最新高等数学上册理工类·第四版考试必会基础习题优秀名师资料.doc
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1、高等数学上册(理工类第四版)考试必会基础习题第一章函数、极限与连续 内容概要 名 称主要内容( 1.1、1.2) (即 ) ,,Ua,xx,a,Uaxaxa,, 邻 ,,0Uaxxa,0,,,域 0() Uaxaxax,0,,,,,两个要素:对应由此,两函数, 法则以及函数两要素相等f的定义域 相同;(与自变D量用何字母表示无关) 解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数; 局对集合,若存在正数,X,DM,fx,M 部使对所有 x,X,恒有,称 有函数在上有界,或是XX,fxfx函 界上的有界函数;反之无界, 数函 性即任意正数 数 (无论多大),总存在(能MM,fx,M 找到),使得
2、x,X00局区间 ,对区间上任意两点I,D特 部 ,当时,恒有: xxx,x1212性 单 ,称函数在区间上是I,fx,fx12调单调增加函数; 性反之,若 ,则称函数在,fx,fx12I区间上是单调减小函数; 设函数的定义域关于原D,fx奇点对称;若,恒有, ,x,D,f,x,fx偶则称是偶函数;若,恒,x,D,fx性有 ,则称是奇 ,f,x,fxfx函数; 周若存在非零常数,使得对T,x,D期,有,且 ,x,T,D性 ,则称是周期函数; ,fx,T,fxfx初 几类基本初等函数:幂函数;等 指数函数;对数函数;三角函函数;反三角函数; 数 反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数 第3章
3、中值定理与导数的应用 内容概要 名主要内容(3.1、3.2) 称 3.名条件 结论 1 称 中罗:(1)在上y,f(x)至少存在一a,b值 尔连续;(2)在内使得点,(a,b)(a,b)/ f(),0定中可导;(3)f(a),f(b) 理 值定理 y,f(x)拉:(1)在上至少存在一a,b,(a,b)格连续;(2)在内点使得(a,b)f(b),f(a)/, f()b,a朗可导 日中值定理 柯、:(1)在至少存在一f(x)g(x)a,b西上连续,在内使得点,(a,b)(a,b)/f()f(b),f(a), /中可导;(2)在内(a,b)b,ag()/值每点处 g(x),0定理 ,0型与型未定式
4、3.基本形,02 式 通分或1)型:常用通分的手,0段化为型或型; 洛取倒数0,必化为基2)0,型:常用取倒数的,0手段化为型或型,即: 达 本形式 0,00或; 0,0,法1/0,1/0,00ln0,00,e则 取对数1)型:取对数得,000其中或0ln00,化为 1/0,; 0ln00,基本形1/0,ln1,1,e1式 2)型:取对数得, 00其中 ,ln101/0,或; ,ln101/0,00,ln,0,e,3)型:取对数得, 00其中 0ln0,1/0,0ln0,或。 1/0,函数,极限与连续&中值定理 习题18 ? ? 5.利用等价无穷小性质求下列极限: 3sinxtanx,lim(
5、2); 2x,01,cosxln13xsinx,lim(3); 2x,0tanx1xsinx1,,lim(4); x,0xarctanx知识点:等价无穷小代换求极限; 思路:要活用等价无穷小公式,如当333x,0x,0,有,故,,以及有关定xsinx理。 33,sinxtanxx,xlim,lim,2(2) 2x,x,00211,cosx2,x2(3)当时,故,, x,03xsinx,03xsinx,ln1,3xsinxxxxxln1,3sin3sin, ; lim,lim,322x,x,00xxtan1xsinx1xsinx11,,2(4) ; limlim,x,0x,0xarctanxxx
6、2,习题32 ? ? 1.用洛必达法则求下列极限: tanxx,(7) ; limx,0x-sinx知识点:洛必达法则。 思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题,,0基本形式为:型与型未定式,对于,0这种形式可连续使用洛必达法则;对0,于型与型的未定式,可通过通分,或者取倒数的形式化为基本形式;对,001,于型、型与型的未定式,可通过0取对数等手段化为未定式;此外,还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 22tansec12tansec2xxxxx,(7) ; limlimlimlim2,3xxxx,0000xxxxx,sin1cossinco
7、s习题16 ? ? 1(计算下列极限: 2,limx1,x,x(12) ; x,,,13,(14); lim,3x,11x,1x,知识点:极限求法 思路:参照本节例题给出的几种极限的求法 (12) 21xxx1,22,lim,limx,1,x,xlimx1xx,,,,; 2x,,,2x,,,x,,,2,x1x1xx,2xx,,121,x,x,3,13,limlim,lim1(14); ,332x,1x,1x,11,x1x,1x,xxx,,11,,,习题1-7 ? ? 2(计算下列极限: 1xx,lim1,xe(7) ; ,x01 lim1,, e知识点:重要极限: (或, ,01,) lim1
