最新高等工程数学练习题及其答案优秀名师资料.doc
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1、高等工程数学练习题及其答案高等工程数学练习题 (2012年12月16) 1. 位男士和位女士排成一行,要求男女相间,求有多少种不同的排法, nn把n个男、n个女分别进行全排列,然后按乘法法则放到一起,而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2?(n!) 个 个人围圆圈坐下做游戏,求不同的坐法数,若某两人不愿坐在一起,有多少种不同的2. n坐法? 若有3人总是坐在一起,又有多少种不同的坐法, A: Q(n ,n)=(n-1)!; B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2=(n-1)!- (n-2)! *2 C: Q(n-2,n-2) *3= (n-3)! *3 3. 书架上有一部24卷
2、的百科全书,现要从中取出5本,使得没有两本书是连续的,问有多少种不同的取法, C(24-5+1,5)=C(20,5) j,14. 设 (1)证明最大元素恰为的子集的个数是;(2)证明:2jAn,,1,2,3,(1).?21mm,122221.,,? A、最大元素恰为的子集的个数,相当于前j-1个元素,每个元素出现或不出现的情况构j成的所有子集的数量,每个元素出现或不出现2种可能,因此j-1个2相乘即为所有的情况,j,1即。 2B:等比数列a1=2,q=2 右侧为1+(2*(1-2m)/1-2)=2(m+1)-2+1=2(m+1)-1=左侧 2222nnnnn2,,,?5. 证明等式: ,012
3、nn,C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n); C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1); C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0n C(n k)相当于(0 0)到直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)的路径 C(n n-k) 相当于直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)到(n n)的路径 根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于(0 0)点通过直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)到(n n)的路径 左侧为(0 0)点通过直线(n 0)(0 n)上所有点到(n n)的路径相加 由于(0 0)点到
4、达(n n)的所有路径均通过直线(n 0)(0 n),所以根据加法原理左侧为(0 0)点到(n n)的所有路径即等于(2n n) 6. 证明恒等式: nrnrnrnmrmnr,,,,,,11221, ,,?,mmmmm011220,(-r-1,0)到(-1,i)路径为c(r+i,i) 1 (-1,i)到(0,i)路径为1 (0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i) 根据乘法原理,c(r+i,i) c(n-i.m-i)为(-r-1,0)经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径 左侧为i取0至m,(-r-1,0)经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和,
5、右侧围(-r-1,0)到(n-m,m)点的路径 左右相等 rn,7. 求不定方程的非负整数解的个数;设,求不定xxxxrnrZ,,?(,)123n,方程的正整数解的个数. C(n+r-1,r) C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球,球数量变成r-n,再求解。 8. 求集合完全可重排列数. Sabcd,3,4,3,4n=14 r=14 N=14!/(3!*4!*3!*4!) 9. 试求个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案? n相当于n个球放入6个不一样的盒子,C(n+6-1,n) 10. 设凸边形的任意三条对角线不共点, 试求这个凸边形的对角线交于多少个点?
6、 nn每个交点只有两个对角线通过,对应了4个顶点所组成的一个组合,不同的交点对应的组合也不相同,故共有C(n,4)个交点 AB11. 求由组成的长为的允许重复的排列中, 至少出现一次的排列的ABCD,nn(4),数目. |A|=|B|=3n |AB|=2n |S|=4n =4n-2*3n+2n 12. 在10个数的全排列中: (1) 恰有4个数在原来位置上的排列数; (2) 至少有31,2,3,10?3个数在原来位置上的排列数; (3) 恰有个数不在原来位置上的排列数; (4) 奇数都在奇数位上, 偶数都在偶数位上, 但没有一个数在原来位置上的排列的个数. 1、C(10,6)D6 2、10!-
7、C(10,8)D8 相当于减去1、2个数的错排 3、C(10,3)D3 4、相当于2组5个数错排的乘法D5*D5 13. 求解下列递推关系式: aaa,,14490; (1) nnn,12X2+14X+49=0 X=-7是二重根 An=(A+Bn)(-7)n aaaaa,,,12270,1,1. (2) nnn,12012 X2-12x+27=0 X=3 x=9 An=a3n+b9n a+b=-1 3a+9b=1 a=-5/3 b=2/3 an=-5*3(n-1)+2*3(2n-1) aaaan,,61280,(3),nnnn,123 (3) ,aaa,1,2,4012,X3+6x2+12X+
8、8=0 X3+4x2+2x2+8x+4x+8=0 X2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=0 (X+2)(x2+4x+4)=0 (X+2)(x+2)2=0 (x+2)3=0 X=-2是三重根 An=(a+bn+cn2)(-2)n 1=(a+0+0)1 2=(a+b+c)*(-2) 4=(a+2b+4c)4 a=1,b=-4,c=2 an=(1-4n+2n2)*(-2)n aaaaan,,3520,(4),nnnnn,1234 (4) ,aaaa,1,2,1,10123,X4+x3-3x2-5x-2=0 X4+x3-3x2-3x-2x-2=0 X3(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=
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