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1、附录七 高等数学A(二)复习提纲一定积分的计算:1 基本计算方法:原函数法(公式)、换元法和分部积分法。2 特殊函数定积分计算: 区间在负轴上的定积分计算:设则。 周期函数定积分计算。 可积奇偶函数定积分计算:,注:奇偶函数的广义积分不一定有此性质。 分段函数定积分计算:利用积分可加性,把分段函数定积分化为非分段函数定积分之和。分段函数的变限函数计算必须分段讨论。 变限函数的定积分计算:用分部积分计算,此时变限函数选为。 特殊三角函数定积分计算公式: ; 设在上连续,则;。注:公式对不一定成立。但是有。 抽象函数导数的定积分计算:利用复合函数求导法则结合分部积分法计算,视抽象函数导数为。 n项
2、和式的极限计算:转化为某一连续函数在上的定积分计算。二变限函数导数计算及其应用:1 变限函数;的导数计算公式。2 利用变限函数的导数公式求变限函数的极限;讨论变限函数的单调性、极值、最值、凹凸性等。3 注: 的定义域是的可积区间。 必须掌握中自变量指的是积分上限变量,而不是指被积表达式中的变量x。若要计算的值,应及时把积分变量x换元成t或u()。三几何量:平面图形面积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体体积的计算必须根据图形采用适当坐标建立这些量的积分计算表达式。1 xoy坐标面上平面图形面积计算: 平面图形面积的直角坐标表示:利用平行于坐标轴的有向直线建立积分变量为x或y的积
3、分公式。 平面图形面积的极坐标表示:利用起点为原点的有向射线建立积分变量为的积分公式。2 体积: 平行截面面积为已知的立体体积公式:首先选取恰当的坐标轴即选取积分变量和积分区间。然后“切片”计算立体的截面面积。于是得到立体体积公式。 旋转体体积:设平面图形A在坐标面(xoy平面或yoz平面或zox平面)上。 若旋转轴为坐标轴,那么选旋转轴为积分变量建立体积的积分公式。 若旋转轴为平行于坐标轴的直线可用平移变换建立体积的积分公式或用平行截面面积为已知的立体体积公式。注:利用参数方程计算平面图形面积和旋转体体积时,必须先写出这些几何量计算的直角坐标积分表达式,然后把参数方程作为积分的变量代换化为这
4、些几何量的参数方程计算方法。3 弧长:注意在不同坐标内直接采用不同的弧长元素公式;在弧长积分公式中上限必须大于下限。 直角坐标: 设:,在连续可导,则,。 设:,在连续可导,则,。 参数方程:设:,在上连续可导。则,。 极坐标:设:,在上连续可导。则,。四功和水压力的计算:1 变力沿轴由到做的功。2 抽提运动功的计算和水压力的计算必须利用元素法三步建立积分计算表达式。第一步:作图,选取适当坐标系和积分变量(例如x),确定积分区间;第二步:微元分析求微元:在上任取微元,作出所求量的相应部分量的图形,并求出,连续,于是;第三步:求。五广义积分计算:1 计算积分时必须首先判定是定积分还是广义积分:会
5、判定在内有无奇点。2 可加性:掌握利用可加性判断广义积分的敛散性。3 线性运算:广义积分的线性运算应慎重对待。4 原函数法:用原函数求广义积分时在无穷远点或奇点处必须要用单侧极限或左右极限计算原函数在这些点的值,这是和定积分的原函数计算方法本质上的不同。5 换元法,分部积分法:换元法的变量代换方法,分部积分的分部积分次序和定积分一样。此时可以把广义积分化为定积分,也可以把定积分化为广义积分。六数项级数敛散性判定及和数的计算:1 判定发散的方法:满足下列条件之一的级数都是发散级数。 若或; 一个加括号级数(例如)是发散级数; 若,即, 而,有一个收敛,有一个发散; 若,;或,;或; 若,并且或,
6、或,。 若容易求得关于n的一个表达式,而不存在。2 正项级数敛散性判别法: 正项级数同它任一个加括号级数敛散性相同,并且收敛时和数也相同。 两类特殊级数(等比级数和级数)的敛散性。 掌握比较判别法的不等式形式、极限形式和等价无穷小形式。注:比较判别法在抽象级数敛散性判别中是常用的方法。掌握和p级数比较判别法的不等式形式、极限形式和等价无穷小形式。 掌握比值判别法和根值判别法。3 非正项级数敛散性判别法: 若,为负项级数,此时和敛散性相同,于是对正项级数可用正项级数敛散性判别法进行讨论。 掌握交错级数的Leibniz判别法。 一般项级数:若,可正可负,此时首先用正项级数敛散性判别法讨论敛散性。若
7、收敛,则称绝对收敛,绝对收敛必收敛。若发散,则不一定发散。此时如果用比值、根值判别法判别发散,则必发散。否则用定义或性质或Leibniz判别法判别是否发散或条件收敛。注:掌握交错p级数绝对收敛性。4 级数和数的计算: 求:若是等比数列或每一项可分解成前后二项可抵消的表达式的数列,则可求出关于n的表达式,于是。 利用幂级数的和函数计算:若是某个幂级数在其收敛域内某点的级数,而,。则。(若收敛,则。) 利用Fourier级数和函数计算:若是某周期函数的Fourier级数在其收敛域上某点的级数,则。七幂级数收敛半径及收敛域的计算:1 利用Abel引理讨论抽象幂级数的敛散性及收敛半径。2 两类幂级数,
