;图象是对
13、称轴平行于轴(或与轴重合)的抛物线;当,0时,抛物线开口向上方,Ryyab2b,,4ac,b函数的值域是,当(,?,)时,是减函数,当,,?时,是增函,f(x)f(x)x,x,,,2a2a4a,,2b,,4ac,b数;当,0时,抛物线开口向下方,函数的值域是,当(,?,)时,是增函,f(x)ax,2a4a,,2数,当,,?)时,是减函数(当,0时,函数的图象与轴有两个不同的交点,它们分f(x)x,xb,4ac22,b,b,ac,b,b,ac442别是(),();=0时,函数的图象与轴有两个重合的交,0,0xb,4acaa22b2点(,0),这时也称抛物线与轴相切, ,0时,函数的图象与轴没有交
14、点( xxb,4ac2a2函数的图象是连续的(一个有用的结论是,在区间端点处的函数值异f(x),ax,bx,c(a,0)p,q号,即,0时,方程=0在()内恰有一个实根(抛物线的凸性也有一定用途,,0时,f(p),f(q)f(x)p,qa()()x,xfx,fx1212函数的图象是下凸形曲线,即对于任意,有?;,0时, 函数的图x,x,R()af1222()()x,xfx,fx1212象是上凸形曲线,即对于任意,有?利用二次函数图象的凸性和单调x,x,R()f1222性,在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式( 一(含有参变数的二次函数 2对于二次函数,当、固定时,此二次
15、函数唯一确定,它的图象是一f(x),ax,bx,c(a,0)acb条抛物线;若、固定时,可以在某个范围内变动,则它的图象可能是“一族”抛物线,对于、caacbb的不同范围和条件,得到的抛物线族具有不同的特征,如何确定这些特征,就因题而异了( 例题分析: 221( 集合A=,B=,AB,求实数的取值集合( y|y,x,2x,4y|y,ax,2x,4a,a2222AB解:、分别表示函数与函数值域(由?3y,x,2x,4y,ax,2x,4ax,2x,4,(x,1),3AB知=3,?)(而受参数的影响,要进行讨论( a=0时,值域是R符合条件AB( y,2x,a1,,2,4a,?0时,=是二次函数,如
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