最新高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学_6优秀名师资料.doc
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1、高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学_(6)院 系 班级 姓 名 作业编号 高等数学(下册)测试题一 一、选择题(每小题3分,本大题共15分)(在括号中填上所选字母) 1,设有直线 xyz,,3210, L:,21030xyz,,,及平面,则直线, A , :4220xyz,,,L,A,平行于平面; B,在平面上; ,C,垂直于平面; D,不平面斜交. ,xy,(,)(0,0)xy,22xy,2,二元函数在点处, C , (0,0)fxy(,),0, (,)(0,0)xy,A,连续、偏导数存在; B,连续、偏导数不存在; C,不连续、偏导数存在; D,不连续、偏导数不存在. tt,Ft
2、yfxx()d()d,3,设fx()为连续函数,则F(2),, B , ,1yA,; B,; C, D,. 2(2)ff(2),f(2)0xy,,z,14,设是平面由,所确定的三角形区域,x,0y,0z,023则曲面积分 ,, D , (326)dxyzS,,21A,7; B,; C,14; D,21. 2x,5,微分方程的一个特解应具有形式, B , yy,,e1xxxxA,; B,; C,; D,. abe,axbe,abxe,axbxe,1 高等数学同步作业册 二、填空题(每小题3分,本大题共15分) 1,设一平面经过原点及点,且不平面垂直,则此(6,3,2),428xyz,,,平面方程
3、为; 2230xyz,,xy,2dxdy,z,arctan2,设,则,; d|z(1,3)41,xy222x3,设为正向一周,则 0 ; Lx,y,1edy,L224,设圆柱面,不曲面在点相交,且它们的交(x,y,z)z,xyx,y,30003,则正数 ; 角为Z,062,5,设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解y,P(x)y,Q(x)y,y,若也是该方程的解,则应有 1 . ,,,yy,1212u,xv,ecos,三、,本题7分,设由方程组确定了,是,的函数,uvxy,uyv,esin,v,u,v求及不. ,x,x,yuu,dxvduvdv,ecosesin,解:方程两边取全微分,则
4、,uudyvduvdv,,esinecos,xdxydy,,uucosesinduevdxvdy,,,22,xy,,解出 ,dudv,xdyydx,uu,esinecosdvvdxvdy,,,22,xy,,uxvyvx,从而 222222,,,,,,xxyxxyyxy3uxyz,ln32四、,本题7分,已知点A(1,1,1)及点B(3,2,1),求函数在,AB点A处沿方向的方向导数. 212,解: ABAB,2,1,2,333,2 院 系 班级 姓 名 作业编号 2,336yxz,gradu,3,3,6, gradu,333A323232xyzxyzxyz,u212,从而 ,,,3,3,621
5、47,333,AB,xx24xx11yy五、,本题8分,计算累次积分 ,. xyxy,deddedx,112yy2解:依据上下限知,即分区域为 xDDDDxyxDxyx,:12,1;:24,. 121222作图可知,该区域也可以表示为 Dyyxy:12,2,xxx24222xxy1112yyyy从而 xyxyyxy,,deddeddedeed,x2,11211yyyy22y22221 ,ee2eeeeye,122六、,本题8分,计算,其中是由柱面及平,Izxyz,dddx,y,1,面围成的区域. z,0,z,11112,z2解:先二后一比较方便,1Izdzdxdyzdz, ,22D000z32
6、22,()dxyzS,七,,本题8分,计算,其中是抛物面被平2z,x,y,面所截下的有限部分. z,2322xSySxSd0,dd,解:由对称性 ,22xy,3222从而()d()d()dxyzSzSxyS,,,,, ,2,222,22223232 ,,,,,,()1dxdy121xyxydrrdrrrdr,D0004,2054 ,ttdt111,,,,,,,3150,3 高等数学同步作业册 2222xxxx八、,本题8分,计算,是点A(,)到(4cos)dcosdxxy,,L2,L22yyyy点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. B(,2)(y,0)22232,Qxxxxxx22解:在上半平面
7、上 (y,0),,coscossin,223,xxyyyyyy,2232,PxxxxxxQ222且连续, ,,,,,(4cos)0cossinx23,yyyyyyyyxC(,)从而在上半平面上该曲线积分不路径无关,取 (y,0)22,222424415xx,2 ,,,,,(4cos)dcosd1xxy,2,Lyy2,ACCB,22222九、,本题8分,计算,其中为()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy,,22z,1,x,y半球面上侧. 解:补取下侧,则构成封闭曲面的外侧 ,:0z1222 ()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy,,,,11222xy,223 ,,,,,,11
8、1331dvxdxdydvxdxdydxdy,,32,DD121,1119,34 ,,,,,22drdrr,02440022,y,ysx,,4,0十、,本题8分,设二阶连续可导函数,适合,y,f(x)22t,t,s求, y,f(x),ysy1,ff,解: 2,ttst222,ysssy211, ,,,fffff,223222,tttttsstt,222,yyss24,由已知 ,,,,,,40,0,fff,22322,tsttt,4 院 系 班级 姓 名 作业编号 ,222,,即 xfxxfxxfxxfxc,,,,,,420,40,4,1,ccx11,fxfxc,,,arctan ,22x,42
