最新高中数学第讲联想“模型函数”破解抽象函数题(可编辑)优秀名师资料.doc
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1、高中数学第讲联想“模型函数”破解抽象函数题(可编辑)联想“模型函数”破解抽象函数题 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开.然而抽象来源于具体,抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数fx满足fx+yfx+fy,可联想到fxkxk?0,有fx1kx1 ,fx2kx2,fx1+x2kx1+x2kx1+kx2fx1+fx2,则ykx就可以作为抽象函数fx满足fx+yfx+fy的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程
2、及心理变化规律可知,由抽象函数的结构,联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”,并由“模型函数”的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解,是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此,本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”,通过联想“模型函数”来破解抽象函数题. 一、中学阶段学过的常见“模型函数” 抽象函数 模型函数 fx+yfx+fy ykx(k为常数) fx+yfx+fy-a ykx+a(k,a为常数) fx+yfx?fy yax(a0且a?1) fxyfx+fy y a0且a?1 fxyfx fy yxn(n为常数) 注:记忆方法:如和的函数等于函数的
3、积对应的模型函数为指数函数,而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等. 二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析 【例1】已知函数fx对于任意实数x、y都有fx+yfx+fy,且当x0时,fx 0,f-1-2,求函数fx在区间-2,1上的值域. 联想:由fx+yfx+fy联想“模型函数”ykx(k为常数)为奇函数,k0时为增函数,从而猜测:fx为奇函数且fx为R上的单调增函数,且fx在-2,1上有fx?-4,2. 解析:设x10, ?fx2-x10, ?fx2-fx1fx2-x1+x1-fx1fx2-x1+fx1-fx1fx2-x10, ?fx2fx1,?fx为R上的单调增函数. 令xy
4、0,则f00,令y-x,则f-x-fx,?fx为R上的奇函数. ?f-1-f1-2 , ?f12,f-22f-1-4,?-4?fx?2x?-2,1, 故fx在-2,1上的值域为-4,2 注意:由fx+yfx+fy断定fxkx(k为常数)是错误的,犯了用特殊代替一般的错误(解客观题还是可以).我们只能借助fxkx(k为常数)来猜测fx的性质,为解题指明方向,至于fx的性质的得出,我们还是要由相关定义来严格证明,决不能含含糊糊. 【例2】函数对任意、R,都有,并且当时,.(1)求证:是R上的增函数; (2)若,解不等式. 联想:由联想“模型函数”ykx+1(k为常数),由条件易知k0,从而猜测:f
5、x为R上的单调增函数, 解析:(1)证明:设、?R,且,则,?, .即,?是R上的增函数. (2),?. 不等式即为, ?是R上的增函数,于是,解之得. 【例3】已知函数fx对于一切实数x、y满足f0?0,fx+yfxfy,且当x1,(1)当x0时,求fx的取值范围;(2)判断fx在R上的单调性 联想:由fx+yfxfy联想“模型函数”yax(a0,a?1),当a1时为单调增函数,且x0时,y1,x0时,0y1;0a1时为单调减函数,且x1,x0时,0y0时,0fx0,则-x1, 又f0fx-xfxf-x1, ?f-x 1,?0fx1 (2)设x1、x2?R ,且x1x2,则x1-x21, 则
6、1 ?fx1fx2, ?fx在R上为单调减函数 【例4】设函数定义在R上,对任意实数,恒有,且当时,. (1)求证:,且当时,; (2)求证:在R上递减; (3)设集合, 若,求的取值范围. (1)证明:在中,令,得, ?,?. 设,则,令,代入条件式有, 而,?. (2)证明:设,则,?. 令,则代入条件式, 得,即,?, ?在R上单调递减. (3)解:由, 又由(2)知为R上的递减,?点集表示圆的内部. 由得点集表示直线. ?,?直线与圆相离或相切. 于是. 【例5】已知函数fx定义域为0,+?且单调递增,满足f41,fxyfx+fy, (1)证明f10;(2)求f16;(3)若fx+fx
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