8、,,e, ,1 lim1,, e思路: 将函数表达式化成(或, ,01,),并利用指数函数运算性质 lim1,,e, ,n,mnmnmnm()得出结果 ,e,e,e,e,e11x,exx1xxxe,lim1,xe,lim,1,xe,e,e(7) x,0x,0习题3-2 ? ? 1.用洛必达法则求下列极限: sinxlimx(14); ,,x012xlim(x,1,x)(19); ,,,x知识点:洛必达法则。 思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题,,0基本形式为:型与型未定式,对于0,这种形式可连续使用洛必达法则;对于型与0,型的未定式,可通过通分,或者取倒数的形式化为
9、基本形式;对,00于型、型与型的未定式,可通过1,0取对数等手段化为未定式;此外,还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 (14)ln1tansinxxxlimsinlnlimlimlimxx,,xxxx0000,sin0xcsccotcscxxxxxlim1xeeeee,; ,,x0(19)x1,2121,x1ln(x,1,x)limlimlim22x,,,x,,,2x,1,x1,xx,,,xxlim(x,1,x),e,e,e,1; x,,,习题1-9 ? ? 3(判断下列函数的指定点所属的间断点类型,如果是可去间断点,则请补充或改变函数的定义使它连续。 2x,1(
10、2)y,x,1,x,2; 2x,3x,2知识点:间断点类型及判定; 思路: 间断点类型取决于左右极限是否存在,故要分别求间断点的左右极限; 2,xxxx,1,1,1,1x,1lim,lim,lim,2(2)时,2x,1x,1x,1,x,2x,1x,2x,3x,2左右极限相等, ?是第一类中的可去间断点,补充定义可使函数在该点处连续; ,y1,22x1x1,, 时,?是x,2limlim,2x,2x,2x2,x3x2,,第二类无穷间断点; 2,a,x,x,0,? ? 6(设,已知在fx,1,x,0,fx,20,x,lnb,x,x,x,0b处连续,试确定及的值。 a知识点:左右连续; x,0思路:
11、在处连续,有,f0,0,f0,0,f0并据此列式求解; x,0x,0解:在处连续当且仅当在处,fxfx既左连续又右连续; ,a1,22由; ,,,,bxxaxfba,limlnlim01ln1,,,x,x,00,be,“显示文本”不能横跨多行第二章 导数与微分 内容概要 名主要内容 称 fxxfx()(),,00, fx()lim,0,x0定导,xfxhfx()(),,00, fx()lim,0义 h,0h数fxfx()(),0,fx()lim, 0xx,0xx,0的(1) 导数的四则运算法则 ,i. ()()()()uxvxuxvx,,,,函数,ii. ()()()()()()uxvxuxv
12、xuxvx,,的,uxuxvxuxvx()()()()(),求,iii. ()0),vx2vxvx()()导法(2) 复合函数的求导法则(链式法则 则) dydydu ,dxdudx(1) 求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的xy项时,把当作中间变量看待,再y隐函按照复合函数求导法则求之,然数的dy后从所得等式中解出 dx导数vx() (2) 对数求导法:对幂指函数,yux,()可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反反函数的导数等于直接函数导数函数的倒数,即 的1,其中为的反函数 fx()xy,()yfx,()
13、导,()y数 (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导 高(2) 间接法:利用已知的高阶导数阶导公式,通过导数的四则运算,变量数 代换等方法,间接求出指定的高阶导数 n(),nknkk(3) 莱布尼茨公式 ()uvCuv,n,0k习题2-2 ? 1. 计算下列函数的导数: 知识点:基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路:利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数 (11) yxx,,logln221,解: yxxxxxxx,,,,,,(log)(ln2)log(log)0log2222ln2? 6.求下列函数的导数: 知识点:导数的四则运算法则和复合函
14、数的求导法则 思路:利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数 x2y,(arcsin)(7); 2xxtan2y,10(10); x2arcsinxxxx12,解: y,2arcsin(arcsin)2arcsin()2222221(2)4,xxxxxxtan2tan22, yxxxxxx,,,10ln10(tan2)10ln10tan2sec2(2)xxtan22 ,,10ln10(tan22sec2)xxxdy? 7.设为可导函数,求: fx()dx知识点:复合函数的导数 思路:利用链式法则求复合函数的导数 1 (3). yf,(arcsin)x11111,解: yff,(arcs