8、的敛散性关系(包括收敛半径、收敛域和和函数的关系)。3 非缺项幂级数收敛域及收敛半径计算。4 缺项幂级数收敛域及收敛半径计算: 和收敛域相同。 ,是二种常见的缺项幂级数。而由知和收敛域是相同的。 ,收敛域及收敛半径计算可用变量代换()或直接讨论。 若收敛半径为,则收敛半径为。(k为正整数)八函数展开幂级数计算:1 理解函数展开幂级数唯一性定理。2 五类常见函数,的Maclaurin级数及收敛域。注:不但要掌握五类常见函数的Maclaurin级数展开式及收敛域,而且要掌握这些级数的和函数及收敛域。3 利用五类常见函数的幂级数展开式采用恒等变形、变量代换、逐项求导、逐项积分及幂级数的代数运算把函数
9、展开成的幂级数或的幂级数。并指出收敛域及计算或。九幂级数的和函数的计算:1 利用幂级数的和差运算、多项式和幂级数的乘积运算求幂级数的和函数。2 利用幂级数的分析运算求幂级数的和函数。注:,三个幂级数的收敛半径相同,收敛域不一定相同。若,。如果在收敛,于是在左连续,即;,。(;都是错误表达式)3 幂级数和函数的计算步骤: 第一步:确定的收敛半径R及收敛域。 第二步:确定收敛域上和函数,有二种方式:方式1:利用幂级数的代数运算和分析运算求;方式2:利用变量代换求。例如:若,如果用方式1求得,。则,。注:求的收敛域和和函数必须用变量代换化为求的收敛域和和函 数。并且若,则,。十函数展开Fourier
10、级数:1 必须认认真真按三步把函数展开为Fourier级数:第一步:作图,作周期延拓。由为周期确定。第二步:正确书写,的积分公式并认真计算积分。 第三步:收敛性讨论: 正确书写Fourier级数。 按方式1或方式2把函数展开成Fourier级数。方式1:建立在其定义域内连续点等式。方式2:建立级数在的定义域内的和函数。2 正确区分在上展开Fourier级数的要求: 若把在上展开为Fourier级数。则,对作周期延拓。收敛性讨论只在上。 若把在上展开为余弦级数(或正弦级数)则要对作偶延拓(或奇延拓),(或,)。余弦级数(或正弦级数)为(或),收敛性讨论都在上。3 会根据的表达式计算的Fourie
11、r级数(包括余弦级数和正弦级数)的和函数(不是)在上任何一点的函数值。若, 则是周期函数。若, 则是周期的偶函数。若, 则是周期的奇函数。4。 根据函数展开Fourier级数等式,求数项级数的和数或三角级数的和函数。5 根据的特性由Fourier系数的积分公式讨论,的特点。十一向量代数和空间解析几何:1 会用坐标计算向量的模、方向余弦、数量积、向量积、混合积、投影、向量夹角、平行四边形面积、平行六面体体积等几何量。2 根据向量的运算规律(交换律,结合律,分配律)用非坐标计算上述几何量。3 掌握向量平行(共线)、垂直、共面条件:特别: ,使,即。(等式中分母为0,分子也为0) (,不共线 ),则
12、,即, 。4 会用向量证明几何命题。5 平面方程确定:注:平面方程必是一个三元一次方程,三元一次方程几何上表示在内是一个平面。求一个平面方程一般不设为来求四个未知数A、B、C、D而把A、B、C作为来求。 过一条直线确定平面方程一般用平面束方程比较简便。 过一点求平面方程可求法向量。 已知法向量,求平面方程,可设平面方程为,求D(或求一点坐标)。 ,(注意有绝对值)。 掌握两平面平行、垂直、重合的条件。注意两平面重合对应系数成比例(不是相等)。 掌握点到平面距离公式。6 直线方程: 掌握空间直线一般式方程和对称式方程相互转化。 确定直线上一特殊点坐标往往用直线的参数式方程来确定较为简便。确定一点
13、在直线上的投影点和关于直线的对称点;一点在平面上的投影点和关于平面的对称点;三平面交点;二直线的交点等都可用直线的参数式方程来讨论。 会用向量积的几何意义求直线外一点到直线的距离。会用投影求异面直线之间的距离。 ,。掌握两直线平行、垂直、相交、共面、异面的条件。会求平行直线、异面直线间距离。 ,。掌握直线和平面的平行、垂直、相交和直线在平面上及直线在曲面上的条件。会用平面束方程求直线在平面上投影直线方程。 会确定直线关于平面或关于直线的对称直线方程。7 曲面和空间曲线: 掌握二次曲面名称和它们的方程(包括标准方程和平移后的方程)。在内表示一曲面:。 掌握旋转曲面方程确定的特殊方法和一般方法。 柱面:在内二元方程表示一柱面。柱面:表示以:为准线,母线平行于oz轴的柱面。 空间曲线表示(直角坐标和参数方程)及空间曲线关于坐标面的投影柱面方程确定。8 二次曲面及简单立体的描绘。利用旋转体体积计算方法和平行截面面积为已知的立体体积计算方法求简单立体的体积。积分变量视图形而定。例如:旋转轴为oz轴,则选z为积分变量。341
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