最新高等数学上册学习心得优秀名师资料.doc
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1、高等数学上册学习心得第三章 中值定理及导数的应用此章节中主要有:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式。在这一章中除了要掌握这些定理公式外还要熟练掌握导数运用的知识。 1(罗尔定理 如果函数在闭区间内连续在开区间内可导且f,a,=f,b,则至少有一点c使得在该点的导数为0。 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。2(拉格朗日中值定理。 如果函数在闭区间内连续在开区间内可导那么 至少有一点c使得f,c,=f,b,-f,a,/b-a成立。它的几何意义就是:如果连续曲线的弧AB上除两个端点外处处有不垂直与x轴的切线那么在弧上至少有一点c使曲线在该点的切线平行于弦AB。拉格朗日中值定理
2、是微分学中的最基本的定理有着广泛的应用。应用于不等式的证明 3(柯西中值定理。 如果函数f,x,及F,X,在开区间内可导在闭区间内连续且F,X,在开区间内处处不为0那么至少存在一点C使得等式f,b,-f,a,/F,b,-F,a,=f,C,/F,C,成立。 注:拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况。主要应用在书P90。 4(洛必达法则。 该法则主要用来解决型如0/0,?/?这类未定式的极限问题。 如果函数f,x,F,x,满足: ,1, 当x-a时 f,x,F,x,都趋进于a。,2, f,x,F,x,在点a的某个去心领域内都存在且F,x,不等于0, ,3, 导数商的极限存在。 则 函数的极限就
3、是导数商的极限,应该满足三个条件。,详见书P92的定理3.5,当导数商的极限不存在时应采用其他方法求原函数的极限,。其他未定式如:0*?-?0的0次方1的?次方?的0次方均可转化为0/0?/?型的未定式来计算。转化之后再用“函数的极限就是导数商的极限”。 5(泰勒公式。 泰勒中值定理:如果函数在含有x的开区间内具有直到,n+1,阶的导数则当x0在,ab,内时f,x,可以表示为,x-x0,的一个n次多项式与余项Rn,x,之和。表达式在书P98。 最基本的形式为f,x0,/2:*,x-x0,2。泰勒公式中的余项也称为拉格朗日型余项。当泰勒展开式中的x0=0时便得到泰勒公式的简单形式麦克劳林公式。
4、?在这一章中应该熟练掌握泰勒公式的书写及1阶或n阶麦克劳林展开式的书写。 详细介绍在书P99。 6(函数单调性的判别法。 判定定理:如果函数在闭区间内连续在开区间内可导则 若在开区间上导数大于0则函数单调递增。 若在开区间上导数小于0则函数单调递减。 讨论函数单调性的一般步骤是: ,1, 确定函数的定义域。 ,2, 求出导数并找出导数为0的点,该点的X值叫做驻点,和导数不存在的点。,3, 用上述各点将定义域划分为不同的区间再在各个小区间上判断导数的符号从而确定函数的单调性。,例题在书P103例15, 7(函数的极值及其求法。 极值就是说在定义域范围内一个小区间上的最大值和最小值。 极值的必要条
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