9、2,十一、,本题4分,求方程的通解. y,4y,cos2x2rri,,40,2解:解:对应齐次方程特征方程为 1,2x,fxx,cos2,fxePxxPxx,,cossin,,非齐次项,不标准式 ,ml,nmli,max,0,2,比较得,对比特征根,推得,从而特解形式可k,1,设为 *kx,yxQxxQxxeaxxbxx,,,,cossincos2sin2,, ,12nn,*,yabxxbaxxyabxxbaxx,,,,,(2)cos2(2)sin2,(44)sin2(44)cos21代入方程得 ,,,4sin24cos2cos2,0,axbxxab41ycxcxxx,,cos2sin2sin
10、2 1242222十二、,本题4分,在球面的第一卦限上求一点,使以Mx,y,z,a为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. M2222xyz,解:设点的坐标为,则问题即在求MVxyz,8xyza,,0,最小值。 2222Lxyzxyza,,,8,令,则由 ,2222LyzxLxzyLxyzxyza,,,820,820,820, xyzaaaa,xyz,推出,的坐标为, M,3333,附加题:,供学习无穷级数的学生作为测试, n1,(,1)1,判别级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是,ln(1,n),nn1,条件收敛? 5 高等数学同步作业册 11un,解:由于,该级数不会
11、绝对收敛, ,n,nnnln(1)u显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零,从而该级数条件n收敛 2,,1nn2,求幂级数的收敛区间及和函数. x,n2,!n0n,21n,annn,,,,,12(1)!2(1)n解: R,,,limlimlim22nnnn,12an2!,n,11,1,nnn,1,nn2,nnxx,,,1111,n,,,x,,从而收敛区间为, ,,n2!1!2!2,nnn,,nnn,010nn,111xxx,, ,nnn2!21!2!2,,210nnn,nn,21x2,111xxxxx,2,,,,1e ,nnn!2!2!242,nnn,000,0,0ax,3,将展成以为周
12、期的傅立叶级数. 2fxHxa(),,0,Hax,0,解:已知该函数为奇函数,周期延拓后可展开为正弦级数。 a,0na,a21cosHna,,222,H,bfxnxdxHnxdxnx,sinsincos ,n,nn,000,21cosHna,,fxnxxa,sin, ,,nn1,6 院 系 班级 姓 名 作业编号 高等数学(下册)测试题二 一、选择题(每小题3分,本大题共15分)(在括号中填上所选字母) y,zzzxyf,()xy,1,设,且可导,则为, D , fu(),xyxA,; B,; 2xy2()xyz,C,; D, 2()xy,2z2,从点到一个平面引垂线,垂足为点,则这个平面P(
13、2,1,1),M(0,2,5)的方 程是, B , A,; B,; 236360xyz,,,,236360xyz,,,C,; D, 236360xyz,236360xyz,,,(1)1,xy3,微分方程的通解是, D , 2A,; B,; yxxC,,(1)ln|1|yxCxC,,ln|1|1212C,yxxCxC,,ln|1|; D, yxxCxC,,(1)ln|1|1212222Lyx,14,设平面曲线为下半圆周,则曲线积分等于()dxys,,L, A , A,; B,2; C,3; D,4, xx24xx11yy5,累次积分,, A , xyxy,deddedx,112yy2e2eA,;
14、 B,; 7 高等数学同步作业册 C,; D, 3e4e二(填空题(每小题5分,本大题共15分) 333xyzza,(0,)aa,1,曲面在点处的切平面方程是;. xza,,0,x*,x,yyyx,232eyxaxbe,,2,微分方程的待定特解形式是; ,2222,xyza,,3,设是球面的外侧,则曲面积分 xyzyzxzxydddddd,, 4,3,2222,()xyz,xyz,1,三、 一条直线在平面:上,且不另两条直线L:及xy,,201141,xz,42(2),xyz,412,L2:,即L:,都相交,求该直线2,y,10 201,方程,,本题7分, xyz,1,xyt,,20,解:先求
15、两已知直线不平面的交点,由 141,xtytztttxyzM,4,1,50,0,0,1.0,0,1 ,1xyz,412xyt,,20,由 201,,,,,xtyztttxzM42,1,2,4220,3,2,1.2,1,1 ,2xz,1,y由两点式方程得该直线: ,22222M(1,1,2),uxyzz,,,3四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上0函数的方向导数,,本题7分, graduxyzgradu,2,2,232,2,1,解: M0gradu,4413,,沿梯度方向上函数的方向导数 M0五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶,问尺寸应如何,才能使用料最省?,本题8分, 8 院 系 班级 姓
16、 名 作业编号 2解:设底圆半径为,高为,则由题意,要求的是在条hrSrrh,,22,2件下的最小值。 ,rh,1122114dS2233,,,,,Srrrrrh222,40,222rrdrrr2,1433由实际问题知,底圆半径和高分别为才能使用料最省 ,rh,222六、设积分域D为所围成,试计算二重积分xyxy,,4,0,022sin()dxy,,,本题8分, ,D22解:观察得知该用极坐标, xyxy,,4,0,02 ,rrrr4,cos0,sin0,02,02,2,2222sinr22222,,sin()dsin2cos1cos4xydrrdrdrr,,0002D022,zxy,,,zv
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