最新高等数学上册课后答案,同济大学第六版高等数学上册课后答案优秀名师资料.doc
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1、高等数学上册课后答案,同济大学第六版高等数学上册课后答案习题8-1 1.设有1个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为=(x,y)的电荷,且(x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q. 解用一组曲线将D分成n个小闭区域i,其面积也记为i(i=1,2,?,n).任取一点 (i,i)?i,则i上分布的电量Q?(i,i)i.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为 Q=lim?(i,i)i=?(x,y)d, ?0 i=1 D n 其中=maxi的直径. 1?i?n 2.设I1=?(x2+y2)3d其中D1=(x,y)?1?x?1,?2?y?2;又I2=?
2、(x2+y2)3d D1 D2 其中D2=(x,y)0?x?1,0?y?2.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系. 顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体1的解由二重积分的几何意义知,I1表示底为D1、 体积;I2表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体2的体积.由于位于D1上方的曲面z=(x2+y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将1分成4个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为2.由此可知I1=4I2. 3.利用二重积分定义证明:(1)?d= D (其中为D的面积); (其中k为常数); 1 2 (2)(?kfx,y)d=k?f(x,y)d D
3、 D (3) ?f(x,y)d=?f(x,y)d+?f(x,y)d,其中D=D?D D D1 D2 ,D1、D2为2个无公共 内点的闭区域. 证(1)由于被积函数f(x,y)?1,故由二重积分定义得 ?f(,)?d=lim D ?0 i i i=1 n n i =lim?i=lim=. ?0 i=1 n ?0 (2)?kf(x,y)d=lim?kf(i,i)i=klim?f(i,i)i=k?f(x,y)d. D n ?0 i=1 ?0 i=1 D (3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D时,可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。
4、这样f(x,y)在 D1?D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和,记为 D1?D2 ?f(i,i)i=?f(i,i)i+?f(i,i)i. D1 D2 令所有i的直径的最大值?0,上式两端同时取极限,即得 D1?D2 ?f(x,y)d=?f(x,y)d+?f(x,y)d. D1 D2 4.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)?(x+y)2d与?(x+y)3d,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所 D D 围成; (2)成; ?(x+y)d与?(x+y)d,其中积分区域D是由圆周(x?2) D D 232 +(y?1)2=2所围 (3) ?ln(x+y)d D
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