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1、高等数学上册试题卷一、填空(每题3分,共18分) x,ax1、极限 。 lim()(a,0),xx,asinx,x,0,x,2、设, 问当k = 时,f(x),k,x,0,1,xsin,1,x,0x,f(x)函数在其定义域内连续。 2x,yy,y(x)3、设方程确定函数,则e,e,cos(xy),1,y(0), 。 1f(x),4、函数中是第一类间断点中的 x,1xx,11,e间断点。 ,sincosxxxdx5、= 。 2,1,sinx,ab135a,26、设向量与的夹角为,且,则b,3, 。 a,b,n22xsinxtanx1,cosx1、设当x,0时,是比高阶,而比低阶的无穷小,则的值为
2、( )。 nA. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4. limf(x),limg(x),2、若,则必有( )成立。 x,ax,alimf(x),g(x),limf(x),g(x),0(A); (B) ;(C)x,ax,a1lim,0limkf(x),(k; (D)为非零常数)3、设 x,ax,afxgx(),(),f(lnx),x ,则 dx, ( ) 。 f(x),e,x11,lnx,C(A),,C ; (B) ; (C),C ; xx(D) . lnx,C4、下面哪一个广义积分是收敛的( )。 ,,,,,,11lnxdxA. B. C. D. dxdx,2,ee0x(lnx)(l
3、n)xxx,,1。 dx1,e2(ln)xx325、若(1,3)为曲线的拐点,则( )。 y,ax,bx,1a,1,b,3a,1,b,3a,1,b,3A. B. C. D. a,1,b,3 6、设函数y=cos(2x) cos(2x), 则dy不等于( ) 2, A. B. C. 2cos2xdcos2x(cos2x)d2x,4cos2xsin2xdx D. ,2cos2xsin2xd2x 2x2costdt,0三(7分)、求极限 lim,0xxsinx2xtanxdx四(7分)、求不定积分 ,22,dydy,x,ln1,ty,y(x)五(8分)、设确定函数,求及。 ,2dxdx,y,arct
4、ant,xlntx,2,e(),fxdt六(8分)、已知,其中,讨论: 2,2(,1)t(1)f(x)2,e在上的单调性; (2)f(x)2,e在上的最大值,最小值。 x,1y,2z,1七(8分)、确定使直线垂直于平面,12,并求该直线在平面上的,:3x,6y,3z,25,0,:x,y,z,2,012投影直线的方程。 2八(12分)、在曲线上某点A处做一切线,y,x(x,0)1使之与曲线以及轴所围图形的面积为,试求: x12(1)A的坐标; (2)过点A的切线方程; (3)由上述所围平面图形绕轴旋转一周所成旋转x体的体积。 f(x)0,1f(0),f(1),0九(8分)设在上二阶可导, 且,
5、试证,2f(),(0,1)f(),至少存在使成立. 1,f(x)十(6分)、设当时,可导且满足方程x,0x1f(x),当时求。 x,0f(x),1,f(t)dt,1x空号 空1 空2 空3 空4 空5 空6 ,2a答案 1 跳跃 0 ,2e 5,23 二、,每小题2分,共计20分, 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C B C A 22xx22costdt2costdt,2xcosx00lim,三,7分,、解lim ,lim2x,0,00xx2xxsinxx,11分 22xcosxlim, x,02x,11分 22xtanxdx,(xsecx,x)dx四分 ,12 ,x,xtanx,
6、tanxdx,212 ,x,xtanx,lncosx,C222,dydy,x,ln1,ty,y(x)五,8分,、设确定函数,求及。 ,2dxdx,y,arctant,dxtdy1dy1,解:2分 ,22dxtdt1,tdt1,t222dy,11,t1,t,,, 223tdxttxlntx,2,e六,8分,、已知f(x),dt,其中,讨论: 2,2(,1)t(1)f(x)2,e(2)f(x)2,e在上的单调性,在上的最大值,最小值。 x,2,e解:当时, xtlnddt2,2xtln(,1),f(x)2,ef(x),所以在上的单增的。故在fx(),02dxx(,1)2lnt2,ef(x)2,ef
7、(2),dt,0上的最小值为。在上的最大值为2,2(t,1)eeeelnt1tln11f(e),dt,lntd,,,dt2,222t,1(t,1)t,t,t1121 ,?,2ln2,,ln(e,1),1e,1x,1y,2z,1,七,8分,、确定使直线垂直于平面,,:3x,6y,3z,25,0,1,12并求该直线在平面上的投影直线的方程。 ,:x,y,z,2,02363,s,1,2,n,3,6,3解:设,。由直线与平面垂直可得,故,112,=1。.3分 x,1y,2z,1x,z,k(y,2z,4),0,设过直线的平面方程为,即121x,ky,(,1,2k)z,4k,0。由于它与已知平面垂直,故
8、,:x,y,z,2,021,1,(,1),k,1,(,1,2k),0,k,0x,z,0。于是所设平面为所求投影直x,z,0,2线的方程为八,12分,、在曲线上某点A处做一切y,x(x,0),x,y,z,2,0,1线,使之与曲线以及轴所围图形的面积为,试求:,1,A的坐标,2,过点x12A的切线方程,3,由上述所围平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。 x,解:设A点坐标为,切线方程为 A(x,y)y(x),2xy,y,2x(x,x)0000000yyy,yx1y0000?,(,x,y)dy,(,,y)dy 0,002x2122x00yy0y0302xy21y3202,故A(1,1) ?x,1,
9、y,x,1,,y,x000042312x0000y,1,2(x,1)y,2x,1所以切线方程为:,即分 旋转体的体积为111122242 V,(x)dx,(2x,1)dx,xdx,(4x,4x,1)dx11,0022,f(x)0,1f(0),f(1),0 九,8分,设在上二阶可导, 且, 试证至少存,?,30,2f(),(0,1)f(),在使成立. 1,2,解:令 F(x),(x,x)f(x),f(x)f(x)0,1F(x)0,1因为在上二阶可导,所以在上可导。 2,故 F(x),(x,x)f(x),2xf(x)22, F(0),(0,0)f(0),f(0),0,F(1),(1,1)f(1),f(1),0,(0,1)F(,),0由罗尔中值定理,至少存在使成立 ,2f()2,f(),即,所以成立。 (,)f(,),2,f(,),01,x1f(x)x,0x,0十,6分,、设当时,可导且满足方程f(x),1,f(t)dt,当时,1xf(x)求。 xx1?xf(x),x,f(t)dt解:, ?f(x),1,f(t)dt,11x1,?f(x),xf(x),1,f(x),?f(x),2分 x1,?f(x),lnx,c,2分 ?f(x)dx,dx,x11?c,1,1分 ?f(1),1,f(t)dt,1,11?f(x),lnx,1,1分
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