15、in)(arcsin)(arcsin)()2xxxx11,2x11 , ,f(arcsin)2x|1xx,1x,? 10.已知,求. f(),fx()xx1,知识点:抽象函数的导数 思路:利用换元法求函数表达式,然后求导数 11解:令,则 ,tx,xt111t ?,ft()?,fx()11,t1,x1,t11, ?,fx()()21(1),xx习题2-3 ? 6.若,存在,求下列函数的二fx()2dy:阶导数. 2dx知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 3(1) yfx,();yfx,ln()(2). 32,解: yfxx,()33232343, ?,,,,yxf
16、xxfxxxfxxfx6()3()36()9()2,fxfxfx()()(),fx(),?,y解:y, 2()fxfx()习题2-4 1.求下列方程所确定的隐函数的导ydy数: dx知识点: 隐函数的导数 思路:方程两边同时对自变量求导,x 凡遇到含有因变量的项时,把当作yy中间变量看待,再按照复合函数求导dy法则求之,然后从所得等式中解出 dxxy3? (3) ;eyx,,50 x解:方程两边同时对求导,得 xy2,eyxyyy,,,()350 xy5,ye,y, 解得xy2 xey,3y? (4)yxe,,1; x解:方程两边同时对求导,得 yy,yexey,, ye, 解得y,y 1,x
17、e2.求下列方程所确定的隐函数的导y2dy数: 2dx知识点: 隐函数的导数,高阶导数 思路: 方程两边同时对自变量求导,x凡遇到含有因变量的项时,把当作yy中间变量看待,再按照复合函数求导dy法则求之,然后从所得等式中解出,dx再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导 yxy,,tan()? (3). x解: 方程两边同时对求导,得 2, yxyy,,sec()(1)解得2,,sec()1xy22,y,1,,,,1cot()csc()xyxy22 sec()1sec()1xyxy,,,,222, ?,,,,,,yxyxyyxyxyxy2csc()cot()(1)2csc()co
18、t()1csc()23 ,,2csc()cot()xyxy3.用对数求导法则求下列函数的导数: 知识点: 对数求导法 思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出x2tanx; 所求导数? (1)yx,,(1)解:等式两边同时取对数,得 2 lntanln(1)yxx,,x 等式两边同时对求导,得12x22, yxxx,,,secln(1)tan2yx1,2tanxx2tan22x, ?,,yxxx(1)secln(1)21,x53xx,332? (2) y,x,2解: 等式两边同时取对数,得 111 lnln(3)ln(32)ln(2)yxxx,,,,532等式两边同时
19、对求导,得 x,11(3)1(32)1(2)xxx,,, y,,,yxxx5333222,,53xx,332111 ,?,,,y5(3)322(2)xxx,,x,28.求下列参数方程所确定的函数的dy导数: dx思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将看作中间t变量利用复合函数求导法则求二阶导数, 2,xt,1? (2) ; ,3ytt,22,ydytt1313,t解: ,dxxtt,22t22222dydtdtdttt131362131,,?,()() 223dxdxtdttdxttt22424,y? 4.设函数由方程确定,求yxe,1yyx,()x,0,并求曲线上其横坐标处
20、点的切y(0)线方程与法线方程. 思路: 方程两边同时对自变量求导,x凡遇到含有因变量的项时,把当作yy中间变量看待,再按照复合函数求导dy法则求之,然后从所得等式中解出 dx解: 方程两边同时对求导,得 xyeyy, 解得 y, yexey,0y1,xex,0x,0当时, 在处切线的斜?y,1,率 kye,(0)?,x0 处的切线方程为,即 yex,1yex,,111法线方程为,即 yx,1yx,,1ee2,xt,,ln(1)t,1? 6.求曲线在对应点处,yt,arctan,的切线方程和法线方程. 知识点: 参数方程表示的函数的导数 思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导 1dy12
21、dy1解: ?,|1,tt,1,dx22tdxt221,t,t,1当时, xy,ln2,4t,1 在对应点处的切线方程为?,111, 即 ,,yx(ln2)yxln242224法线方程为, 即 yx,2(ln2)yx,,22ln244习题2-1 sin,0xx,? 9.设,求. fx(),fx(),xx,0,知识点:分段函数的导数 思路:分段函数在每一段内可以直接求导,但是在分段点处要利用导数的定义求导 ,解:当x,0时, fxxx()(sin)cos,x,0当时, fxx()1,fxfx()(0),x,0,当时, f(0)limlim1,,xx00,xx,0fxfx()(0)sin, f(0
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